惊讶与有趣：平方差公式的再创造

邓橡逸格

上学期，我们学了平方差公式。我尝试对a2-b2=（a+b）（a-b）进行分解，但是无论怎样计算，都只停留在a2-b2=a2+ab-ab-b2。

在前些天的一节数学课上，老师出了一道题，最终化简后得到82-72。这个答案显而易见，是15。这时，我发现15恰好是7和8的和！我很惊讶，便接着算了下去：72-62=7+6，122-112=12+11……我似乎发现了一个有趣的现象：a2-（a-1）2=a+a-1=2a-1。

于是，我决定把1扩展到正整数范围内。我先做了几次尝试：

82-62=28=2×8+2×6=2×（2×8-2），

92-72=32=2×9+2×7=2×（2×9-2），

82-52=39=3×8+3×5=3×（2×8-3）……

我设a为正整数，n为两项之差，猜想a2-（a-n）2=n（2a-n）。将a扩展到整数范围呢？如果a=0呢？我试了几次，仍成立。于是，我猜测，a2-（a-n）2=n（2a-n）（a、

n為有理数）。

那么，怎么证明呢？我这样分解平方差公式：a2-b2=a2-［a+（b-a）］2=a2-a2-2a（b

-a）-（b-a）2=2a（a-b）-（a-b）2=（a-b）［2a

-（a-b）］，即a2-（a-n）2=n（2a-n）。或者，a2-（a-n）2=a2-（a2-2an+n2）=a2-a2+2an-n2=2an-n2=n（2a-n），得证。

这样，我就用另外一种方式将a2-b2进行了因式分解。这可以作为当两数差值较小时，其平方差的快捷计算方式。

瞧，又是一次有趣又充满惊喜的探索！

教师点评

小作者通过观察“82-72=8+7”这种特殊现象，提出了一种在“两数差值较小时”实现快速且准确计算的新方法。我们希望通过分享这一发现的提出及其解决的过程，为大家在数学学习的道路上开启一扇新的窗户。从这里，我们也一定能体会到发现问题所蕴含的学习价值是深远且广泛的，它远比单纯解决问题更为重要。期待同学们在品读中有所启发。

（指导教师：符永平）