M-φ曲线的计算原理及其在桥梁抗震分析中的应用

张晓炜

（山西省交通规划勘察设计院有限公司，山西 太原 030000）

0 引言

桥梁是交通线路中的重要组成部分，桥梁结构的稳定对于线路的安全运营有着重要意义。地震中，桥墩作为桥梁结构中重要的竖向承重构件，其抗震性能将影响到整个桥梁的安全。我国是多地震国家，对桥梁开展抗震分析尤其重要。M-φ曲线的绘制是桥梁抗震分析的重要步骤，该曲线的正确绘制及应用直接影响桥梁抗震分析的可靠性。本文基于平截面假定，通过力学计算绘制M-φ曲线，并对该曲线在桥梁抗震分析中的应用进行说明。

1 M - φ曲线的基本理论与计算方法

1.1 基本假定

平截面假定：即截面变形后仍保持平面，截面应变为线性分布；剪切应变的影响忽略不计；钢筋和混凝土之间无滑移现象。

1.2 材料应力-应变关系的本构模型

钢筋的应力-应变关系采用理想弹塑性模型，按照双折线模型选取，坡度即弹性模量E1，如图1所示，钢筋应变屈服后的E2按照Higashibata提出的E2=0.01E1取值，E1=tanα。

图1 钢筋的应力-应变关系

混凝土的应力-应变关系采用《公路桥梁抗震设计规范》建议使用的mander约束混凝土本构模型[1]。该模型考虑了箍筋对核心区混凝土的约束作用，它既适用于圆形箍筋，也适用于矩形箍筋，如图2所示。

图2 混凝土的应力-应变关系

1.3 计算方法

为了精确地进行分析，将混凝土截面离散为若干个小单元，并假设其满足平截面假定，每一单元处于单轴应力状态且单元上应力均匀分布。矩形截面钢筋混凝土构件，在正截面受力情况下，截面的条带法分割以及应力应变分布如图3所示。

图3 截面条带法分割以及应力应变分布图

根据平截面假定，可得截面曲率为：

式中：

εc——受压区边缘混凝土压应变；

εs——受拉钢筋应变；

h0——截面有效高度。

截面上任意单元中心处的应变为：

式中：

yi——任意单元的中心距截面形心轴的距离。

混凝土和钢筋的应力根据材料的应变-应力关系计算得到：

根据平截面假定，截面内力与应力之间满足如下关系：

式中：

AC，As——混凝土和钢筋截面积。

当单元厚度比较小时，可以认为单元内的应力是均匀不变的，用平均应力表示层内的应力状态。因此式（4）的轴力、弯矩计算可以近似的按以下的形式计算：

上式中，对于柱截面，N≠0。由于在弹塑性范围内，轴力和弯矩的力学行为是相互影响、相互耦合的，截面内力和变形关系的表现形式比较复杂，因此在计算截面M-φ关系时，一般假定轴力不变，仅考虑弯矩和曲率之间的相关关系[2]。笔者以表1中截面参数为例进行计算分析，利用Midas软件绘制不同轴力作用下M-φ曲线图，如图4所示。

表1 桥墩截面参数

图4 不同轴力作用下M - φ曲线图

从图4中可以看出，当轴力变大，曲线形式变化不大，只是变化程度不同，且随着轴力变大，最大曲率变小，延性变差，在轴力较大的情况下，截面刚屈服就进入破坏状态[3]。

为了便于分析计算应用，可通过将实际的曲线等效为理想弹塑性M-φ曲线，等效方法可根据图中阴影面积相等求得，如图5所示。

图5 M - φ实际曲线与等效曲线示意图

2 M - φ曲线在桥梁抗震分析中的应用

2.1 用于超强弯矩计算

墩柱抗弯超强是指墩柱实际极限弯矩要大于其设计值，引起墩柱抗弯超强的原因很多，最主要的是钢筋在屈服后的极限强度比其屈服强度大，而钢筋实际屈服强度又比设计强度大。在延性设计和保护构件设计等原则的指导下，需保证预期出现弯曲塑性铰的构件不发生脆性破坏，并保证构件处于弹性变形范围，在确定它们的弯矩、剪力设计值时，采用抗弯超强系数来考虑超强现象[4]。

墩柱轴力的变化会引起M-φ曲线的改变，因此在考虑超强弯矩计算时所用到的极限弯矩应为最大轴力下的弯矩。最大轴力为恒载轴力加上地震动轴力（绝对值）。由此可得利用M-φ曲线取值计算超强弯矩的公式：

式中：

Mu——最不利轴力作用下的极限弯矩；

∅0——桥墩极限弯矩超强系数，取1.2。

2.2 用于等效线弹性分析

当钢筋屈服后，在地震作用下，结构进入弹塑性工作状态，此时关注的不再是结构强度，而是结构变形，严格意义上来说，应采用非线性时程分析方法进行抗震分析，但该方法计算较为复杂。对于规则桥梁，可根据等位移原理和等能量原理，采用简便的线弹性方法进行抗震分析，以减少计算分析过程。由于简化为弹性分析，因此构件截面特性应采用有效抗弯刚度，地震位移应乘以考虑弹塑性效应的修正系数，以保证不会过低估计结构的变形[5]。

采用等效线弹性方法计算时，延性构件的有效截面抗弯刚度按下式计算：

式中：

Ec——桥墩弹性模量；

Ieff——有效截面抗弯惯性矩；

My——等效屈服弯矩；

∅y— —等效屈服曲率。

2.3 用于单柱墩墩顶容许位移与塑性铰转动能力计算

由塑性铰模型，即假设截面弹性曲率沿墩柱线性分布，塑性曲率在一定范围内以一定理想化模式分布，进而求得桥墩的位移，桥墩曲率分布如图6 所示，计算公式如下：

图6 曲率分布模式图

式中：

Δe——墩顶弹性位移；

Δp——墩顶塑性位移；

∅y——等效屈服曲率；

∅u——截面极限曲率；

Lp——塑性铰长度；

Kds——延性安全系数，可取2.0。

3 M - φ曲线的应用实例

根据表1中给出的桥墩截面参数，建立单柱墩计算模型，假定轴力为零，单柱墩高度为10m，得到桥墩单元截面的M-φ曲线，如图7所示，并求得超强弯矩、墩顶容许位移和塑性铰最大容许转角，如表2所示。

表2 计算结果

图7 桥墩单元截面的M-ф曲线

4 结束语

本文首先以绘制桥墩M-φ曲线为目标，分析了M-φ曲线计算的基本理论和计算方法。M-φ曲线为截面特性值的体现，对曲线上的三个特殊点的值合理使用，有利于结构计算理论的多样化与简便化。此外，本文还分析了M-φ曲线在桥梁抗震计算分析中的应用，可以看出，该曲线将弹性分析与弹塑性分析实现了有机转换，为结构抗震分析提供了基础数据。