B样条拟插值算子在Orlicz空间中的逼近
2024-05-02闫丽新韩领兄
闫丽新,韩领兄
(内蒙古民族大学数学科学学院,内蒙古 通辽 028043)
1 预备知识
首先介绍Orlicz空间[1]。
定义1[1]设定义在R=(-∞,+∞)上满足如下性质:
1)M(u)是偶的连续的凸函数且M(0)=0;
2)当u>0时M(u)>0;
由定义得出存在非减的右连续函数p(t),使得
其中p(0)=0,p(∞)=∞。
定义2[1]N函数M(u)的余N函数N(v)定义为:
其中q(s)=为p(t)的右反函数。
定义3[1]由N函数M(u)在闭区间[a,b]上生成的Orlicz空间是指具有有限Orlicz范数
的可测函数全体{u(x)} 。这里ρ(v,N)=是关于v(x)的模。
Orlicz范数还可以表示为:
定义4[2]设,r≥1,t≥0,称
为K泛函,其中f在(a,b)上局部绝对连续}。
定义5[2]设,r≥1,t≥0,则称
为f的r阶连续模或r阶光滑模,其中
称为f在x点上步长h的r阶差分。
关于K泛函及光滑模具有以下等价性质[2],即存在常数A1与A2不依赖于f和t,有
文中C表示与x无关的常数,在引理1、引理2及定理1的证明中不同的地方其值也不同。
自20世纪以来,函数逼近论已成为函数理论中最重要的分支之一。而在Orlicz空间中研究算子逼近是逼近论的一个重要分支,近年来已经有很多学者在这方面取得了很好的成果[3-7]。同时,关于B样条相关算子在不同空间的研究也已经有了很好的结果[8-11],但是还没有关于B样条拟插值算子在Orlicz空间中的研究成果。下面给出了B样条及B样条拟插值算子的定义。
先介绍B样条定义。
定义6[9]设a=x0<x1<x2<…<xN<xN+1=b为一组节点,分段函数S(x)满足下面条件:
1)每个区间[xj,xj+1](j=0,…,N)上,S(x)是一个次数小于等于n的实系数代数多项式;
2)S(x)于[a,b]上具有一直到n-1 阶的连续导数,那么称y=S(x)是n次样条函数,称x1,x2,…,xN为样条节点。
定义7[9]m阶B样条的定义为:
当m≥2 时
下面介绍B样条拟插值算子的定义。
定义8[12]设对于∀k≥2,X=是单调上升的点列,记
用任意m阶B样条去构造拟插值算子(Sh f)(x),
郭红焱在文献[9-11]中构造了B样条拟插值算子并分别研究了其在C空间及Lp空间的逼近阶,并在文献[10]中得出了下列定理。
定理A[10]若对∀m≥2,X=是单调上升的点列,则当h=sup(xj+1-xj)时,对[a,b]上任意满足m次可导且m次导数连续的函数f(x)有
推论[10]若对任意m≥2,X=是单调上升点列,则当h=sup(xj+1-xj)时,对[a,b]上任意的函数f(x),若满足m次可导并且m次导数连续,则有
而近几年,随着非线性问题的增多,将Lp空间过渡到Orlicz空间已是必然,笔者在文献[10]的基础上研究了B样条拟插值算子在Orlicz空间上的逼近性质,推广了文献[10]中的结果。
2 主要结果
笔者得出了B样条拟插值算子在Orlicz空间的逼近正定理。
定理1若对任意m≥2,X=为单调上升点列,当h=sup(xj+1-xj)时,对[a,b]上任意的m次连续可导函数g(x),有
则对∀f∈L*M[a,b],有
为了给出定理的证明需要以下几个引理。
引理1若对∀m≥2,X=是单调上升的点列,则当h=sup(xj+1-xj)时,对,
则‖Sh‖有界。
证因为
其中Zj(f)是f(xj),f(xj+1),…,f(xj+m)的组合。由文献[13]可知
再根据B样条的正定性和再生性[9],由定义8可得
引理2若对任意m≥2,为单调上升点列,当h=sup(xj+1-xj)时,对[xj,xj+1]上任意m次连续可导函数g(x),则有
满足
证由引理1及g(x)满足的性质,在x0附近有
其中ξ介于x与x0之间。
又记
此时不妨设|x-x0|<h,则有
又由B样条再生性[10]可知(Sh f)(x)具有m-1次局部多项式再生性质,所以有
从而得
定理1的证明由引理2得
从而利用K泛函的定义,得
由式(1)得
3 结论
将B样条拟插值算子在Lp空间的逼近推广到Orlicz空间,对B样条拟插值算子在Orlicz空间有界性进行了研究,并得出了其在Orlicz空间的逼近正定理。