数学大概念教学中的几个问题

【摘 要】 数学学科核心素养是一个整体概念，初中学段有七个数学学科核心素养表现和两个跨学科的素养表现.数学教学应以课程内容为载体，逐步培养学生具有基本的数学素养.数学大概念教学的根本在于突出数学内容的主线，关注数学领域之间以及领域内部知识之间的关联.大概念教学是培养学生核心素养的必然选择.

【关键词】 大概念;数学大概念;大概念教学;核心素养

最近几年，关于核心素养的研究与培养已经发展成为国际教育界的热点问题.我国于2016年颁布了中国学生核心素养总体框架，并在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）首次提出数学“核心素养”的培养目标.如何落实呢？

《课标（2022年版）》在“教学建议”中指出“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联”［1］.实施数学大概念教学势在必行.

1 认识大概念

1.1 大概念的意义、表现形式

大概念（Big Idea）理论可以追溯到20世纪60年代布鲁纳提出的教育学和心理学理论.吕立杰［2］教授把各种课程标准中出现的“大概念”分为四种类型：学科核心概念、跨学科概念、思维与技能概念、学科本质概念.刘徽［3］教授认为大概念有三种表现形式：

（1）概念：一些重要的、核心概念是大概念.表现为两种：第一种是“高位的概念”，它在概念系统中是比较高位的，可以覆盖许多概念和现象.第二种是“关键的概念”，是指对于理解来说非常重要和关键的概念.

（2）观念：观念表现为一种看法和观点，反映了概念与概念的关系.

（3）论题：主要出现在人文艺术领域.

观念形式的大概念最为常见，概念形式的大概念次之，而论题形式的大概念则一般只出现在人文艺术领域，而且是人文艺术中比较高位的大概念.

正确理解大概念是开展单元教学、培养学生核心素养的基础，理解“大概念”时应注意下面三点：

（1）“大概念”中的“大”不等同于“庞大”，而是因为这个概念具有“核心”地位，所以说“大概念”是“高位”概念或“上位”概念，它具有很强的前移价值.确定某一个数学概念是否为“大概念”时，不能以它包含知识的“多寡”为“标准”，应根据它在数学学科中的价值来确定.

（2）大概念是个相对概念.薛茂芳［4］教授认为，从内涵方面的某些特点出发，数学概念有相对概念和绝对概念之分.相对概念总是同某种关系连結在一起，而关系的另一“端”又总是涉及另一个或几个概念.显然大概念是个相对概念.例如，“矩形”和“菱形”对于“正方形”来说是“大概念”，而对于“平行四边形”则是“小概念”，“平行四边形”对于“矩形”是大概念，对于“四边形”则为“小概念”.

（3）大概念不是具体方法，它在数学方法之上.由此可见，

数学教育中的大概念是指在数学中具有重要地位，对其他内容更具统摄力、关联性的数学概念.一些重要的数学观念或数学意识也都可以是大概念.从位置上看，数学大概念处于数学学科的“中心”，能集中体现数学课程的核心思想方法；从表述上看，大概念是对众多知识概念的筛选与整合.数学中的大概念可以是一个概念、一句话、一个观点.

1.2 大概念的种类

大概念一般分为两类：一类是学科大概念，另一类是跨学科大概念.前者指向的是学科的基本结构，是基于事实基础上抽象出来的深层次的、可迁移的核心概念［2］.后者是比学科大概念更加宏观的大概念，它一方面可以打破原有的学科边界，促使学科之间的融合；另一方面，它也可能使新建立的概念体系脱离情境事实、脱离常识性认知.

例如，《课标（2022年版）》在初中阶段界定核心素养表现中的“抽象能力”“运算能力”“几何直观”“空间观念”“推理能力”“数据观念”“模型观念”都属于数学学科的大概念，而“应用意识”和“创新意识”则是跨学科的大概念.

1.3 大概念的确定

数学中的概念很多，薛茂芳［4］21提出“现行初、高中数学教材约有八百多个数学概念，初、高中各约占其半”，这就是说，初中学段学生需要掌握的数学概念约有400个.“数学知识几乎都是概念，数学的核心概念几乎都是大概念”［5］，另外，有些数学中的“观念”“论点”等也是大概念.

实施大概念教学，应首先准确的找到教材中哪些“概念”或“观念”可以作为数学中的大概念.对于提取大概念的路径，学者们研究的较多，其研究结果也不尽相同.例如，刘徽教授总结出八条提取数学大概念的路径，它们分别是：课程标准、核心素养、专家思维、概念派生、生活价值、知能目标、学习难点、评价标准［3］142-154.在这八条路径中，前四条是“从上到下”提取的，后四条是“从下到上”提取的.

有些数学大概念可以从多条路径去提取，如“抽象分析法”或“数学模型法”是一个数学大概念，这个大概念可以从《课标（2022年版）》界定的数学核心素养表现中看出来.“模型观念”是一个重要的素养，它是在学生建立各种模型（如方程模型、不等式模型、函数模型等）的过程中，逐渐形成和建立起来的，这种方法对于培养学生的应用意识以及创新意识都是至关重要的.因此，数学模型方法是一个大概念.

对于这个大概念也可以从“专家思维”中认定或获取.欧拉对“七桥问题”的解法在很多书上都有介绍，解决的基本步骤是：把人们步行过桥的问题（图1）抽象成一个“一笔画”（图2）问题.

抽象的过程非常独特，据数学家徐利治考查［6］，欧拉当时是这样想的：既然岛与半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁通往的地点，那么不妨把四处地点抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线，显然这样没改变问题的实质.于是人们企图一次无重复的走过七条桥的问题即等价于一笔画出上述图形（图2）的问题.这种思考方法就是“抽象分析法”.

欧拉进一步考查了一笔画的特征，一笔画有个起点和终点（起点和终点重合时便成为自闭图形）.除了起点与终点外，一笔画中出现的交点处曲线总是一进一出，故通过交点处的曲线是偶数条.这样一笔画至多只有两个点（即起点与终点）有可能通过奇数条曲线.观察图2发现四个点都通过奇数条曲线.因此，可以断言它不是一笔能画出的图形.

从上面的分析过程看，“抽象分析法”是欧拉解决问题的关键，所以这个大概念是从“专家思维”过程中获取的，从这个分析过程可以看出，“几何直观”“转化”也都是数学大概念.

2 数学大概念的层级

2.1 数学课程内容的层级结构

我们认真研究了《课标（2022年版）》，发现“课程内容”是按照“领域→主题→标题→内容”四个层次呈现的.“领域”“主题”“标题”三个层次是由内容接近的“内容群”组成的，“标题”下才是具体内容.初中学段的“课程内容”分8个主题、22个标题，共有157条具体课程内容，呈现结构如图3所示.《课标（2022年版）》在表述“课程内容”时，与前版相比不仅仅有“内容要求”，而且增加了“学业要求”和“教学提示”.每个领域的课程内容都是从“内容要求”“学业要求”“教学提示”三个方面呈现的.内容要求主要描述学习的范围和要求；学业要求主要明确学段结束时学习内容与相关核心素养所要达到的程度；教学提示主要是针对学习内容和达成相关核心素养而提出的教学建议［1］17.

例如，“数与代数”领域的“学业要求”是以“标题”为单位提出的，“教学提示”则是以“主题”为单位提出的；“圖形与几何”领域的“学业要求”是以“主题”为单位提出的，“教学提示”先提出该领域的“宏观”要求，然后再以“主题”为单位提出具体要求；“统计与概率”领域的“学业要求”和“教学提示”都是以“主题”为单位提出的；“综合与实践”领域的“内容要求”“学业要求”“教学提示”都是以“领域”为单位提出来的.

2.2 数学大概念的层级结构

初中数学教材是“章”为单位进行编写的，一章又分多节呈现，一节教材的内容可以用1课时或多课时完成.例如，苏科版初中数学教材对于主题“函数”是分三章设计的，分别是“一次函数”“反比例函数”“二次函数”.“二次函数”一章有5节内容，其中第一节“二次函数”只有1课时，第二节“二次函数的图象与性质”分为4课时.

数学教学是以课时为“单位”进行的，在每一课中都有一个“大概念”，不妨称之为“课时大概念”，如果某一节只有1课时，那么这个“课时大概念”也就是这一节的大概念，此种情况下的“节大概念”归并到“课时大概念”中.例如“二次函数”一章第一节只有1课时，这时的节概念也就是课时大概念，本文把这种只有1课时的节大概念和课时大概念通称为“课时大概念”.“二次函数”一章共五节，这五节的“课时大概念”之上为“章大概念”，一节课设多课时的“节大概念”并到“章大概念”中，称为“章节大概念”.“一次函数”“反比例函数”“二次函数”三章上面是主题“函数”的大概念，俗称“单元大概念”.“数与式”“方程与不等式”“函数”这三个“主题”的“单元大概念”上面就是初中数学学科的大概念.“数与代数”领域的这三个主题的“单元大概念”都是数学学科大概念的下位概念，当然，数学学科的大概念也是《课标（2022年版）》界定的另外5个主题以及“综合与实践”对应的“单元大概念”的上位概念.这样一来，数学学科大概念便是由多个概念组成的概念“集合”.

于是，初中数学大概念从上到下可分为“课程大概念—单元大概念—章（节）大概念—课时大概念”四个层级，这个关系如图4［7］.

在初中数学中，《课标（2022年版）》提出的“学生核心素养”是义务教育阶段的数学课程目标，这个目标主要表现在三个方面“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界，会用数学的语言描述世界”［1］5.这里的“三会”便是数学课程的一个大概念，这个“大概念”是我们编写教材、开展数学教学的纲领性“大概念”.

3 数学教学应以大概念为核心展开

为培养学生的数学核心素养，提高学生在未来社会中的竞争能力，数学教学必须实施大概念教学.

3.1 开展大概念教学是把握教材的需要

教材是课程标准的载体，是对课程标准的再创造，是具体化了的课程标准，是对课程标准的详细阐述.“三会”是数学课程的一个大概念，在此“统摄”下，教材编写者们首先根据课标的理念、课程目标以及最新的课程研究成果，把课程内容进行系统梳理、整体规划、设计制定出“宏观”编写方案，然后在方案引导进行详细编写，之后反复打磨、提升.

数学教材就是以“大概念”为“核心”组织课程内容.对于具体课程内容，是用一些具体栏目，如“观察发现”“思考交流”“探索活动”等为“主线”进行设计的.

《课标（2022年版）》中的“图形与几何”领域分“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题.

《课标（2022年版）》在叙述“图形的变化”主题的具体内容时，是分图形的轴对称、旋转、平移、相似和投影五个小标题提出了25条课程内容.这个主题的“单元大概念”确定为“图形的变化”，其它的如“轴对称”“平移”“旋转”等“大概念”都隶属于“图形的变化”，而“相似”则是“形状不变，大小正比例”的变化.

教材紧紧围绕这个“大概念”，把轴对称图形（等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆）纳入“图形的变化”单元，也把中心对称图形（线段、平行四边形、正多边形、圆）纳入其中，把运用图形的轴对称、旋转、平移设计图案归于旗下.还把图形的相似、位似、锐角三角函数以及投影也都归入本单元.可见“图形的变化”是“图形与几何”领域的一个大概念，其本质在于运动变化过程中既有不变的性质，也有不变的量.

3.2 大概念教学是学生形成专家思维的前提

从思维的角度看，在数学教学中，我们应以课程内容为“载体”，把“专家思维”通过教师的思维“作用”到学生身上，形成学生思维，整个过程如图5所示.

从这个意义上讲，数学教师通过自己对教材的研读、教案的设计、课堂上落实教案等过程中应“协调”好三个思维活动：教材编写专家的思维活动、学生的思维活动及教师本人的思维活动.教师应通过创设问题情境，激发学生的思考、达到“激活”学生的思维的目的.学生在问题引导下积极思维、肯动脑筋、大胆猜想、通力合作、相互交流，在活动的过程中掌握数学基础知识、形成基本技能、感悟基本思想、积累基本活动经验.形成专家思维是数学教学的“理想”追求.只有开展数学大概念教学，才能真实反映专家思维的“初衷”，使学生的思维方式慢慢的向专家思维靠近.

3.3 大概念教学是进行核心素养教育的需要

“大概念”是将素养落实到具体教学中的锚点［5］31，是落实核心素养教育的抓手.初中阶段的“课程内容”约为360课时左右，这些课时要经过三年的数学学习才能完成.这么多课时，教师如果不能从“整体上”把握这些课程内容，而是“孤零零”上每一节课，那么学生学到的知识必然是“零散”的，这样的知识结构是没有创造性的.杜威曾经提到过三种水平的教学，“最不好的一种是把每堂课看作一个独立的整体”［3］46.

孤零零的知识点是不能反映“专家思维”的，这种“把一节课就当一节课教”的教学是根本不可能让学生用“专家思维”来观察、思考、表达数学现实世界的，是不能形成学生“三会”的.这种“孤立”的教学是不能很好地培养学生数学核心素养的，也无法落实《课标（2022年版）》的课程理念和课程目标.

大概念教学是以大概念为核心目标的教学，它指向于培养学生解决真实问题的素养［3］46.大概念教学是符合《课标（2022年版）》理念要求的教学方式，开展大概念教学是培养《课标（2022年版）》界定的各种数学核心素养的需要，是实现“三会”核心目标的根本途径.

参考文献

［1］中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：86.

［2］吕立杰.大概念设计的内涵与实施［J］.教育研究，2020（10）：53-61.

［3］刘徽.大概念教学：素养导向的单元整体设计［M］.北京：教育科学出版社，2022：38-39.

［4］薛茂芳.数学概念及其教学：修订版［M］.北京：光明日报出版社，2013：35.

［5］夏繁军.大概念视角下的高中数学单元整体教学设计［M］.北京：北京教育出版社，2023：40.

［6］徐利治.数学方法论选讲［M］.武汉：华中工学院出版社，1988：11.

［7］吕增锋.高中数学大概念的内涵及提取［J］.中小学教师培训，2021（17）：53-55.

作者简介 孙友权（1979—），男，江苏扬州人，中学高级教师；江苏省特级教师后备人才，江苏省“333高层次人才”培养对象，江苏省乡村培育站领衔人，泰州市十佳教师，泰州市学科带头人；曾获江苏省青年教师优质课一等奖，主持多项省、市级课题;发表论文20余篇.