基于滑窗滤波器的改进MRAS转动惯量辨识*

陈冠廷,魏海峰,闵 琦

(江苏科技大学自动化学院,镇江 212000)

0 引言

交流伺服电机由于效率高、调速范围宽、损耗低,被大量用于军事工业、航空航天等多个领域。但在实际应用中,负载扰动的影响以及电机参数的变化会使系统的动态性能变差。因此,在使用时若能实时获得转动惯量值,将对故障诊断以及增强系统鲁棒性具有重要的研究价值和实际应用意义。

现阶段,有很多学者对转动惯量的辨识进行了分析并取得一系列成果。通常可将转动惯量辨识大致分为两种,即:离线辨识和在线辨识,其中离线辨识易受条件影响导致辨识效果差、响应慢且需要占用大量空间来储存数据,因此离线辨识策略逐渐被淘汰。目前,人类已经提出众多在线参数辨识方法,其中得以广泛应用的有递推最小二乘法、无迹卡尔曼滤波算法等,它们各有优势并适用于不同场景。朱凌童等[1]采用连接两个扩展滑模观测器的方式,将负载转矩周期性地与转动惯量进行反馈更新,最终实现辨识目的,但该方法在运行初期辨识速度较慢。宗学军等[2]在递推最小二乘法在线辨识的基础上,将辨识结果与速度环相互迭代,从而改变比例积分参数,达到速度环增益自动调节的目的,但该方法识别精度较低。王柯等[3]在参考既有研究成果的基础上,提出了基于积分变换的新技术,试验结果显示,此方法在输入数据存在噪声时辨识性能仍然理想,这为后续研究提供了新思路。王飞宇等[4]为了解决辨识结果震荡大的问题,提出了多增益自适应算法,根据辨识参数的改变率切换增益,达到具有较好动态性能的目的。

在实际应用中,电机惯量辨识易受负载突变影响,因此本文在借鉴以往研究经验的基础上,提出基于滑窗滤波器的改进MRAS转动惯量辨识方法,借助曲率模型对负载扰动进行估测,基于滑窗滤波器原理设计变增益机制的判断依据,对传统模型参考方法进行改进,保证转动惯量在负载突变时能够被快速精准的辨识。

1 交流伺服系统数学建模

1.1 交流伺服电机机械运动方程

系统采用id=0的控制策略,给出永磁伺服电机的机械运动学方程:

(1)

式中:Te表示电机的电磁转矩,p表示电机的极对数,iq表示q轴电流,ψf表示电机转子磁链,J表示转动惯量,ωm表示机械角速度,TL表示负载转矩,Tf表示摩擦力矩。

结合库伦-粘性摩擦模型得到:

Tf(t)=Bωm(t)+Tc(t)sgn(ωm(t))

(2)

式中:B表示粘性摩擦系数,Tc表示库伦扭矩,sgn(·)函数会返回一个整型变量。

将式(2)带入式(1)中展开得到:

(3)

将电机机械运动方程式(3)进行离散化处理得到式(4):

(4)

1.2 交流伺服电机速度环模型

在交流伺服电机中,电流环时间常数比速度环时间常数小,故而本文引入经典的一阶低通滤波器进行滤波,并绘制出相应的原理图,如图1所示。

图1 速度控制器原理框图

图1中,Ti代表电流环时间常数,Kt代表电磁转矩系数。以下给出的是速度环的开环传递函数:

(5)

根据图1,将式(4)按项表达可得:

(6)

式中:TJ=J/B,当负载发生突变导致TJ>Ti时,转动惯量对调速系统有着较大的影响,固定增益的辨识策略难以满足系统速度环既快速又精准的控制需求。

2 基于曲率模型的负载扰动估测

2.1 曲率模型原理

为了实时追踪负载扰动的变化,设计一种基于曲率模型的负载扰动估测法。曲率模型对于各种曲线、曲面等几何对象可以提供准确的数学描述,使得它们的形状和特性可以被完整地捕捉和表达。

曲率圆有3个特性:模型中曲率圆与曲线在同一条切线上;曲率圆具有与曲线相同的凹向;曲率圆与曲线具有相同曲率。因此如果曲率圆是已知的,且时间间隔足够小,圆上的点可以被认为是近周期内曲线的估计值,能够有效达到模型估测的目的。曲率结构模型如图2所示。

图2 曲率结构模型

图2中,曲线的直角坐标系方程为y=f(x),且f(x)具有二阶导数f″(x),在曲线f(x)上选择点P(z,w),做f(x)在该点处的切线a,圆O为f(x)在P点处的曲率圆;设点Q为估测点,做f(x)在Q点处的切线b,P、Q两点横间距为Δx,当Δx足够小时,可视为点Q既在曲线f(x)上,也在曲率圆O上,由此可知切线b也与圆O相切,因此只要求出曲率圆O的相关信息,便可求出估测点Q的相关坐标。

假设切线a与x轴的倾角为α,由此可推断出:

tanα=y′

(7)

式(7)两边同时求导可得:

(8)

式(8)化简得到式(9):

(9)

(10)

当Δx→0取极限时,有:

(11)

将式(11)带入式(10)可得:

(12)

(13)

设曲率半径为r,曲率半径等于曲率的倒数,将式(9)和式(12)带入到式(13)中,由此得出曲率半径r:

(14)

假设曲率圆圆心坐标为O(m,n),已知P点坐标(z,w)。根据圆心方程有:

(z-m)2+(w-n)2=r2

(15)

由于在P点处,OP⊥切线a,因此有:

(16)

将式(15)、式(16)结合得到曲率圆圆心坐标表达式:

(17)

设点Q的坐标为(u,v),考虑到曲率圆的凹凸性问题,估测点Q的坐标也将分为两种情况进行计算,即当f″(x)>0时,曲线f(x)的发展趋势为凹的;当f″(x)<0时,曲线f(x)的发展趋势为凸的,其凹凸性结构图如图3、图4所示。

图3 曲线的发展趋势为凹的

同时再考虑到曲线非凸非凹的情况,结合图2信息,进而得到估测点Q的纵坐标表达式:

(18)

2.2 负载扰动估测

将式(4)做化简处理,使:

(19)

进一步得到负载扰动表达式:

TLf(t)=[1-bm(t)·B]ωm(t-1)+
bm(t)Te(t-1)-ωm(t)

(20)

图5 基于曲率模型的负载扰动估测

(21)

结合式(14)和式(17)可知负载扰动的曲率圆半径和圆心的表达式为:

(22)

最终将式(18)带入式(23),负载扰动的估测值可表示为:

(23)

3 改进MRAS转动惯量辨识

3.1 MRAS模型构建

模型参考自适应法主要包含3个要素,分别是参考模型、可调模型和自适应律,利用模型输出量的差值和适当的自适应律在线调整控制器参数,完成物理量的辨识。

选择参考模型如式(24)所示。

ωm(t)=[1-bm(t)·B]ωm(t-1)+
bm(t)Te(t-1)-TLf(t)

(24)

可调模型如式(25)所示。

(25)

(26)

通过离散朗道算法进行迭代调节,如式(27)所示。

(27)

式中:β为增益因子。

3.2 基于滑窗滤波器的变增益因子切换设计

传统MRAS辨识过程中,β越大,辨识速度越快,但精度低;β越小,辨识速度越慢,但精度高。因此,伺服系统为同时满足辨识精度和辨识速度,变增益机制显得尤为重要。

首先提出一种变增益阈值法,设置固定的阈值δ,每个周期将转动惯量的变差σ和阈值δ作比较,判断增益是否需要改变。当σ>δ时,说明负载发生改变,增益切换为大增益βmax;当σ<δ时,说明负载未发生突变,使用小增益βmin。变差σ的表达式为:

(28)

增益切换表达式如式(29)所示。

(29)

然而在实际工况中,该方法存在以下几点不足:阈值δ一般通过枚举法选出,然而不同电机参数和工作环境会导致变差σ的波动范围不同,因此选取通用的阈值δ较为困难;阈值δ的选取与变差的最大值σmax紧密相关,而变差的最大值很有可能是在误差、扰动影响下错误产生的,这将导致阈值δ的可信度降低,使该方法存在一定风险;增益切换的判断方法过于单一,增益切换的判断条件无法随着系统的变化而做周期性调整。

针对上述问题,设计一种滑窗滤波器来实现变增益的切换。滑窗滤波器内一直保留近周期内10个最大的变差,变差呈由大到小排列。滑窗滤波器的窗体随着时间而滑动,k时刻产生的新变差σk与滑窗滤波器内的元素进行比较,若新变差σk大于任何一个元素,则淘汰滑窗滤波器内的最小值,将新变差σk插入,并更新滤波器;若新变差σk小于滑窗滤波器内所有元素,则不做更新处理。

滑窗滤波器更新流程图如图6所示,其中σ0～σ9表示近周期内最大的10个变差,且有σ0>σ1>σ2>σ3>σ4>σ5>σ6>σ7>σ8>σ9;σk-1、σk-2、σk-3……表示k-1、k-2、k-3……时刻的变差;假设σ8>σk>σ9。

图6 滑窗滤波器更新流程图

由于方差可用来描述随机变量的偏离程度,因此用方差代替阈值判断法作为增益切换的依据。当滑窗滤波器的方差Dσ(k)远大于以往方差时,有Dσ(k)≫Dσ(k-1),说明负载发生突变,转动惯量发生改变,增益切换为大增益βmax;否则说明负载未发生突变,使用小增益βmin。Dσ(k)的表达式如式(30)所示。

(30)

增益切换表达式如式(31)所示。

(31)

为滑窗滤波器设置自保护机制,窗体中最大值视为风险位,最小值视为备用位。每经过10个采样周期移除掉当前风险位,剩余元素依次向前递进,备用位补0,这样能够有效防止扰动产生的最大变差对系统造成持续影响。滑窗滤波器自保护机制流程图如图7所示。

图7 滑窗滤波器自保护机制流程图

基于滑窗滤波器的变增益因子切换流程图如图8所示。

图8 基于滑窗滤波器的变增益因子流程图

惯量辨识完整结构框图如图9所示。

图9 惯量辨识完整结构框图

4 实验验证

4.1 实验平台搭建

本节为证实所提方法的有效性,搭建实验平台对负载和转动惯量进行观测,如图10所示。以恩智浦MKV56芯片为控制核心,选择750 W伺服电机以及多摩川17位编码器进行电机转子位置的追踪,伺服电机具体参数如表1所示。

表1 永磁伺服同步电机参数

图10 负载和转动惯量实验平台

4.2 变负载估测

本环节中,首先让电机在0～0.2 s的时间范围内空载启动,之后在0.2～0.5 s时间范围内施加5 N负载,并于0.5～0.6 s施加3 N负载。

分析图11不难得出,该方法不仅能够观测稳定时的负载,当负载发生突变时,该方法依旧具备良好的估测能力。

图11 基于曲率模型负载扰动估测结果

4.3 变惯量辨识

为了更加确定β对惯量识别结果的作用,此处增益分别取0.9、0.5和0.1,然后基于惯量辨识结果曲线作对比分析。结合图12,不难看出增益越大,收敛越快,但稳定后的波动更加明显;增益越小,收敛越慢,但稳定后的波动越小。根据更多实验数据,表2中记载了不同增益下收敛时间和波动误差的关系。

表2 增益与收敛时间和误差的关系

图12 不同增益下的惯量辨识的曲线

由表2可知,增益为0.9时收敛时间约为1.5 ms,这种情况下,误差稳定在1.26%;增益为0.1时对应的收敛时间约为9.1 ms,这种情况下,误差稳定在0.14%,因此本实验设计将0.9设为大增益,将0.1设为小增益,如式(32)所示。

(32)

为验证本文方法在变惯量下的辨识效果,让电机在0～0.2 s内转动惯量为0.001 kg·m2,0.2～0.5 s内转动惯量变为0.005 5 kg·m2,0.5～0.6 s内转动惯量变为0.002 kg·m2。同时将本文方法与传统固定增益MRAS法和变增益阈值法MRAS做对比,以证明本文基于滑窗滤波器的变增益MRAS法的可行性,其中传统MRAS固定增益设置为0.9,变增益阈值法MRAS增益设置与式(32)相同。

变惯量辨识对比曲线结果如图13所示,不难看出当惯量突变较大时,传统MRAS法能够快速收敛,经过0.008 s后完全稳定,但稳定后明显有较大波动,误差维持在2%左右;阈值法MRAS收敛速度较慢,经过0.075 s完全稳定,其中,前0.03 s增益为βmax,后0.045 s增益为βmin,因该方法灵敏度较低,在辨识未完全收敛前,便开始调整精度,稳定后波动较小,误差维持在0.5%;而本文基于滑窗滤波器的变增益MRAS法不仅可以同时保证收敛速度和收敛精度,对转动惯量的变化也更加敏感,经过0.008 s后完全稳定,且稳定后误差维持在0.5%,该策略兼具两种方法的优点,具有更好的动态调整能力。

图13 变惯量辨识对比曲线

滑窗滤波器的方差变化曲线如图14所示,惯量突变时,方差的值会在短期内扩大数十倍,稳态时方差的值约为1e-7,0.2 s惯量突变时方差最大值约为2.5e-5,0.5 s惯量突变时方差最大值约为5e-5,结果说明根据滑窗滤波器的方差能够更有效的判断惯量是否发生变化。

且增益因子β同时进行切换,增益的变化曲线如图15所示,在电机启动以及0.2 s、0.5 s惯量发生突变时,系统为保证收敛速度切换到大增益因子βmax,并在稳定后,转换至增益系数βmin以确保收敛精度,该结果证明了基于滑窗滤波器的变增益MRAS法能够迅速检测到惯量变化并切换增益。

图15 增益β的变化曲线

5 结论

针对变负载工况下的转动惯量辨识,本文先通过曲率模型对负载进行估测,接着对传统MRAS法进行改进,基于滑窗滤波器原理设计变增益机制,实现转动惯量的辨识。实验结果充分验证了本文所提方法能够实时准确的追踪负载扰动的变化,本文方法对惯量变差的变化更加敏感,使伺服电机在负载突变的情况下能够同时兼顾惯量辨识的收敛速度与识别精度。