不等式情境,函数性视角——一道不等式存在性问题的探究

⦿ 江苏省宿迁中学 蒋玉飞

含参不等式的存在性问题是高考数学试卷中比较常见的一类综合应用问题,经常交汇融合函数与不等式的相关知识,场景变化多端,形式创新多变,是知识综合与创新应用的一个重要载体.此类问题经常借助含参不等式的合理恒等变形与等价转化,综合利用不等式的基本性质转化为函数问题,从函数的视角来分析,借助函数的基本性质、图象等来处理与应用,实现问题的巧妙解决.

1 问题呈现

问题(山东省新高考联合质量测评2022年12月联考数学试卷·16)若存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

此题结合含参不等式存在性问题的创新设置,以指数函数、对数函数的复合形式作为基本载体,结合对应参数的取值范围的求解来创设问题.

在实际分析与解决该问题时,从含参不等式入手进行变形与转化,通过不等式的基本性质加以等价变形与应用,借助同构函数思维或函数的隐零点思维等视角来切入,展示灵活多变的解法与应用.

2 问题破解

2.1 思维视角一：同构函数思维

方法1：同构法1.

解析：依题意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

同构函数f(x)=xex,x∈(0,+∞),求导有f′(x)=(x+1)ex>0恒成立.

所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.

因此函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

所以g(x)≥g(1)=e,则实数a的取值范围为(e,+∞).故填答案：(e,+∞).

方法2：同构法2.

解析：依题意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

因为x>0,所以ex>1.又aln(ax)>ex>0,且a>0,所以ax>1.

同构函数f(x)=xlnx,x∈(1,+∞),求导有f′(x)=lnx+1>0恒成立.

所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.

所以实数a的取值范围为(e,+∞).

故填答案：(e,+∞).

方法3：同构法3.

解析：依题意知a>0.

同构函数f(x)=ex+x,易知函数f(x)在R上单调递增.

所以只需x-lnax-lnx成立.

所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.

因此函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

所以g(x)≥g(1)=e,则实数a的取值范围为(e,+∞).故填答案：(e,+∞).

解后反思：根据题设中不等式的恒等变形与转化,合理配凑不等式,使得不等式两边的结构特征相类似,从不同思维视角寻找同型、同构函数,结合参数的分离,以及函数单调性与最值的确定,巧妙求解参数的取值范围问题.不同视角的恒等变形,寻找共性,配凑同型,对应同构不同的函数,都可以达到解决问题的目的.

2.2 思维视角二：隐零点思维

方法4：带参讨论法.

解析：依题意知a>0,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

构建函数f(x)=ex-alnx-alna,x∈(0,+∞),则只需f(x)min<0即可.

令函数g(x)=xex-a(x>0),求导有g′(x)=(x+1)ex>0恒成立,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.

当x→0时,g(x)→-a<0;当x→+∞时,g(x)→+∞.

所以,当x∈(0,x0)时,g(x)<0,则f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,则f′(x)>0.

因此函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.

因此f(x)min=2a-2alna<0,即1-lna<0,解得a>e.

所以实数a的取值范围为(e,+∞).

故填答案：(e,+∞).

解后反思：根据题设将不等式存在性问题转化为函数的最小值小于0的问题,实现不等式问题函数化,进而结合含参函数的构建与求导处理,通过确定函数的隐零点,利用代换思维确定函数的最小值,进而确定相应的不等式,为求解参数的取值范围打下基础.此类利用函数的隐零点思维来处理的问题,解题时优化隐零点的取值范围是关键,也是破解问题的重点之一.

3 变式拓展

根据以上问题的“一题多解”,进一步加以发散思维,开拓方法,巩固相关的基础知识与基本方法,进行“一题多变”.

变式如果存在x∈(0,+∞),使得不等式(x+a)e2x

解析：构建函数f(x)=(x+a)e2x-a(x>0),则有f(0)=0.

依题意,存在x∈(0,+∞),使得不等式(x+a)·e2x

求导,有f′(x)=(2x+2a+1)e2x.

4 教学启示

4.1 思维方法总结,技巧策略归纳

破解此类含参不等式存在性问题的参数的值、取值范围或最值等相关问题中,常用的技巧方法就是从函数视角切入,结合函数性质来分析与处理.常见的技巧策略主要有以下几类：

(1)带参讨论.合理分类讨论,利用函数的隐零点方程代换确定相关的最值,解题时注意优化函数隐零点的取值范围及等价转化.

(2)合理构造函数.经常借助不等式的恒等变形,寻找不等式两边对应的代数关系式结构特征中的共性与同型,巧妙同构函数,利用函数的单调性以及参变分离法等来综合与求解.

(3)合理分离参数.主要针对能够分离出对应参数的相关问题,一般在等式或不等式的一边只含有参数,另一边是基本初等函数或对应的复合函数,进而通过数形结合等直观思维求解.

4.2 倡导“一题多解”,培养核心素养

“一题多解”对学生数学逻辑思维能力的培养有着重要影响,教师应注重将“一题多解”的意识渗透到数学课堂解题教学中.借助“一题多解”,从不同角度进行解法探究,让学生在解题探究中感悟数学思想方法之美,同时结合“一题多变”,达到“一题多得”“一题多思”等良好效果,培养思维的发散性与开拓性,全面开拓视野,提升数学能力与数学品质,培养核心素养.