插入式永磁同步电主轴无传感器弱磁控制技术研究

2024-04-30曹伟长单文桃吕冬喜林奇池云飞

机床与液压 2024年6期

曹伟长，单文桃，吕冬喜，林奇，池云飞

(江苏理工学院机械工程学院，江苏常州 213001)

0 前言

高速数控机床是装备制造的主要发展方向之一，研究表明：在超高速的切削条件下，材料所需的切削力会下降，表面质量和加工效率得到提高[1-2]。电主轴的性能对机床高速化和高精度化起关键作用，永磁同步电主轴拥有功率大、集成度高等优点，相较于异步电主轴，永磁体的使用有效地缓解了转子发热严重的问题，因此对永磁同步电主轴技术研究具有重要意义。

矢量控制是目前主要的永磁同步电主轴控制策略之一，对其进行精确地控制需要转子的速度和位置信息。由于光电编码器、静磁栅绝对编码器等传感器的安装增加了永磁同步电主轴的体积和成本，为了增强电主轴在特殊场合和限制下的稳定性，采用无传感器控制方式的永磁同步电主轴驱动系统近年来成为国内外的研究热点[3-4]。一些学者提出如高频信号注入法[5-9]、滑模观测器法[10]、自适应观测器法[11]、扩展卡尔曼滤波器法[12]、龙贝格观测器法[13]等方法实现电主轴速度及位置信息的获取。

滑模观测器(Sliding Mode Observer，SMO)基于反电动势预估转速、位置信息，具有低复杂度、高鲁棒性等优势，广泛应用于控制系统。然而，滑模观测器具有开关控制特性，由于开关时间和空间滞后等问题，滑模观测器观测数据会出现抖振现象，各种延迟效应会降低观测数据的精度[14]。

张立伟等[15]为了削弱滑模观测器抖振现象，提出指数型滑模函数作为控制函数代替传统开关函数，但指数型滑模函数的特性使其易出现短暂的钳位现象，正弦度不高。王双鑫等[16]提出利用双曲正切函数替代符号函数，并省略低通滤波器，改善SMO存在的抖振和相位滞后问题。刘军等人[17]为使观测器测量的反电动势波形更加平滑和准确，通过引入卡尔曼滤波器来削弱滑模观测器的抖动，以此增强观测数据的准确性。陈珂、宋保业[18]为减弱高频抖振和系统误差，提出了一种改进的分数阶滑模观测器，利用光滑连续的双曲正切函数代替传统开关函数，通过分数阶的指数趋近律建立观测器。彭思齐等[19]为了削弱抖振现象，提出一种新型指数型滑模函数，它具有更高的转子位置观测精度，并且观测器观测的反电动势正弦度更高。吕德刚、李子豪[20]选取零点处连续的切换函数和指数趋近律结合的控制方法，以此来抑制传统开关函数滑模观测器所有系统的抖振现象。

本文作者通过标幺化处理MTPA四阶方程，提高MTPA控制的鲁棒性；并将Sigmoid函数引进传统滑模观测器中，有效地缓解高频抖振和系统误差。

1 永磁同步电主轴数学模型

电主轴转子和定子间具有非线性、强耦合性以及时变性等复杂的电磁关系，在建立数学模型之前假设：

(1)忽略铁芯磁阻，永磁材料的电导率为零；

(2)不计涡流和磁滞损耗，永磁体内部的磁导率与空气相同；

(3)转子上无阻尼绕组；

(4)永磁体产生的励磁磁场和三相绕组产生的电枢反应磁场在气隙中均为正弦分布；

(5)稳态运行时相绕组中感应电动势波形为正弦波。

由a、b、c坐标系的三相电压到d、q同步旋转坐标系的变换为

(1)

建立d-q坐标轴下插入式三相永磁同步电主轴数学模型。

定子电压方程：

(2)

(3)

式中：ud为电主轴定子d轴电压；uq为q轴电压；Ld为电主轴定子d轴电感；Lq为q轴电感；id为电主轴定子d轴电流；iq为q轴电流；ωr为电主轴电角速度；Rs为电主轴定子电枢相电阻；ψf为电主轴转子永磁体磁链。

定子磁链方程：

ψd=Ldid+ψf

(4)

ψq=Lqiq

(5)

式中：ψd、ψq分别为电主轴d、q轴磁链。

三相凸极永磁同步电主轴的电磁转矩为

(6)

式中：pn为电主轴极对数；Te为电主轴电磁转矩；β为电主轴转矩角；is为电主轴定子电流。

在d-q轴系中有：

id=iscosβ

(7)

iq=issinβ

(8)

将式(7)(8)代入式(6)中得到：

(9)

机械运动方程：

(10)

式中：TL为电主轴负载转矩；J为总转动惯量；B为摩擦因数。

2 弱磁控制

2.1 弱磁区域的确定

MTPA(Maximum Torque Per Ampere)控制：基速(空载电动势达到逆变器输出最大电压值时的转速)以下，采用MTPA控制如图1中OA所示。

弱磁区域Ⅰ：永磁同步电主轴将运行在图1中OA和BC之间的区域。

弱磁区域Ⅱ：主轴沿着最大转矩电压比(Maximum Torque Per Voltage，MTPV)即弱磁区域Ⅱ运行。

2.2 弱磁区域Ⅰ的运行分析

根据MTPA原理，可将MTPA控制问题转换成求定子电流最小值的问题。

(11)

由拉格朗日极值定理得到：

(12)

式中：λ为拉格朗日乘子。

根据拉格朗日乘数法，对拉格朗日函数求偏导，即分别对id、iq、λ求偏导，并令等式为0得：

(13)

求解式(13)得到id的表达式：

(14)

将式(14)代入式(11)并进行化简之后得到：

(15)

通过反解d、q轴电流与电磁转矩之间的关系方程可得：

id=f1(Te)

(16)

iq=f2(Te)

(17)

在电主轴的实际应用中，主轴的参数会受到温度、磁路饱和等因素的影响而产生变化，为了适应参数改变带来的影响，需要对方程式进行标幺值化处理。对式(9)进行标幺值化处理：

令Teb=pnψfib

(18)

式中：Teb为电主轴转矩基值；ib为电主轴电流基值。

(19)

(20)

式中：Ten为电主轴转矩标幺值。

(21)

(22)

式中：idn为电主轴d轴电流标幺值；iqn为电主轴q轴电流标幺值。

(23)

根据式(9)(23)可得：

(24)

(25)

通过标幺值化得到的最大转矩、电流关系将不再与主轴的参数有关，即Ten和idn、iqn之间的关系将不受参数变换影响。

高速永磁同步电主轴的参数如表1所示。

表1 高速磨削电主轴参数

为了减小计算量，利用MATLAB的工具箱从图像中选取数据，通过多项式对式(24)(25)进行曲线拟合得到：

(26)

(27)

根据式(26)(27)进行电流分配，从而实现MTPA控制。

2.3 弱磁区域Ⅱ的运行分析

恒转矩方向：

(28)

设输出电压的代价函数为

(29)

当主轴高速运行时，定子侧的压降影响较小，可以忽略，电压极限圆递减方向表达式：

(30)

根据电压极限椭圆中电压下降方向的表达式(30)，令：

(31)

当θ<90°时，为弱磁区域Ⅰ；当θ=90°时，永磁同步电主轴沿着MTPV曲线运行进入弱磁区域Ⅱ；当θ≥90°时，进入弱磁区域Ⅱ。

2.4 电流参考值的修正

在弱磁区域Ⅱ，电流参考值沿MTPV进行修正，由转矩双曲线切点和电压极限椭圆的连线，可以表示出MTPV的轨迹方程：

(32)

由式(32)可得MTPV切线方向：

(33)

在弱磁Ⅰ区，电流将会沿(Td,Tq)T方向修正；在弱磁区Ⅱ区，电流将会沿MTPV方向修正。以此求解电流修正值为

(34)

(35)

式中：α、β为增益系数。

经MTPA控制和弱磁电流修正后电流可以表示为

(36)

(37)

3 滑模观测器

3.1 滑模观测器原理

建立α-β坐标轴下插入式三相永磁同步电主轴数学模型：

(38)

式中：uα、uβ分别为电主轴定子绕组的α、β轴电压；iα、iβ分别为电主轴定子绕组的α、β轴电流；Eα、Eβ为电主轴扩展反电动势。

其中[EαEβ]T满足：

(39)

对于插入式永磁同步电主轴，要得到电主轴的位置信息和转速信息，必须获得准确的Eα、Eβ的值，将电压方程(38)改写成电流状态方程形式：

(40)

为了得到Eα、Eβ的估计值，设计的传统SMO如下：

(41)

将式(40)(41)做差可得到永磁同步电主轴定子观测电流与实际电流的误差方程为

(42)

(43)

(44)

设计滑模控制率为

(45)

当滑模观测器的状态变量达到滑模面、电流观测误差值等于零时，观测器的状态将一直保持在滑模面上：

(46)

(47)

由滑模控制的等效控制原理可知：此时的控制量可看作等效控制量。

(48)

(49)

3.2 改进型滑模观测器算法

为改善传统滑模观测器由于不连续开关函数控制特性所导致的观测器系统抖振问题，选取零点处连续的开关控制函数sigmoid(x)代替传统的开关函数。

(50)

根据永磁同步电主轴数学模型，构建自适应模糊滑模观测器如下：

(51)

滑模可达性条件由李亚普诺夫函数表示：

V=1/2ST(x)S(x)

(52)

滑模观测器稳定性条件为

(53)

(54)

(55)

(56)

可以得到：

h>max(|Eα|,|Eβ|)

(57)

由上述推导可知：在指数趋近律中，当趋近速度h≫max(Eα,Eβ)时，滑模系统的抖振区间会缩小。

4 实验分析

文中对实验室FL170-20-15型高速磨削电主轴(如图2所示)进行Simulink建模仿真，仿真模型如图3所示。

图2 FL170-20-15型高速磨削电主轴

图3 滑模观测器弱磁控制模型

在使用MATLAB仿真中，设定电主轴的转速为21 000 r/min，转速时间关系曲线如图4所示，主轴转速上升时间为2.8 s。从图5可以看出：主轴转速超调量约为88 r/min，在3.4 s时由于阶跃负载，此时转速下降约43 r/min并在0.17 s内恢复到设定转速。由图6可以看出：滑模观测器在主轴低速阶段观测数据误差较大，随着转速升高，误差逐渐减小；在0.65 s左右注入弱磁调节信号，转子位置误差波动范围变大。由图7可以看出：当转速达到设定转速时，电流快速减小，符合系统过程分析。从图8可以看出：在3.4 s时对永磁同步电主轴施加一个1 N·m的阶跃负载，相对应主轴电流增加。