因式分解之十字相乘法

费小罗

小伙伴们，你们一定听过十字绣吧。十字绣起源于中国唐宋时期，兴于明清，后传遍世界各地，以“十字”交叉针法为主。你们一定很好奇，十字绣与因式分解有什么不解之缘呢？且听我娓娓道来。

多项式乘多项式中，有这样一种类型，如：

（a+3）（a+4）=a2+4a+3a+12=a2+7a+12；

（a+3）（a-4）=a2-4a+3a-12=a2-a-12；

（a-3）（a+4）=a2+4a-3a-12=a2+a-12；

（a-3）（a-4）=a2-4a-3a+12=a2-7a+12。

小伙伴们仔细观察就会发现规律：结果中的二次项系数由原来两个多项式的一次项系数相乘得来，一次项系数由原来两个多项式的常数相加得来，最后的常数由原来两个多项式的常数相乘得来，即（a+p）（a+q）=a2+qa+pa+pq=a2+（p+q）a+pq（如图1）。这个规律就是因式分解的“十字相乘法”，与十字绣中的“十字”交叉针法有异曲同工之妙。

下面，我嘗试运用“十字相乘法”对多项式a2+7a+12进行因式分解。

该多项式为二次三项式，很明显，不能运用提公因式法、公式法进行因式分解。我将上述两个多项式各项“对号入座”（如图2）。

两个整数相乘，结果为12，有6种情况，即12=（+1）×（+12）=（-1）×（-12）=

（+2）×（-6）=（-2）×（+6）=（+3）×（+4）=（-3）

×（-4）。但上述6种情况中，相加得7的两个整数只有（+3）和（+4），所以a2+7a+12=（a+3）（a+4），如图3。

“十字相乘法”有个口诀：拆两边，凑中间，竖着拆，横着写。如因式分解a2-a-12，先“拆两边”，对“头、尾”分解：a2通常拆成a×a，-12拆成（+3）×（-4）等；再“凑中间”，即把上面拆解的系数进行交叉相乘后的值，再相加，看看哪种情况等于中间项的系数。（+3）+（-4）恰好等于-1，故a2-a-12=（a+3）（a-4）（如图4）。

上文列举的多项式的二次项系数都为1，那如果多项式二次项系数不为1呢？如多项式2a2-5a-12。其实啊，方法是一样的，只是“两边”拆分的种类多一点，“凑中间”时多试试就行。对于多项式2a2-5a-12，2a2通常拆成2a×a或a×2a，-12拆成（-1）×（+12）或（+1）×（-12）或（-2）×（+6）或（+2）×（-6）或（-3）×（+4）或（+3）×（-4）。按图3的方式，我们通过多次“组合”，便得到想要“凑”的数，如图5。所以2a2-5a-12=（2a+3）（a-4）。

小伙伴们，用“十字相乘法”因式分解，除了掌握方法外，还需要一点耐心，特别是遇到多种组合时，要耐心地多试几次哦，这样才能寻找到我们要的“凑中间”的数。另外，还有一种“十字相乘法”的进阶：双十字相乘法，如3x2+4xy-4y2+8x-8y-3，感兴趣的小伙伴可以进一步探究哦。在探究过程中，你肯定会发现更多学习数学的乐趣。

教师点评

数学无处不在。小作者在生活中仔细观察，发现十字绣与“十字相乘法”在名称和“外形”上的相似之处，发现并描述了“十字相乘法”的原理，双向逆推，还用图标生动形象地把“十字相乘法”可视化，值得大家学习。

（指导教师：郑胜辉）