运用画图策略，培养数学推理

吴荔婷

［摘 要］根据《课程标准》的颁布，数学课程的调整主要集中在两个方面：一是将课程总目标聚焦于学生的核心素养，二是强调数学课程的育人价值。核心素养各项指标的培养也彰显了一致性、阶段性和整体性。文章借助画图这一教学策略，从借图认数、借图助数和借图析数三个方面阐述了如何在小学阶段培养学生的数学推理意识，为学生初中数学推理能力的发展做好充分的铺垫，实现小学和初中之间的无缝衔接。

［关键词］画图；推理意识；推理能力；初小衔接

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）08-0071-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（全文简称《课程标准》）发布后，对于教育界来说，如何理解和贯彻其精神，是一项重要的工作。《课程标准》有许多亮点，笔者关注两个方面：一是课程目标侧重于发展学生的数学核心素养，二是课程目标注重彰显数学课程的育人价值。

关于数学核心素养的培养，《课程标准》强调了一致性、阶段性和整体性。《课程标准》中，推理方面的素养在小学阶段的主要表现为推理意识，强调的是“对逻辑推理过程及其意义的初步感悟”；在初中阶段的主要表现为推理能力，强调的是“从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力”。显然，从“推理意识”到“推理能力”是一個从“初步感悟”到“形成能力”的拾级而上、循序渐进的提升过程。

另一方面，基于小学生的思维特征，运用“画图”这一教学策略，能让学生的思维外显，有助于培养学生的推理意识，从而发展学生的推理能力，实现从小学到中学数学推理能力培养的无缝衔接。

一、借图认数，渗透数学推理意识

数学作为一门研究数量关系和空间形式的学科，虽然其内容源自对现实世界的抽象，但对于以直观形象思维为主的小学生来说，理解从生活到数学的抽象过程仍然具有一定的难度。为了帮助学生排除数学知识抽象性与他们思维直观性之间的障碍，教师可以巧妙地借助画图这一桥梁，让学生通过直观的图示，在经历抽象数学知识的过程中形成数学推理意识。

以人教版教材二年级下册“1000以内数的认识”一课为例。在教学例2之前，学生已经学习了例1，还通过教材中的方块图建立了1000以内的计数单位的概念，也初步理解了十进制计数法的位值原理。为了培养学生的推理意识，笔者没有直接教学例2，而是首先展示了一些凌乱的小圆点，让学生估计并猜测235大约可以用多大范围的小圆点表示。学生的猜测范围各不相同，他们积极讨论，课堂气氛活跃。其中一位学生建议：“可以将这些杂乱的圆点按每列10个或每行10个进行排列，一列一列或一行一行地整理好后，就可以确定235可以用多大范围的小圆点表示了。”在这位学生的启发下，很多学生都产生了准确的想法。笔者让学生使用绘图的方式来表示235个圆点，并相互验证作品的正确性。最后，笔者再使用课件展示教材例2（如图1）。

笔者继续渗透数学推理意识：“除了用这样的有序的点子图来表示235，还可以运用哪些方式来表示呢？”有学生提出还可以用例1中的方块图来表示；有学生提出可以用小棒来表示；有学生提出可以用计数器来表示等。这样的教学，让学生从“胡乱地猜”到“有理地猜”，提出猜测后又画图验证，从而建立对“235”这个数内涵的正确认知，还让学生做到“举一反三”，运用不同的方式来表示十进制，实现了图示与数量之间的“相互转译”，有效地向学生渗透了数学推理意识。

二、借图助数，培植数学推理意识

教育部义务教育数学课程标准研制组组长史宁中教授将数学课程要培养的学生核心素养总结为“三会”，其中“会用数学思维思考现实世界”符合推理实质。数学画图能够将抽象的、看不见的思维过程进行直观表达，使学生的思维变得可视化，在发展学生几何直观这一素养的同时，帮助学生直观地理解数学概念、性质和规律，以及直观地理解内在的数量关系，促进学生数学推理意识的提高。

（一）运用画图，直观推理并理解运算算理

长期以来，数学运算被误认为是一种纯技能的程序化演算，重算法而轻算理的教学常常让学生的计算正确率处于“只跌不涨”的困境，这样教学完全偏离了数学运算真正的思维价值取向。因此，教师应充分挖掘运算本身的价值，借助图示这个直观模型的支持，巧妙地引导学生将算式转化为图示。这样，学生就能够透过运算的表面，理解算法背后隐藏的深层数学原理，经历推理的过程，从而“润物细无声”地提高学生数学推理意识，助力小初衔接。

以人教版教材三年级上册“分数的简单计算”教学为例。笔者创设情境引出问题，在学生列出算式“[28+18]”后，放手让学生自主尝试计算。由于这节是分数加减法的起始课，受前面整数加减法“外形”上的干扰，有一部分学生算出的结果是[316]。于是笔者先通过问题“你算得的结果是[316]吗？”引导学生思考，再让学生运用画图的方式进行验证，最后让学生观察如图2所示的教材图。学生直观地理解了算式“[28+18]”的实质是2个[18]与1个[18]合并，从而推理得出结果应是3个[18]。然后，笔者让学生讨论问题“整数加法与分数加法有什么共同点”，引导学生通过对比推理出“都是相同计数单位的累加”的结论。至此，借助图示，同分母分数相加的本质深深地烙印在学生的脑海里，在破构与重构知识的过程中，培养了学生的数学推理意识。

（二）运用画图，直观推理并建构计算公式

一些课堂教学存在“重结果、轻过程”的现象，这也是对学生数学推理能力的忽视，显然与《课程标准》的精神相背离。另外，一些教师在教学中使用的素材已经相对陈旧，无法使学生体会到所学数学知识、公式等在未来学习和生活中的实际应用价值。因此，教师应该摒弃传统的“背诵公式，套用公式”的教学方式，改变教学方式，让学生亲身经历数学公式的产生、推导和应用的全过程，发展学生的数学抽象、数学推理和数学模型思维能力。尤其是推理作为数学的基本思维方式，也是一项重要的数学素养，应该引起教师的重视。

以人教版教材五年级下册“平行四边形的面积”的教学为例。笔者首先出示长方形花坛与平行四边形花坛，让学生判断哪个花坛的面积大。学生能很快根据长方形的面积计算公式计算出长方形花坛的面积，但不知道如何计算平行四边形花坛的面积。笔者让学生试着猜一猜，有学生提出“平行四边形的面积=邻边×邻边”，还有学生提出“平行四边形的面积=底×高”。于是，笔者让学生回忆在探究长方形面积计算公式时所用的方法，唤起学生已有知识经验，即长方形的面积就是面积单位的累加。学生自然而然地想到用“数格子”法来探究平行四边形的面积。笔者出示如图3-1所示的平行四边形让学生进行小组探究。学生探究后在班级里汇报交流。有的小组是先一行一行地将平行四边形平移割补转化成长方形（如图3-2），再“数格子”求面积，得出的结果是18格（即18平方厘米）；有的小组是直接将左边的三角形整体向右平移（如图3-3），将平行四边形割补转化成长方形，再“数格子”求面积，得出的结果是18格（即18平方厘米）；有的小组是通过平移割补，将平行四边形转化成长方形后，发現了平行四边形的面积与长方形的面积相同，直接提出不用“数格子”，根据“平行四边形的底和高与转化后的长方形的长和宽相等”，推导得出“平行四边形的面积=底×高”。

在以上的探究过程中，学生首先通过回忆长方形的面积公式的推导过程，类比推理出可以使用“数格子”法来推导平行四边形的面积，这是一种合情推理。而在进一步的探究过程中，学生发现可以通过割补法将平行四边形转化为长方形，并分析平行四边形与转化后的长方形各元素之间的关系，从而直接推导出平行四边形的面积计算公式，这是严谨的推理过程，体现逻辑推理思维。整个过程中，通过借助直观的数学绘图，让推理思维可视化，有效地促进了学生数学推理素养的发展。

三、借图析数，培养数学推理能力

《课程标准》中，推理方面的素养在小学阶段的主要表现为推理意识，在初中阶段的主要表现为推理能力，如果说推理意识侧重于对学生合情推理能力的培养，那么推理能力则是直接指向演绎推理能力的培养。从合情推理能力到演绎推理能力的提升，也就是从推理意识到推理能力的提升，是一个漫长、往复的过程，而只有以扎实的推理意识为基础，学生的数学推理能力才能得到有效的培养。基于学生的思维特点，小学阶段更关注的是从一般到特殊的推理意识的渗透。为了实现小初的有效衔接，教材在小学六年级下册编排了2个课时，并初步渗透从特殊到一般的推理。到了初中七年级，教学也并非全然抛开“合情推理”，而是让“合情推理”与“演绎推理”相互交融，逐步促使学生的推理能力拾级而上。因此，教师应把握好推理能力培养的阶段性，巧妙借助画图，让学生的推理过程有“几何直观支架”的支撑，避免“过度拔高”“脱节”等现象的发生。

以人教版教材六年级下册“数学思考”的教学为例。在教学教材中的例题时，对于例题中的图（如图4），如果跳过画图这个直观的支撑，直接让学生用严谨的文字来进行推理，显然是拔高了学习的难度。

基于这样的认识，教师应先让学生自主运用画图的方式标注出∠1+∠2=180°和∠3+∠2=180°（如图5），再让学生借助图示进行说理。有学生提出“因为∠1与∠2相加的和是180°，∠3与∠2相加的和也是180°，所以∠1与∠3相等”，有的学生提出“因为∠1与∠3都加上相同的∠2，和都是180°，所以∠1与∠3相等”。当学生有一定的经验之后，教师再启发学生进行严密的推理，学生就能顺利得出结论“因为∠1+∠2=180°和∠3+∠2=180°，根据等式的性质，得到∠1=180°-∠2，∠3=180°-∠2。又因为∠1=180°-∠2，∠3=180°-∠2，所以∠1=∠3”。这样的画图辅助，能为学生进行初步的演绎推理做好直观上的支撑，促使学生经历从特殊到一般的过程，让学生逐步学会有理有据地进行推理。

综上所述，教师应立足于学生核心素养发展，准确把握不同阶段素养的培养方式，充分利用“画图”这个几何直观手段，最大限度地渗透和培养学生的数学推理意识，致力于让学生通过不完全归纳、类比和猜想等推理方法来经历数学学习的过程，并适时地引入一些演绎推理的方法。这样，学生就可以从合情推理平稳过渡到演绎推理，实现从推理意识到推理能力的顺利提升，从而助推学生小学和初中之间数学推理能力的无缝衔接。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 张海荣.小学数学教师如何引领学生真正参与课堂教学[J].学周刊.2019，（14）：77.

（责编 杨偲培）