固定收益资产分散风险研究

邓 瑛 李小龙

（广西科技师范学院 广西 来宾 546199）

大部分经济学文献都致力于研究股票投资组合的分散风险，研究固定收益投资组合分散风险的研究较为少见，但实际上许多机构投资者的资产中很大一部分是固定收益证券，尤其是在欧洲和其他发达经济体中，投资公司的分散风险和集中风险很大程度上与固定收益资产有关。固定收益资产（包括抵押担保的债券和股票等）组合的分散风险至少与利率风险和信贷风险有关。本文重点放在研究利率风险和信贷风险的分散性，不考虑潜在的附加风险，如预付风险。

该研究的成果主要有两点：一是构建一个能帮投资者确定应纳入投资组合的最小固定收益资产数量的管理工具，该工具可以减少投资者在设计投资组合时需要做的金融分析数量；二是为投资者提供一种关于敏感性的分析方法，该方法能让投资者根据影响信用和利率的主要因素的实时变化，调整债券投资组合中产品发行人的类型和数目。

构建信用风险的一般分散风险框架时，首先要在结构性模型和降阶模型中做选择。结构性模型是根据公司资产的动态进行建模，结构性模型虽然可以考虑利率风险，但有以下一些不足：无法计算固定收益资产投资组合的最佳分散风险水平；很难以稳健的方式校准从股票和债券数据中得到参数；加大了利用高斯假设构建投资组合信用风险模型的难度；难以形成与市场一致的框架，模型缺乏解释能力；无法得到固定收益投资组合中固定资产的最优搭配与利率风险及信用风险参数之间的关联公式。鉴于结构性模型的缺点，认为结构性模型不适用于固定收益资产的分散风险研究，相反，引入债券的价格信息后做出的关于利率风险和信用风险主要成分的降阶模型更适用于本研究。另外，本文所构建的风险指标是市场一致或风险中性的，目的是能够将其纳入一个更一般的偿付能力框架，并与套利估值程序保持一致。

模型将投资组合折现收益的变异系数作为衡量风险的指标，该风险指标有不受资产规模和价格影响的优点。当风险是完全可分散时，对于数量足够多的债券，风险收敛于零；当利率风险或信用风险不能从投资组合中完全分散时，风险收敛于一个非零常数。本文做出了一个该风险指标的渐近值与利率和信用主要驱动因素之间的相关函数式，还研究了固定收益资产的临界数量与主要经济变量之间的相关性。

一、利率风险的分散性

首先研究一下政府债券投资组合利率风险的分散性，因为没有研究纯利率组合的情况就无法进一步研究一般债券投资组合的风险分散性。一般债券投资组合的风险分散性将在下一个专门研究信贷风险分散的部分中详细讨论。

（一）定义变量

设ZT表示在时间T 时任意到期零息债券的贴现收益。那么，

其中随机变量IT等于：

在风险中性的情况下，该债券的价格为未来收益贴现的风险中性期望为：

同样定义：

那么贴现收益的风险中性方差为：

标准差为：

（二）相互独立的政府债券投资组合

首先考虑一个由N 个不同国家发行的政府债券组成的投资组合，假设组合中所有的政府债券都有独立且相同的未来贴现收益，那么整个投资组合的贴现收益为：

其中wi代表这个投资组合中债券i的权重。

那么有

不妨定义

投资组合贴现收益的风险中性期望为：

因为前面假设了投资组合中所有债券的未来贴现收益是相等的。

那么有：

接下来计算投资组合贴现收益的风险中性方差：

因此

利用贴现收益的均值和方差的表达式，就可以计算出贴现收益的变异系数。因为贴现收益的变异系数与投资组合的规模无关，所以很适合作为风险指数。另外，因为变异系数的分母是债券投资组合的价格，所以用变异系数来衡量债券投资组合风险的大小是从价格的角度进行分析的。

此外，要强调，风险指数使用的是风险中性假设中的变异系数。所以作为风险指数的风险中性变异系数在计算时使用的应该是机构投资者的市场估值（也称为风险中性估值），同时拟合的对象应该是风险中性情况下发行人数量达到一定程度的公司资产投资组合。一般来说，公司投资组合的产品中经常会带有嵌入期权或利率期权，这种情况下，分析的背景其实就是风险中性的。

显然，下面所展示的基于风险中性假设下的所有结论都可以结合实际情况灵活运用。此外，它的推广性还体现在可以运用于研究多种影响因子与最优产品发行人数量之间的相关关系。例如，可以推广到通过信用评级决定投资组合中应包含的产品发行人数目。

通过前面的论证，可以推导出变异系数应为：

当所有的权重都相同时，此表达式变为：

可以看出，变异系数与债券数量N的平方根成反比。

在极限的情况下有：

这个结果很重要，它说明了一个独立的政府债券投资组合风险是完全可分散的。事实上，当投资组合中的政府债券数量足够多时，以变异系数衡量的风险能够几近于消失。

接下来可以通过将风险指标控制在临界阈值以下来计算发行人的临界数量。

假设μ是投资者所选择的风险指数cvQ(ZPT)的临界阈值，那么以μ 为临界阈值时债券临界数量Nμ的最小整数的计算应如下所示。

因为μ为临界阈值，风险指数cvQ(ZPT)要控制在临界阈值之下，所以有：

所以Nμ的最小值应为：

然后再取最接近的大于这个最小值的整数作为最终债券临界数量。

这个公式的解释如下：任意债券数量大于或等于Nμ的投资组合，贴现收益的变异系数小于μ。这说明当利率风险较高时，投资组合需要更多数量的债券以维持组合风险不变。

以变异系数为风险指数能测量出固定收益投资组合单位价格的风险，继而可以比较成本相同的投资组合包含的风险大小。但也可以简单一点，将投资组合平均贴现收益的方差作为风险指数测量固定收益投资组合单位数量的风险（不再是投资组合单位价格的风险）。

具体来说，假设投资者将λ 作为新风险指数VarQ(ZPT)的临界值，在以方差为风险指数的方法中，债券数量的最小整数Nλ的取值过程应如下：

所以N͂λ的最小值应为：

这个公式的解释如下：任意债券数量大于或等于N͂λ的投资组合，平均贴现收益的方差小于λ。

（三）相互关联的政府债券投资组合

下面进一步讨论投资组合中的政府债券相互关联的情况，这种情况更符合实际。

假设一个投资组合中有N 个相互有关联的政府债券，它们的贴现收益仍假定是同分布的，但彼此是相关联的而且任意两个发行人之间的关联债券数目相同。同样，债权投资组合的贴现收益为：

与相互独立的债券组合类似，可设贴现收益的风险中性期望为：

那么投资组合平均贴现收益的风险中性方差满足:

所以有

基于假设，可以改写为：

令投资组合中任意两个债券贴现收益的风险中性协方差为：

令

那么根据以上假设有：

当所有债券的权重相等时有

所以

那么

从而有

由上式可知，在产品之间有关联性的投资组合中，投资组合的利率风险是不能通过增加投资产品的多样性完全分散掉的，因为（31）式中的极限只能为正数。（31）式说明产品之间关联性越强，关联指数ζ越高时，投资组合的残差风险越大。

最后，目标是要计算出满足条件时Nμ的最小整数取值，根据条件有：

所以Nμ的取值为：

接下来，推广（18）式和（33）式，同时考虑利率风险和信用风险。

二、利率风险和信贷风险的交互分散性

公司债券既有利率风险也有信用风险。为简单起见，假设所有的公司债券都是以同一种货币发行的。与之前的假设一样，假定所有债券都是期限相同的零息债券，因为息票债券可以看作是多个零息债券的组合。通过推导可以得到一个用于理解关联投资组合信用风险分散性与主要利率风险和信用风险相关性的含参解析式。

假设一个有信用风险的零息债券的贴现收益为Zi,cT（“i”表示第i 个债券，“c”表示“信用风险”，“T”表示债券到期时间），那么贴现收益Zi,cT可表示为：

其中，τi表示债券i的终止时间，0 ≤Ri≤1表示可赎回收益率，P(τi＞T)表示债券到期赎回的概率，P(τi≤T)表示债券提前终止（或发生违约）的概率。假设无论是否发生违约事件，赎回金都在原定到期时间T时支付。

对于可违约债券的投资组合：

那么，

或者

根据Cox回归模型，债券i违约风险λi的大小可能是一个与市场利率r 及其他债券违约风险有关的随机过程。假定ς表示含有市场利率r、信用风险指数λi和可赎回收益率Ri信息的滤流。根据滤流ς 的条件，信用风险指数λi可以看作是一个关于时间的确定性函数，而且债券i 的终止时间τi可以看作是这个非齐次泊松过程（随机过程）第一次跳跃的时间。

以下两个式子是得到普遍认同的：

和

其中定义：

利用条件期望的塔性，可将等式（37）重新写为：

或

当利率风险和信用风险是相互独立的时候，（42）式可以简化如下：

如果进一步假设可赎回收益率是不变的，那么

进一步定义

那么有

接下来研究固定收益投资组合的方差。

首先，根据（35）式有：

或

利用条件期望的塔性，可将等式（48）重新写为：

因为IT是信息ςT的已知条件，所以又可改写为：

（50）式可展开写为：

因为可赎回收益率Ri是信息ςT的已知条件，所以（51）式又可以写成：

三、结论与扩展

研究主要的成果是找到了一个新的确定机构投资者固定收益投资组合临界数量的模型及分析了投资组合中发行人临界数对主要利率风险和信用风险影响因素的敏感性。研究得出的一个重要结论是：分析可违约资产的风险分散性必须考虑利率风险，均值回归力（或者说央行干预市场的力度）对投资组合利率风险的分散性影响很大，而在赎回收益率、违约相关系数或守信概率较低的情况下，信用风险更具分散性。

本研究对投资者的帮助主要在：投资者可以通过模型确定基于投资者选定的风险下，应纳入其投资组合的固定收益发行者的最小数量。通常投资组合中会包含10 到50 个不同的债券，不同债券的投资金额会不一样，因此确定满足投资者风险期望的发行人数量的过程比较复杂，但是计算时间越快，参数越符合市场的实际情况，本研究能科学缩短投资者的计算时间，简化计算过程，帮助投资者做出兼顾当下市场上利率情况和信用情况的最优投资策略，以及帮助投资者根据市场上主要信用和利率影响因素的变化，及时调整债券投资组合的结构。

研究的局限性在于没有给出测量利率风险和信贷风险的方法。Vasicek模型中对信用风险的表达可能过于简单，若要提升该研究的精准性建议使用能更准确测算信用风险的利率模型。此外，信用风险评估因子的选取范围可以更广。还有关于信用评级较低的债券，是否应该花更大的代价以保证更高的风险分散性，是一个值得继续深入研究的问题。