一道三角最值题的破解与拓展探究

⦿ 浙江省杭州市萧山区第三高级中学 傅小燕

三角函数的最值或取值范围等综合问题,一直是高考中三角函数知识模块的重点与难点之一,可以很好融合三角函数的基本概念、基本公式、三角函数的图象与性质等,以及函数与方程、函数与导数、不等式及其应用等相关知识,思维视角多样,方法技巧多变,是全面考查数学“四基”与数学能力、展示知识交汇与体现方法多样性的一个重要场所,倍受各方关注.

1 问题呈现

根据题设条件中三角函数解析式的结构特征,往往可以从三角函数思维、解析几何思维以及函数与导数思维等切入,结合不同的数学思维与技巧策略,以及三角函数的基本知识与基本方法等的分析与应用,呈现精彩纷呈、灵活多变的技巧方法.在此题设条件下,巧妙变式拓展,达到“一题多思”与“一题多变”,实现“一题多得”的目的.

2 问题破解

2.1 三角函数思维

方法1：二倍角公式法.

解析：依题意,结合三角函数中的二倍角公式有

方法2：万能公式法.

解析：依题意,结合三角函数中的万能公式有

接下来部分同方法1.

解后反思：回归三角函数本质,利用三角函数思维,借助三角恒等变换中的二倍角公式或万能公式转化对应的关系式,进而利用二次函数确定相应的最值问题.三角函数思维是最本能的一种思维方式,借助三角函数思维来分析与处理,公式变形与数学运算比较繁杂,确有一定的难度.

2.2 解析几何思维

方法3：数形结合法.

图1

解后反思：结合分式型函数的最值情境,合理联想到直线的斜率模型,利用解析几何思维加以数形结合,直观分析,是解决此类问题中比较常用的一种方法.在数形结合直观处理此类问题时,要注意对分式型函数进行必要的变形与转化,并确定变量的取值范围,这样“数”与“形”之间才能实现无缝链接.

2.3 导数思维

方法4：导数法.

解后反思：回归本源,三角函数作为函数中的一种特殊类型,涉及最值问题的求解往往都可以利用导数思维.借助函数求导处理来确定函数的单调性,是破解此类问题中的一种“巧技妙法”.利用导数思维解决最值问题时,思维比较常规,步骤比较熟悉,问题的解决更加简单快捷.

3 变式拓展

3.1 同阶变形

保留题设条件中自变量的范围,改变设问方式来合理变式.

3.2 高阶变形

保留题设条件中的函数解析式,取消对自变量范围的限制,实现问题的综合变式.

解析：待定系数法.

(t-1)sinx+2tcosx=1.

根据辅助角公式,可得

4 教学启示

4.1 不同思维切入,技巧方法对比

在解决此类涉及给定区间的三角函数关系式的取值范围(或最值)问题时,回归三角函数思维是破解问题中最为常用的技巧方法,利用三角恒等变换公式加以转化与应用,合理变形成一个可以判断范围的三角关系式来求解;借助三角函数关系式的结构特征,合理构建与之相吻合的模型——直线的斜率公式,是利用解析几何思维解决问题的关键;而回归函数的本质,利用导数思维来解决对应函数的取值范围(或最值),是解决此类函数问题中最为基本的一种方法,有时只是运算量比较大而已.不同的思维视角与技巧方法,各有各的特点,可以结合自身的理解与掌握情况来合理选择与巧妙应用.

4.2 倡导“一题多解”,开拓“一题多变”

涉及三角函数的最值或取值范围等综合应用问题,体现了多知识模块之间的交汇与融合.通过多知识交汇应用,结合多思维视角切入,实现多技巧方法破解,并加以深入分析、挖掘、探究,达到“一题多思”“一题多解”的目的.在此基础上加以不断提升,实现“一题多变”“一题多拓”“一题多得”等,充分复习、巩固、总结数学相关知识和数学思想方法等,全面考查学生的数学思想与数学能力,为学生养成良好的思维习惯、优良的数学品质以及数学核心素养等方面都做了有益的尝试.