2024年普通高等学校招生全国统一考试数学新高考Ⅱ卷模拟试卷
2024-05-08李昌成
李昌成
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）07-0106-09
一、单选题：本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.
1.复数i3（1+i）2=（ ）.
A.2 B.-2 C.2i D.-2i
2.已知集合A={x|-2 3.某校三位同学报名数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（ ）. A.51种 B.45种 C.48种 D.42种 6.函數f（x）=ex-ln（x+m）在［0，1］上单调递增，则（ ）. 8.已知数列an的各项均为正数，且a1=1，对于任意的n∈N*，均有an+1=2an+1，bn=2log2（1+an）-1.若在数列bn中去掉an的项，余下的项组成数列cn，则c1+c2+…+c100=（ ）. A.12 010 B.12 100 C.11 200 D.11 202 二、多选题：本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求. 9.如图1所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则（ ）. A.该圆锥的母线长为5 B.该圆锥的体积为12π C.该圆锥的表面积为15π D.三棱锥S-ABC体积的最大值为12 10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，顶点为O，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，A在第一象限，若|AF|=3|FB|，则下列结论正确的是（ ）. C.OA⊥OB D. 以AF为直径的圆与y轴相切 B.f（x）有两个不同的零点 12.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）. A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B.任取一个零件是次品的概率为0.052 5 三、填空题：本大题共4小题，共20.0分. 13.已知向量a=（1，-2），b=（-3，1），那么 |a-b|=. 15.已知圆C：x2+y2-4x-2y+1=0，点P是直线y=4上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的最小值为． 四、解答题：本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c-b）cosA． （1）求sinA； 18.已知数列an满足a1=1，an+1=an+2，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2-bn． （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和Tn． （1）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率; （2）求该嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 20.如图3，等腰Rt△ABC的底边AB=2，点D在线段AC上，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图4）． （1）求证：PB⊥DE； （2）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求平面PDE与平面PBC所成的锐二面角的正弦值． （1）求双曲线的标准方程； 22.已知函数f（x）=aln（x+1）-sinx． 参考答案 1.i3（1+i）2=（-i）（1+2i+i2）=（-i）×2i=-2i2=2，故选A． 3.设三位同学为A，B，C，由题意，参赛方案分为两种情况： （1）数学学科有2人报名：先选2人报名数学，有C23种结果（假设为A，B），其余三科的参赛方式又分为两种情况： ①A，B选同科，有C13种结果；②A，B选不同科（即A，C或B，C选同科），有C12·C13·A22种结果，所以数学学科有2人报名时共有C23·（C13+C12·C13·A22）=3×15=45种结果； （2）数学学科有3人报名：先选3人报名数学，有C33种结果，其余三科的参赛方式有A33种结果，所以数学学科有3人报名时共有C33·A33=6种结果. 综合（1）（2）得不同的参赛方案有45+6=51种． 故选A． 故-x（2x-1）（x+a）=-x（-2x-1）（-x+a）. 化简，得2（2a-1）·x2=0. 故选A. 5.设M（x1，y1），N（x2，y2），则 因为MN的中点坐标为（1，-1）， 因为直线MN的方程是y=2（x-1）-1， 所以y1-y2=2（x1-x2）. 故选B. 所以m≥e-x-x在［0，1］上恒成立. 而y=e-x-x在［0，1］上单调递减， 则（e-x-x）max=1，则m≥1. 又x+m>0在［0，1］上恒成立，所以m>0. 所以m的取值范围为m≥1． 故选A. 故选A. 8.因为an+1=2an+1（n∈N*），即 an+1+1=2（an+1）. 故数列{an+1}是公比为2的等比数列. 又a1+1=2，所以an=2n-1（n∈N*）. 由bn=2log2（1+an）-1=2log2（1+2n-1）-1=2n-1（n∈N*）， 则b1=1，bn+1-bn=2（常数）. 所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列. 又b1=a1=1，b64=127，b106=211，b107=213， 可得a7=127，a8=255. 因为b64=a7=127，a7 故选D. 圆锥的表面积S=π×32+π×3×5=24π，故C错误； 故选ABD. 10.如图5，过点A，B分别作抛物线的准线x=-1的垂线，垂足为A′，B′，过点B作AA′的垂线，垂足为点E．设|BF|=m，则|AF|=3m. 由抛物线定义得|AE|=|AA′|-|BB′|=|AF|-|BF|=3m-m=2m，|AB|=4m. 故选ABD. f（1）=0，当0 故选ACD. 12.取到的零件可能来自第1台，第2台或第3台车床，有3种可能． 设Ai为“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），则样本空间Ω=A1∪A2∪A3且A1，A2，A3两两互斥． B为“任取一零件为次品”，根据题意得P（A1）=0.25，P（A2）=0.3，P（A3）=0.45，P（B|A1）= 0.06，P（B|A2）=P（B|A3）=0.05. 由全概率公式，得 P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+ P（A3）P（B|A3）=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525， 故B正确. 如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率． P（A1B）=0.25×0.06=0.015，故A错误. 故C正确； 故D错误. 故选BC. 13. 因为向量a=（1，-2），b=（-3，1）， 所以a-b=（4，-3）. 15.圓C：x2+y2-4x-2y+1=0， 即（x-2）2+（y-1）2=4. 如图6，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB. 所以S四边形APBC=2S△ACP=CA·PA. 因为CA=CB=r=2， 所以S四边形APBC=2PA. 所以AB最短时，CP最短，点C到直线y=4的距离即为CP的最小值. 所以CPmin=3. 若使得n-m取最小值， 17.（1）在△ABC中，由acosB=（3c-b）cosA及正弦定理，得 （3sinC-sinB）cosA=sinAcosB. 得3sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）. 因为A+B+C=π， 所以sin（A+B）=sinC≠0. （2）因为△ABC的面积为 解得bc=3. 可得b2+c2=10. 18.（1）由题知，a1=1，an+1-an=2.所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列. 所以an=1+（n-1）×2=2n-1. 又当n=1时，b1=S1=2-b1， 所以b1=1. 当n≥2时，Sn=2-bn，① Sn-1=2-bn-1.② 由①-②，得bn=-bn+bn-1. 利用分组求和可得， 19.（1）设“该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥． （2）由题意知，X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000， 所以X的分布为 （2）由（1）知DE⊥PE，DE⊥EB，且PE⊥BE， 所以DE，BE，PE两两垂直． 设PE=a（0 设平面PBC的法向量为n=（x，y，z），则 取n=（a，a，2-a）， 又取平面PDE的法向量为m=（0，1，0）， c2=4a2=a2+b2. 在Rt△F1PF2中， PF12+PF22=F1F22=4c2. 又点P为双曲线在第一象限上的一点，由双曲线的定义得 PF1-PF2=2a. 即PF12+PF22-2PF1·PF2=4a2. 又|PF1||PF2|=6，所以4c2-12=4a2. 又c2=a2+b2，解得a2=1，b2=3. （2）在x轴上存在定点Q（-1，0），m=-1，使得 当直线l的斜率不为0时，设其方程为x=ty+2， 化简，得（3t2-1）y2+12ty+9=0. =（ty1+2-m）（ty2+2-m）+y1y2 =（t2+1）y1y2+t（2-m）（y1+y2）+（2-m）2 解得m=-1，则Q（-1，0）. ［π4，π2］上恒成立． 所以a≤（x+1）cosx在［π4，π2］上恒成立． 令g（x）=（x+1）cosx，则 g′（x）=cosx-（x+1）sinx． 所以a≤g（x）min=0. 即a的取值范围为（-∞，0］. （2）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-sinx，则 当x>e-1时，ln（x+1）>lne=1≥sinx， 所以f（x）>0在（e-1，+∞）上恒成立. 因为e-1<π， f（e-1）=1-sin（e-1）>0，
