基于高斯过程回归的中压配电网雷击过电压预测方法

王晖南,高 强,胡 非,丁 涛

(1.国网山西省电力公司,太原 030000;2.国网新疆营销服务中心,乌鲁木齐 830000;3.西安交通大学电气与电子信息工程学院,西安 710000)

0 引言

中压配电网由于绝缘强度较低,极易受到附近雷击的影响。因此,雷击过电压(Lightning-Induced over-Voltages,LIVs)的准确估计对于制定具有成本效益的保护方案和确保适当的绝缘配合至关重要[1]。

对于LIV的评估,可采用两种方法:解析法和数值方法。如文献[2]提出了一个分析模型,用于评估架空线路上的LIV,该模型考虑了电流阶跃函数时地面的无限导电性。但文献[3]发现雷击附近的地面电气特性对产生的LIV有相当大的影响。尽管如此,考虑到简单和现实的线路和地面情况,文献[4-17]已经进行了大量研究,为LIV评估提供了近似和精确的分析解决方案。如文献[7]在时域中给出了近似解;文献[13]和文献[14]在s域中表示电流的阶跃函数。对于电流的线性上升函数,文献[9]在时域中给出了近似解;然而,文献[17]获得了电流阶跃函数在时域和s域的精确解;另一方面,许多文献采用了不同的数值方法,如矩量法、时域有限差分法(FDTD)、混合电磁模型和有限元法(FEM)来评估LIVs[18-21]。

最近,机器学习(Machine Learning,ML)技术在该领域得到了广泛的应用,特别是当输入通过一个难以分析评估的未知函数映射到输出时。ML技术具有深远的意义,因为它们能够对不同的过程进行统计建模、预测和分类[22-24]。例如,高斯过程解决非线性估计问题,并提供预测变量的条件统计描述。ML在雷击预测和定位已有初步应用。现场数据表明,土壤电阻率ρ和介电常数εr在很大范围内变化。文献中报道了高达20 kΩ的冰碛土和高达80 kΩ的泥炭土的ρ值,应将其用于LIVs的精确计算[25-28]。就电路而言,波在土壤中的传播可以通过有耗电容器来设想。这种有耗电容电路的时间常数由电阻率ρ和介电常数εr的乘积决定。由于位移电流远小于传导电流,因此,对于那些低接地,εr对LIVs的影响可以忽略不计。然而,对于高电阻接地,随着接地介电常数εr值的降低以及阻抗特征从电感性变为电容性,这种趋势会发生改变。接地阻抗特征的这种变化会影响LIVs的峰值和峰值时间。目前,考虑电阻率ρ和介电常数εr有限值的LIV预测方法很少,在这方面,Cooray-Rubinstein(C-R)公式已被广泛用于计算有耗土壤情况下的LIV。C-R公式的主要局限性在于,对于高达1 kΩ的电阻率值和等于或高于50 m的雷击位置(d),它提供了准确的结果。这是因为在C-R公式的推导过程中未考虑传导电流。为了研究传导电流在计算水平电场中的作用,文献[5]中给出的时域公式已在文献[27]中扩展到20 kΩ。

基于此,笔者提出了一种新型中压配电网架空线路峰值LIV预测模型,该模型考虑了大范围的电阻率ρ和介电常数εr。首先,采用二维FDTD方法进行了数值模拟,计算与回程通道相关的电磁场;然后,将这些电磁场作为离散化Agrawal耦合模型的加强函数。因此,经过多次模拟,以生成峰值LIV(响应变量)的训练数据集,该数据集表示为各种特征的非线性函数,包括电阻率ρ、介电常数εr、峰值雷击电流Ip、前沿时间tf、高度h、d和回击速度v。已对第一个雷击(FS)和后续雷击(SS)进行了模拟,并使用计算峰值LIV数据库来训练回归模型。在这种情况下,采用给出最小均方根误差(RMSE)的回归模型,即高斯过程回归(GPR)进行预测。将该模型的预测值与二维FDTD的预测值进行了比较,并用后一种方法对所提出的模型进行了验证。

1 雷击过电压的计算模型

式(1)和式(2)给出的Maxwell方程,并使用二维FDTD技术同时求解,以评估雷击架空配电线路的电磁场。

(1)

(2)

式中,B是磁通量密度(Wb/m2),E是电场强度(V/m),H是磁场强度(A/m),σ电导率(S/m),ε是介电常数(F/m)。

选择具有线性电流衰减(MTLL)的修正输电线路模型和具有指数电流衰减(MTLE)模型的修正输电线路模型,分别将雷击回程通道表示为沿垂直对称的电流源阵列,见式(3)和式(4)。

(3)

(4)

式中z′是沿雷击通道的高度(m),hch是通道的长度(m),v是回击速度(m/s),vf是回击波前的传播速度(m/s),λe是指数电流衰减常数(m)。回击电流由式(5)给出的梯形函数模拟:

(5)

式中,Ip为峰值电流(kA),α为电流上升率(kA/μs),tf为前沿时间(s)。Ip和tf的变化范围符合FS的中值(μIp=31.1 kA,μtf=3.83 μs)和标准差(σIp=0.48,σtf=0.55)以及SS的中值(μIp=12.3 kA,μtf=0.6 s)和标准差(σIp=0.529 6,σtf=0.921)。

在FDTD中定义解平面时,使用柱坐标系,并根据线的高度设置尺寸,然后将FDTD计算的水平和垂直电场耦合到Agrawal耦合模型,作为计算LIVs 35 36的强度函数。图1为中压配电网架空线附近雷击建模及二维FDTD解平面的几何结构图。

图1 中压配电网架空线附近雷击建模及二维FDTD解平面的几何结构图Fig.1 The geometric structure of lightning strike modeling and two-dimensional FDTD solution plane near overhead lines of medium-voltage distribution network

假定线路长度L为8 km,两端匹配以避免反射。回程通道的高度HRS取7 km;但线路高度从7.15 m到11.44 m不等。假设MTLE模型中的电流衰减常数λe为2 000 m。对于稳定的FDTD计算,选择时间步长以满足Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件。解平面的边界(沿r和z轴)根据第1个Mur吸收条件终止。雷击位置和测线之间的距离从60～660 m不等。

2 问题描述

本研究采用C-R公式和二维FDTD方法对架空线路上的感应电压进行了计算,以评估有限ρ和εr对LIV的影响。图2为使用MTLL模型比较雷击位置最近点处的LIV。评估50 m距离处LIV的参数为:Ip=31.1 kA,tf=3.83 s,ρ=10和20 kΩ,而εr=4和10。结果表明,对于高阻接地,介电常数的影响更为明显。对于高阻接地,FDTD计算的LIV与C-R公式之间的误差变得显著。例如,在εr=4,ρ=10 kΩ和20 kΩ的误差分别为40.58%和58.12%。然而,在εr=10,ρ=10 kΩ和20 kΩ时的误差分别为42.88%和60.91%。这种差异是由于在运用C-R公式时没有考虑通过有耗接地的传导电流。

图2 Ip=31.1 kA、tf=3.83 s、ρ=10和20 kΩ的C-R公式和FDTD方法获得的LIV比较图Fig.2 Comparison of LIVs obtained from C-R formula and FDTD method for Ip=31.1 kA、tf=3.83 s、ρ=10 and 20 kΩ

为了综合评估7个参数的影响:ρ、εr、Ip、tf、tf、d和v同时评估峰值LIV,本研究采用了GPR模型。GPR模型将提供FDTD模拟的替代方案,FDTD模拟具有足够的内存和计算负担要求。还将通过考虑参数的广泛变化,特别解决高电阻接地的介电常数的影响。

3 敏感性分析

本节通过使用MTLL模型考虑非常高的土壤电阻率值的情况,此外,还介绍了前一节中提到的各种参数对LIV的影响。

3.1 地电阻率和介电常数的影响

图3给出了考虑Ip=30 kA,εr=5,tf=3.76 μs,v=120 m/s,h=7.15 m,d=50 m时的LIV图。

图3 图1所示结构下不同值(Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,h=7.15 m,d=50 m)计算LIVFig.3 Calculated LIVs for the configuration shown in Fig.1 and different values of ρ (Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,h=7.15 m,d=50 m)

可以观察到,对于ρ=20 kΩ和0.2 kΩ,峰值LIV分别为1 944 kV和154.2 kV。这是因为与电场的垂直分量Ez相比,电场的水平分量Ex更受地面电阻率的影响。如上所述,在位移电流不能忽略的高电阻接地情况下,接地阻抗的特征从电感性变为电容性。图4为ρ=1 kΩ和20 kΩ的地面介电常数的影响,分别通过将εr从5变化到80。

图4 不同ρ值(Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,h=7.15 m,d=120 m)的计算LIVFig.4 Calculated LIVs for different values of εr (Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,h=7.15 m,d=120 m)

可以观察到,当接地介电常数εr从5增加到80时,1 kΩ和20 kΩ的LIV分别降低了3.81%和9%。此外,如图4(b)所示,εr越高,地面电阻率值越高,峰值时间越长,即20 kΩ的峰值时间为68.95%,1 kΩ的峰值时间为9.04%。因此,εr对LIV的影响较低。然而,在较高的εr值时,可以观察到峰值LIV急剧增加,波前更陡。当雷击位置靠近直线时,此效果更为明显。

3.2 线路高度的影响

图5表明在较低的ρ值下,峰值LIV对线路高度更为敏感。在h=14.3 m处的峰值LIV为198.1 kV,在h=7.15 m处的峰值LIV为149.6 kV(ρ=1 kΩ)。此外,还可以从图5中可以观察到,对于ρ=20 kΩ,由于LIV仅增加1.41%,线路高度增加50%,而LIV增加32.42%,因此,高度h的影响不显著。这是因为有损接地产生的电场分量受高度的影响较小。另一方面,由完美导电接地产生的电场分量与高度成正比[2]。

图5 不同h值(Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,εr=5,d=120 m)下计算LIVFig.5 Calculated LIVs for different values of h (Ip=30 kA,tf=3.76 s,v=120 m/s,εr=5,d=120 m)

3.3 回程速度的影响

当v从40 m/s增加到200 m/s时,1 kΩ和20 kΩ的LIV分别增加27.94%和13.9%,见图6。

图6 不同v值(Ip=30 kA,tf=3.76 s,h=7.15 m,εr=5,d=120 m)下计算LIVFig.6 Calculated LIVs for different values of h (Ip=30 kA,tf=3.76 s,h=7.15 m,εr=5,d=120 m)

3.4 前置时间

考虑到Ip为70 kA,如果tf在3.76～7.64 s之间变化,则峰值LIV的百分比下降为6.44%,在1 kΩ的前置时间内,百分比增加为50.78%,见图7(a)。

图7 不同tf值(Ip=70 kA,h=7.15 m,εr=5,d=120 m)下计算LIVFig.7 Calculated LIVs for different values of h (Ip=30 kA,h=7.15 m,εr=5,d=120 m)

然而,对于20 kΩ,在峰值LIV之间仅观察到0.15%的变化,见图7(b)。

4 基于机器学习的模型训练

表1 训练模型的参数Table 1 Parameters of the training model

表2 GPR模型的算法步骤Table 2 Algorithm steps of GPR model

GPR模型采用贝叶斯方法,推断所有可能值的概率分布。这些是非参数概率模型,使用核函数指定协方差。在MATLAB软件中实现的GPR算法如见2。一旦对模型进行训练,所需的计算工作量为最小。

图8为预测值与实际值对应图,FS的最大残差为4 kV,SS的最大残差为0.5 kV;当测试样本与训练样本相等时,平均误差为0.019 27 kV、0.011 56 kV、0.002 29 kV、0.003 05 kV。

图8 GPR模型的响应图Fig.8 Response plot of the GPR models

基函数系数β和噪声标准偏差σ的值为:GPRMTLL-FS为2 378.3和7.994 7,GPRMTLE-FS为2 430.3和7.483 2,GPRMTLL-SS为476.756和1.2723,GPRMTL-SS为444.987和1.195 6。使用表3中给出的步骤,可获得任何随机测试用例的预测变量值。各种核函数显示的模型和RMSE的统计数据见表4。

表3 给定试验数据的预测变量方法Table 3 Predictive variable methods for given test data

表4 GPR模型与核函数RMSETable 4 GPR model and kernel RMSE

从表1可明显看出,除d外,所有预测变量均采用非均匀抽样。在图9(a)中,对于d从70～600 m、16 kΩ和εr=60变化的随机试验案例,两个模型的性能分析,以及均匀和非均匀的ρ取样可得到证实。当GPRMTLL-FS模型(1)用于预测时,趋势是异常的。因此,进一步扩充训练数据集以包含更多的d数据点,从而形成GPRMTLL-FS模型(2),然后,预测结果和实际结果之间的差异显著减小。如果对所有特征采用均匀采样,那么计算复杂度将增加到50 000个观测值左右。GPRMTLE-FS、GPRMTLL-SS、GPRMTLE-SS模型的训练也以类似方式进行。此外,见表5,通过一次删除每个特征,使用模型的RMSE证明了各种特征的预测相关性。可以推断,通过去除特征d,在所有4种模型的情况下观察到的RMSE相当高,因此,表明其与预测LIV的相关性。相应的响应曲线见图9(b)～图9(h)所示。

表5 特征的预测相关性Table 5 Prediction correlation of features

图9 (a)模型与FDTD进行比较响应图(b)无(c) ρ(d)Ip和tf(e)v(f)h (g)εr(h)d中删除特征。Fig. 9 (a) Comparison of models with FDTD, and Removed features in response plots (b) None (c)ρ (d) Ip and tf (e)v (f) h (g) εr (h) d

5 模型的性能评估

本节证明了训练模型(GPRMTLL-FS、GPRMTLE-FS、GPRMTLL-SS和GPRMTLE-SS)的有效性,给出了预测值。对于实际值,已使用2D FDTD为表6中描述的各种情况生成了新的测试数据集。

表6 模型验证的不同案例Table 6 Different cases of model validation

5.1 模型验证和准确性

本节已针对每种情况考虑了不同的有序对ρ和εr,且d在每个子类别中从70 m到600 m不等,以评估模型在相当大的接地电阻率和接地介电常数范围内的性能。其他特征保持不变,如:Ip=30 kA,tf=3.76 μs,v=143 m/s,h=7.15 m。对于SS,Ip=10 kA和tf=0.35 μs,所有其他参数相同。

对于GPRMTLL-FS,在案例(A)的5个子案例中,即ρ=0.9,1.5,3.5,5和7.5 kΩ,观察到3.5 kΩ的最大平均绝对误差为5.2%。在案例(B)的5个子类别中,0.9 kΩ的最大平均绝对误差为9.6%。对于案例(C)-案例(D),变化为9.5、12、16、17和19 kΩ。在前一种情况下,19 kΩ的最大绝对误差为5.4%,在后一种情况下,16 kΩ的最大绝对误差为10%。同样,对于GPRMTLL-SS,表6中给出了误差。图10为GPRMTLL-FS所有情况下的实际值和预测值。表6中还列出了GPRMTLE-FS和GPRMTLE-SS的最大和平均绝对误差。对于新的测试数据集,预测的LIV和通过FDTD技术获得的LIV彼此非常一致。

图10 使用GPRMTLL-FS对不同案例的模型进行交叉验证图Fig.10 Cross-validation of the model for different cases using GPRMTLL-FS

图11为案例A-D情况下的三维图形,使用FDTD获得的结果与所提模型之间的百分比差异,作为线和雷击位置和地面电阻率之间距离的函数。图11(a)描述了所有4个模型的情况A的误差。可以观察到,当MTLL和MTLE的d都较高时,SS的误差增大,FS的误差减小。对于情况B,对于MTLL和MTLE,FS和SS的d值越高,误差越大。然而,趋势改变了,图11(c)和图11(d)中分别代表案例C和案例D的d值越低,误差越大。

5.2 第一次雷击

对于模型的精度评估,在大范围内一次仅改变一个参数,同时保持其他参数不变。恒定参数为:Ip=60 kA、tf=3 μs、v=120 m/μs、h=10 m、ρ=15 kΩ、d=300 m和εr=5。预测(MTLLp,MTLEp)与实际响应(MTLLFDTD,MTLEFDTD)的对比见图12,其变量参数变化较大。相应的误差值见表7。因此,所提模型为GPRMTLL-FS的最大和最小平均绝对误差分别为2.12%和1.13%;对于所有考虑的参数,GPRMTLE-FS的最大和最小平均绝对误差分别为2.34%和1.25%。

表7 GPRMTLL-FS和GPRMTLE-FS的精度统计Table 7 Accuracy statistics of GPRMTLL-FS and GPRMTLE-FS

5.3 后续雷击

为了评估SS模型的准确性,除Ip和tf外,所有其他参数与前一节中提到的相同,分别为12 kA和0.5 μs,结果见图13,相应的误差值见表8。表4中描述的模型统计和使用图10、图11、图12和图13突出显示的性能评估使GPR成为预测峰值LIV的合适候选。

表8 GPRMTLL-SS和GPRMTLE-SS的精度统计Table 8 Accuracy statistics of GPRMTLL-SS and GPRMTLE-SS

6 结论

本研究提出了一种新型基于高斯过程回归(GPR)的雷电感应过电压预测模型。GPR优于其他回归方法是由于其对非线性函数的逼近能力,并且没有事先指定拟合函数。通过比较预测和实际峰值LIV(基于在相当大范围内随机变化的输入),验证了所提出预测模型的性能。利用7个特征,即地电阻率、介电常数、距离、高度、回程峰值电流、波前时间和回程速度,对所提出的方法进行了研究。经过训练的模型可以从40个位置访问,这些位置是根据二维FDTD模拟产生的峰值LIV准备的,并且在测试新的特征值时显示出足够精确的预测。

该方法的计算复杂性在于建立一个数据集,即只执行一次的训练步骤。经过训练后,与具有合理精度的FDTD方法等数值技术相比,该方法的计算时间更短。因此,该模型可与IEEE标准1410-2010中的统计程序一起用于评估架空配电线路的间接雷击性能。