一类对称可微不变凸多目标规划的最优性

张 媛,李 钰

(延安大学 数学与计算机科学学院,陕西 延安 716000)

多目标规划与广义凸性目前被频繁应用于各个领域,故越来越多的学者对此展开深入研究。HANSON[1]通过对凸函数推广,定义了一类广义凸函数——不变凸函数,自此之后,越来越多的不变凸函数类被提出。1991年, BECTOR[2]给出不变凸函数的推广形式,定义了一类新广义凸函数——B不变凸函数。2004年,ZHANG[3]放宽了B不变凸函数,利用Minch对称梯度,定义了Bs不变凸函数和严格Bs不变凸函数,研究该不变凸性下半无限规划的最优性和对偶条件。2001年,ANTCZAK提出一类新的广义凸函数——(p,r)不变凸函数[4],并研究了单目标规划问题的Fritz-John条件、Kuhn-Tucker条件[5]。随后,ANTCZAK[6]对B不变凸函数、(p,r)不变凸函数进行推广,提出新的广义凸函数——B-(p,r)不变凸函数,利用该函数研究不等式约束下单目标规划问题的最优性充分条件。文献[7]针对B-(p,r)不变凸函数研究了多目标规划问题的最优性条件。2007年,ANTCZAK提出G不变凸函数[8],利用该函数研究了具有不等式和等式约束的可微多目标规划问题的最优性条件[9]。文献[10-11]把G不变凸函数推广到非可微的情况,进而研究了多目标规划问题的最优性条件和对偶性条件。近年来,ANTCZAK继续推广G不变凸函数,定义了一类新的非可微G-V不变凸函数,针对涉及局部Lipschitz函数的不可微多目标规划问题,建立了新的Fritz-John最优性必要条件和Karush-Kuhn-Tucker必要条件[12]。文献[13]利用局部Lipschitz函数对G-V不变凸函数进行推广,新定义了一类(G-V,ρ)不变凸函数,研究了非可微多目标规划的Mond-Weir型对偶问题,得到了弱对偶、严格逆对偶条件。随后,文献[14]通过推广(G-V,ρ)不变凸函数,提出了G-ρ不变凸函数,研究涉及此类不变凸函数的半无限多目标规划问题,得到了不完全Lagrange函数鞍点的充分性和必要性条件。

本文在上述文献的研究基础上,利用Minch对称梯度[15],新定义了可微G-Bs-(p,r,ρ)不变凸函数、G-Bs-(p,r,ρ)不变拟凸函数和G-Bs-(p,r,ρ)不变伪凸函数,在新定义的这类函数下研究具有不等式约束的多目标规划问题,得出一些最优性充分条件。

1 基本定义

定义1[15]设x∈X,如果存在一个Rn→R的线性算子fs(x)使得对于充分小的h∈Rn有:

f(x+h)-f(x-h)=2hTfs(x)+α(x,h)‖h‖

其中α(x,h)∈R,并且当‖h‖→0时,α(x,h)→0,则称f在x点对称可微。线性算子fs(x)表示f在x点的对称梯度,若f对于每个x∈X都有对称梯度,则称f在X上对称可微。

定义2设非空开集X⊂Rn,f=(f1,…,fm),f:X→Rm是定义在X上的对称可微函数,Ifi(x)(i=1,…,m)表示fi的值,函数Gf=(Gf1,…,Gfm),R→Rm的任意分量Gfi:Ifi(X)→R(i=1,…,m)为严格单调递增可微实值函数,p,r为任意的实数,x0∈X,若对任意的x∈X,存在向量函数η:X×X→Rn,常数ρi∈R,函数d:X×X→R和函数b:X×X→R+,有:

当p≠0,r≠0时:

当p=0,r≠0时:

当p≠0,r=0时:

b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))

当p=0,r=0时:

b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))

那么,称f在x0点是关于η和b的可微G-Bs-(p,r,ρ)不变凸函数。若x≠x0,并且公式中的≥换成>,则称函数f在x0点是关于η和b的严格可微G-Bs-(p,r,ρ)不变凸函数。

定义3设非空开集X⊂Rn,f=(f1,…,fm),f:X→Rm是定义在X上的对称可微函数,Ifi(x)(i=1,…,m)表示fi的值,函数Gf=(Gf1,…,Gfm),R→Rm的任意分量Gfi:Ifi(X)→R(i=1,…,m)为严格单调递增可微实值函数,p,r为任意的实数,x0∈X,若对任意的x∈X,存在向量函数η:X×X→Rn,常数ρi∈R,函数d:X×X→R和函数b:X×X→R+,有:

当p≠0,r≠0时:

ρid2(x,x0)≤0

当p=0,r≠0时:

当p≠0,r=0时:

b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))≤0⟹

当p=0,r=0时:

b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))≤0⟹

那么,称f在x0点是关于η和b的可微G-Bs-(p,r,ρ)不变拟凸函数。若x≠x0,并且公式中的≤换成<,则称函数f在x0点是关于η和b的严格可微G-Bs-(p,r,ρ)不变拟凸函数。

定义4设非空开集X⊂Rn,f=(f1,…,fm),f:X→Rm是定义在X上的对称可微函数,Ifi(x)(i=1,…,m)表示fi的值,函数Gf=(Gf1,…,Gfm),R→Rm的任意分量Gfi:Ifi(X)→R(i=1,…,m)为严格单调递增可微实值函数,p,r为任意的实数,x0∈X,若对任意的x∈X,存在向量函数η:X×X→Rn,常数ρi∈R,函数d:X×X→R和函数b:X×X→R+,有:

当p≠0,r≠0时:

当p=0,r≠0时:

当p≠0,r=0时:

⟹b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))≥0

当p=0,r=0时:

⟹b(x,x0)(Gfi(fi(x))-Gfi(fi(x0)))≥0

那么,称f在x0点是关于η和b的可微G-Bs-(p,r,ρ)不变伪凸函数。若x≠x0,并且公式中的≥换成>,则称函数f在x0点是关于η和b的严格可微G-Bs-(p,r,ρ)不变伪凸函数。

定义5[16]设x0∈X,如果不存在x∈X,使得f(x)≤f(x0),则称x0是多目标规划的有效解。

注2在下文中的证明只考虑p≠0,r≠0的情况,至于p=0,r≠0和p≠0,r=0和p=0,r=0的情况,证明较为简单,类似即可证得。

2 最优性条件

本文考虑的不等式约束多目标规划如下:

其中,X是Rn上的非空开集,函数fi(x):X→R(i=1,…,m)与gj(x):X→R(j=1,…,n)都在X上是对称可微的。

定理1设x0是规划(VP)的可行解,若满足下列条件,则x0是规划(VP)的有效解:

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λm)>0,μ=(μ1,μ2,…,μn)≥0,有下列条件成立:

证明设x0不是规划(VP)的有效解,则存在可行解x,有f(x)≤f(x0),即fi(x)≤fi(x0),其中i=1,…,m,存在一个α,使得1≤α≤m时,有fα(x)

(1)

又Gfi(fi(x))

ρid2(x,x0)<0

即有

(2)

(3)

式(2)、式(3)相加,有

(4)

结合式(4),有

定理2设x0是规划(VP)的可行解,若满足下列条件,则x0是规划(VP)的有效解:

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λm)>0,μ=(μ1,μ2,…,μn)≥0,有下列条件成立:

证明设x0不是规划(VP)的有效解,则存在可行解x,有f(x)≤f(x0),即fi(x)≤fi(x0),其中i=1,…,m,存在一个α,使得1≤α≤m时,有fα(x)

(5)

(6)

式(5)、式(6)相加,可得

(7)

其中:

又b(x,x0)≥0,由式(7)可得

则有

ρd2(x,x0)<0

(8)

结合条件(ⅰ)和ρd2(x,x0)≥0,可得

ρd2(x,x0)≥0

(9)

易知,式(8)与式(9)互相矛盾,则x0是规划(VP)的有效解。

定理3设x0是规划(VP)的可行解,若满足下列条件,则x0是规划(VP)的有效解:

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λm)>0,μ=(μ1,μ2,…,μn)≥0,有下列条件成立:

证明设x0不是规划(VP)的有效解,则存在可行解x,有f(x)≤f(x0),即fi(x)≤fi(x0),其中i=1,…,m,存在一个α,使得1≤α≤m时,有fα(x)

(10)

(epη(x,x0)-1)+ρid2(x,x0)

由b(x,x0)≥0,并结合式(10),可得

ρid2(x,x0)<0

结合条件(ⅰ)可得

即有

(11)

那么,结合式(11)可得

(12)

(13)

可得式(12)与式(13)互相矛盾,则x0是规划(VP)的有效解。

定理4设x0是规划(VP)的可行解,若满足下列条件,则x0是规划(VP)的有效解:

(Ⅰ)存在λ=(λ1,λ2,…,λm)>0,μ=(μ1,μ2,…,μn)≥0,有下列条件成立:

证明该定理证明与定理3类似。

3 结论

本文在已有文献的研究基础上,结合Minch对称梯度,新定义了一类对称可微不变凸函数,针对此函数凸性限制下的不等式约束多目标规划的最优性条件进行研究,得出的结果拓展了已有的最优化相关理论,后续可以继续研究Wolfe型对偶、Mond-Weir型对偶、鞍点问题以及分式规划下的最优性条件等内容。