奇异函数分数阶导数的Hadamard 有限部分积分表示形式
2024-04-24娄汝馨王同科
娄汝馨,廉 欢,王同科
(天津师范大学数学科学学院,天津 300387)
利用分数阶微积分可以更准确地描述一些实际问题,分数阶微积分具有时间记忆性和全局相关性,在流体力学、图像处理等许多领域有广泛的应用,因此对分数阶微积分的研究在不断地深入.目前已有多种分数阶导数的定义,其中Riemann-Liouville(RL)和Caputo 分数阶导数的应用最为广泛,这2 种导数的定义都是由RL 分数阶积分算子
与经典的微分算子相结合导出的.
定义1[1-2]给定实数α >0,记[α]为α 的整数部分,n = [α] + 1.对于定义在x∈(a,b]上的函数f(x),其α 阶RL 分数阶导数和Caputo 分数阶导数分别为
式中Tn-1[f](x)表示f(x)在x=a 的n-1 阶Taylor 级数展开式.
关于分数阶微积分的计算方法研究一直是该领域的热点问题,主要包括直接方法和间接方法.关于直接方法,文献[3]通过直接计算瑕积分,给出了一种去掉积分瑕点的方法,在此基础上设计了计算RL 分数阶积分和导数的数值算法;文献[4]利用移位Chebyshev 多项式逼近RL 导数,进而给出分数阶边值问题的数值算法;文献[5]利用谱近似方法基于Legendre、Chebyshev和Jacobi 多项式的三项递推公式逼近分数阶积分和导数,并通过数值算例说明了方法的有效性;文献[6]介绍了分数阶导数的各类算法,如G 算法[7]和R 算法[8].间接方法主要通过先将分数阶导数变形为Hadamard 有限部分(HFP)积分形式,然后再设计算法离散HFP 积分.
定义2[9]设f(x)∈Cn[s,r],且n-λ>1,则HFP积分定义为(本文中用H ∫表示Hadamard 有限部分积分)
式中g(t)∈Cn[s,r]且使上式极限存在.
关于RL 分数阶导数与HFP 积分的关系,有以下定理.
定理1[2]给定实数α>0,令n=[α]+1.设f(x)∈Cn[a,b],则有
定理1 的结论非常重要,许多研究由此设计了计算RL 分数阶导数的数值算法,文献[10-11]利用定理1 的转换设计算法求解分数阶微分方程,得到了满意的计算结果.定理1 要求f(x)∈Cn[s,r],这是一个比较高的光滑性要求,而在求解分数阶微分方程时,方程的解在初始点往往没有如此高的光滑性,因此有必要对此结果进行推广.
本文首先证明了当f(x)在x = a 处包含奇性时,HFP 积分形式仍然成立;然后基于该结论求得分数阶导数在x=a 处的Psi 级数展开式;最后结合函数在奇点的Psi 级数展开式设计Chebyshev 谱逼近方法,用于给定区间上函数分数阶导数的高精度计算.
1 分数阶导数的Hadamard 有限部分积分表示形式
首先讨论RL 分数阶导数,证明当f(x)在初始点奇异时,其HFP 积分形式仍然成立.
定理2给定实数α>0,令n=[α]+1.设f(x)∈Cn(a,b],则有