MPCK视角下的“基本不等式”单元教学

⦿ 安徽省宣城市第二中学 汪智源

1 问题的提出

新课程标准要求以培养学生的数学核心素养为出发点和落脚点,强调以“学科大单元”为载体,多层次、多方式、多角度在教学活动中发展学生的“四基”“四能”.在教学实践中落实上述要求,教师是学生数学核心素养培养的关键.教师需要哪些专业素养?在课堂教学中教学策略该如何选择、实施?这些问题的解决,笔者认为可以从教师的MPCK入手.

2 MPCK的简介

教师需要哪些相关的专业素养呢?黄毅英教授提出的MPCK概念回答了这个问题.MPCK结构模型认为数学教师开展常规教学应具备3类知识：数学学科知识(简称MK);一般教学法知识(简称PK);有关数学学习的知识(简称CK).在日常教学中,教师往往需要综合运用这3类知识,才能把科学形态的数学知识有效地转化为教育形态的数学知识[1].笔者在此就以黄教授的划分为标准,从MK,CK和PK三个角度,以“基本不等式”一节为例,基于MPCK视角来谈相关的单元教学的落实问题.

3 MPCK视角下的单元教学

3.1 从MK(数学学科知识)的视角探讨

在日常教学中,教师要将不同章节之间的内容联系起来,帮助学生构建一个完整且有机的知识框架.这需要教师投入大量时间和精力反复研读教材,提高自身的MK.这里的MK包括：(1)关于课程内容的知识;(2)关于教学目标和学生学习发展轨迹的知识[2];(3)关于形成性和终结性评价的知识.下面按照上述分类依次阐述.

3.1.1 关于课程内容的知识

“基本不等式”作为一种特殊的不等式,是实数的“序”关系的特殊化,体现了代数特征中“序”的一种基础不等关系.“基本不等式”的“基本”主要体现在：自身结构的简洁;形式多样(代数和几何);模型应用的广泛;是其他代数公式的基础(章建跃).

3.1.2 关于教学目标和学生学习发展轨迹的知识

关于教学目标知识,《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的要求是：“基本不等式”作为高中数学的预备性知识,要注重对基本不等式及其相关概念的理解;要求让学生经历真实的问题情境,培养“数学建模”等素养.学生学习相关知识的轨迹：学生已在初中学习了一元一次不等式及其简单应用、“不等式和不等关系”等内容,在本节之后还要学习“用函数的观点来认识不等关系”.

3.1.3 形成性和终结性评价的知识

王雯在其论文“基于数学核心素养的高中基本不等式教学设计研究”中,从“水平一,知识理解;水平二,知识迁移;水平三,知识创新”三个层面,对本节内容涉及到的上述数学核心素养的六个方面做了分析.通过分析可见,本节内容对学生数学核心素养的要求都有涉及,层级的要求是较高的.同时,教师也要意识到学生数学核心素养的培养是一个个整体、系统和有序的过程.

3.2 从CK(有关数学学习的知识)的视角探讨

在教学过程中,教师需要全面深入地了解学生的学习需求,即教师的CK,此CK包括学生已经学到的知识、遇到的困难以及所处的问题情境等.

对于本单元内容,虽然学生在初中具备了一定的符号意识、运算能力和推理能力,但对代数的一些基本思想方法的感悟还欠火候,代数变形的经验和体验还有待进一步丰富;模型思想、应用意识和创新意识等方面的核心素养略显不足.鉴于上述分析,笔者认为部分学生可能遇会到的困难是：(1)教学情境引入问题;(2)基本不等式的证明——从“数”和“形”的视角;(3)基本不等式的相关概念;(4)“基本不等式”模型的建立及其相关应用.笔者将在下面的PK内容中来谈解决上述困难的建议.

3.3 从PK(一般教学法知识)的视角探讨

在日常教学设计中,教师需要认真分析各个知识点之间的联系和区别,事先预测学生可能遇到困难的地方,并制定相应的解决方案.只有做好知识点之间的衔接,并确保学生真正理解、掌握所学的内容,才能真正解决如何有效传授知识的难题,这就需要教师的PK.此PK包括：(1)教师采取的有效和针对性的教学策略;(2)教师的教学机智——是否能让不同的学生的数学核心素养得到不同层次的培养.具体是指对学生数学概念的表达、学生反应的评估等互动活动,以及教师角色的定位[3].根据本部分内容的特点,“基本不等式”需要安排两个课时.下面就从CK中所提四个方面来谈PK方面的处理.

3.3.1 教学情境引入问题

林建辉等在文[4]中给出了五种课堂引入的方法：(1)弦图导入;(2)对比两不等腰直角三角形活动引入;(3)天平问题引入;(4)完全平方公式引入;(5)几何意义(射影定理中的直角三角形)引入.从教材编写的情况来看：人教版教材(2019年)(以下简称教材)将弦图前置到前一节,用完全平方公式引入;北师大版(2019年)教材类似,只是将弦图后置为阅读材料;苏教版(2019年)教材用天平问题引入,将弦图后置为一个练习.由此可见,课堂引入的方式是多种多样的,且各有特色.关键在于教师根据学情选择恰当的方式——最有利于学生的学习特点,否则就会有“立意很高,落地不易”或者“门槛过低,没有思维挑战性”的窘境.笔者在此建议,根据学情,首选所用教材的处理方式为宜.

3.3.2 基本不等式的证明——从“数”和“形”的视角

3.3.3 基本不等式的相关概念

“基本不等式”成立的条件“一正二定三相等”和“积定和最小,和定积最大”是教师课堂教学的着力点——学生要达到“理解”层次还有些吃力.

3.3.4 “基本不等式”模型的建立及其相关应用

学生数学抽象和数学建模素养的培养只能在解决实际问题的情境中.数学实际应用问题的解决,首先在于如何准确把应用问题转化为“数学语言”,以及把最终结果用“自然语言”表示出来;其次是把握数学相关符号、公式等表示内容的准确性.

对于培养学生数学抽象和数学建模等核心素养,教材中的例3、例4是有作用的.如对于例3的教学,教师要根据学情设置真实有效的问题情境,层层设问.若学生基础较好,教师可以提出一些元认识的问题：这个问题你认为该如何解决?是否可以设计一个解决方案?用数学方法解决实际问题的一般步骤有哪些?若学生基础较弱,教师可以提出一般性的认知问题：上述实际问题转化成数学问题是什么?如何用数学形式表达上述问题——该如何设变量?变量的范围是什么?最短(最大)该如何用数学知识来表示?让学生在不同应用场景中积极参与,努力思考,积累基本活动经验,以期能得出更有创新性的解决问题的方法.在解决例3后,教师可以设计变式：“若菜园内有一条宽2 m的小径,问题又该如何解决?”这是学生熟悉的真实问题,教师要给学生充足的时间思考.这个问题的回答反映了学生思维严谨性的不同水平——小径在菜园的什么位置?与“长”平行还是与“宽”平行?“斜”着的吗?“斜”到什么程度?等等.然后教师可以根据学情,选择其中2～3种类型,让学生自主探究,力争能灵活应对基本不等式的各种应用场景,更加精准地制定解决方案,最终得到解决这类问题的一般套路和模式.

实际问题情境的解决过程中,教师要鼓励学生积极思考.对于例4,教师可结合例3给出例4：如果在这片菜园附近,也找一块长方形土地,根据要求建造一个长方形水池,具体要求如下——例4.考虑到本节内容处于高中预备知识的位置,学生的空间想象能力停留在初中层面,教师在例4的教学中,就不宜过多拓展,以免冲淡本节内容的主题——基本不等式.同时,教师可以结合本节课的例题给学生传授一些数学文化、数学史知识,如“欧拉羊圈问题”等.

总之,“基本不等式”单元的教学,教师离不开从MK,PK和CK的视角认真、审慎地分析教学内容,从中找到存在的不足,及时学习、弥补和充实,最终内化到自己的知识结构体系中去.同时,MPCK属于缄默知识,缄默知识不同于显性知识,不能直接告知,需要教师在日常教学实践中深度参与,完善自身MK的专业功底(扎实的数学专业基础和充足的数学史和数学文化知识),提高自身PK知识(及时更新最新教育学和心理学成果)和增长自身CK能力(对教学案例的分析总结和自身教学过程的不断反思),最终优化自己的MPCK结构体系.当然,教师的数学教学内容知识(MPCK)的提升应该是个动态的、持续的过程,需要教师“在教中学,在做中悟”.