问学交融，触及概念本质

于伟玲

［摘 要］平均数是统计学中常见的统计量。传统平均数的教学偏重计算方法及其技能训练，忽视学生对平均数概念本质的深层认识。教学时，教师应让学生在真实的情境中提出问题，促进问与学的深度融合，逐步探索平均数的“代表性”“虚拟性”和“敏感性”，深刻理解平均数的统计意义，从而使深度学习真正发生。

［关键词］问学交融；移多补少；虚拟性；敏感性

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）08-0044-04

问题是学生深度学习的助推器，“问学课堂”的建构就是以学生的疑问为发端，引导学生提出有效的数学问题；以学生的学为核心，激活学生的数学思维；问中学、学中问，让学生在积极主动的“问学”过程中，对数学概念进行深刻的理解和建构。“问学课堂”将教学方式从单一封闭的师生对话式教学转变为启发式、探究式等开放式教学，充分凸显学生的主体地位，从而达到增长学生智慧、提升学生素养的目的。

本文以人教版教材四年级下册“平均数”的教学为例，探讨“问学课堂”中如何引导学生在真实情境中提出问题，并以问题引领其逐步探索平均数的本质，从而寻求促进学生深度学习的有效路径。

一、课前慎思，深度对话教材

平均数是统计学中最常见的刻画数据集中趋势的统计量，传统教学侧重于让学生从算法的层面理解平均数的意义，将平均数的学习弱化为一种简单的技能训练。如何在问与学的深度融合中让平均数从计算水平向统计水平转变，真正培养学生的数据意识呢？为此，笔者在课前深耕教材、调研学情，翻阅大量的文献资料，努力拓宽视野、延展思维，力求使课堂变得有温度、有深度。

（一）研读教材，深思存疑

研读教材是深度教学的基础。“平均数”是人教版教材四年级下册的内容，小学数学所说的平均数一般指算术平均数，它是学生在第一学段已经理解平均分及除法运算含义的基础上学习的。教材设计了两道例题，例1是利用象形统计图呈现环保小队4人收集的空水瓶数量，直接呈现问题“平均每人收集了多少个”。学生运用“移多补少”和“求和均分”两种方法求平均数，得出平均数的含义，同时在这个过程中体验平均数的“虚拟性”。例2是比较人数不同的两组数据，通过问题“哪个队的成绩更好”，使学生感受到当人数不同时，用总数比较两队的成绩是不公平的，而用每个队的平均成绩来比较能反映两队的整体水平，凸显平均数的应用价值。

人教版教材的编排遵循了概念学习的基本路径：概念（是什么）—方法（怎么求）—应用（有什么用）。这样的编排能让学生掌握“移多补少”和“求和均分”两种求平均数的计算方法。笔者观摩过数节青年教师的平均数教学课例，发现教师往往更重视教授“求和均分”的方法，对“移多补少”这一方法则蜻蜓点水，导致学生只记住了求平均数的公式。其实通过研读教材可知，“移多补少”的方法更能体现平均数的统计意义。例1和例2两个不同情境，将“算”和“用”分开，由于内容情境不连贯，学生对平均数本质的理解会有一定的割裂性。若教师简单地按教材教学，就容易冲淡学生对平均数统计意义的理解，造成学生思维的浅表化。

（二）版本对比，适当改编

用怎样的情境来进行平均数的教学，才能达到预期的效果？为此，笔者翻阅了苏教版、北师大版、青岛版3个版本的教材来与人教版对比并进行筛选。各版本教材的具体编排见表1。

表1 各版本教材关于“平均数”的具体编排

[教材版本 编排年级 编排内容 例题数量 人教版 四年级下册 例1呈现一组象形统计图，通过收集空水瓶的数据让学生认识平均数的概念及计算方法。例2呈现两组数据，通过比较人数不同的两队踢毽比赛成绩，让学生进一步认识平均数的意义。 2道 苏教版 四年级上册 例3呈现两组套圈比赛成绩，通过比较人数不同的男生、女生套中的个数，引出求平均数的方法及概念，突出平均数能较好地反映一组数据的总体情况。 1道

北师大版（分两次编排）

四年级下册 例题呈现了淘气5次记住数字的情况统计表，引出学习平均数的必要性和求平均数的方法，突出平均数是一组数据平均水平的代表。 1道 五年级下册 例1讨论儿童免票乘车中“免票线从1.2 m调整到1.3 m”这个数据是如何得到的。例2讨论歌手大奖赛中记分方法的合理性，认识平均数的“敏感性”。 2道 青岛版 四年级下册 例1呈现篮球比赛中两名运动員小组赛的得分情况统计表，引出求平均数的方法及概念。突出平均数能较好地反映一组数据的整体水平。 1道 ]

从4个版本教材的编排来看，苏教版和青岛版教材都只编排了1道例题来教学平均数，问题情境都是以比赛为背景，呈现比赛人数或比赛场数不同的两组数据。北师大版教材在第一次认识平均数时，问题情境呈现了一组数据，是单一对象从事同一种活动的多次结果。人教版教材呈现2道例题：例1呈现了一组数据，是多个对象从事同一种活动的统计结果；例2呈现了两组数据，其情境与苏教版、青岛版教材例题的编排相同。

从教学平均数的计算方法来看，4个版本教材都采用了“移多补少”和“求和均分”两种计算方法。其中，除了人教版教材是让学生在象形统计图上“移多补少”，其他3个版本的教材都是采用条形统计图进行“移多补少”。4个版本教材中，“移多补少”都先于“求和均分”出现。一方面，用“移多补少”方法求平均数比较直观，有利于加深学生对“平均数”概念的本质理解；另一方面，“移多补少”法对培养学生的数据意识有着独特的价值。为此，后续的教学设计应凸显“移多补少”的重要性。

基于以上分析，笔者结合人教版教材的实际情况和“问学课堂”的学习要求，适当改编教材内容，舍弃例1，从例2开始教学“平均数”。

（三）课堂前测，明晰学情

深度解读教材之后，教师需要了解学生的认知水平和学习起点。学生对平均数到底了解多少？“移多补少”和“求和均分”这两种方法，学生更容易接受哪一种？对于“平均数”这个课题，学生会提出怎样的问题？基于这些思考，笔者设计了“平均数”前测卷（如图1所示）。

前测卷设置了4道题目，前3题是针对学生的已有认知基础提问，第1题和第3题考查学生是否能准确区分“平均数”和“平均分”，第2题考查学生对平均数概念的理解。从前3题可以看出，学习平均数的认知基础是平均分和除法，知道平均数对应的结果是每份同样多。实际上，学生容易把“平均数”和“平均分”混为一谈，平均数的概念在学生的头脑中是模糊的。前测结果显示，将近一半的学生会计算平均数，那么在实际教学中，是否可以淡化平均数“求和均分”的计算方法，通过“移多补少”的方法来探究平均数的三重意义，从而培养学生的数据意识呢？第4题是询问学生想了解哪些有关平均数的知识，学生的回答可以归纳为以下6个问题：

①平均数的意义是什么？

②平均数有什么作用，在生活中哪里可以用到？

③平均数是怎样形成的？

④“平均数”和“平均分”的相同点和区别是什么？

⑤从统计图中能不能看出平均数？

⑥平均数的公式是什么？

教师根据以上6个问题对学生在课堂上可能提出的问题进行预设，为开展“问学课堂”教学做好准备，让教学设计做到有的放矢。

二、留足时间，唤醒学习需求

通过教材研读、版本对比及学情调研，笔者确定了整体的教学思路。新课导入环节从例2的男生、女生踢毽比赛开始，从学生已有经验入手引发认知冲突，揭示课题后让学生针对课题提出问题，以问题引领学生深度学习，逐步探寻平均数的本质意义。

笔者适当改编教材内容，创设了从比较人数相等的男生队、女生队踢毽比赛成绩（如图2-1所示）到比较人数不等的男生队、女生队踢毽比赛成绩（如图2-2所示）。“人数不同怎么比较”是学生理解上的难点，学生需要跳出思维定式，不仅要关注踢毽总数，还要关注参赛人数。对这一难点的有效突破必须建立在学生的自主理解之上，即通过现实情境在不同观念的碰撞中认识到比较总数的不足，让学生在思辨中体会到使用平均数的必要性。

面对平均数这一全新内容，教师要给学生留出充足的时间，先让学生把迫切需要知道的知识提出来，再把学生提出的零散问题加以筛选、归纳，提炼为关键问题，如“什么是平均数？”“平均数有什么作用？”“生活中哪些地方能用到平均数？”“平均数是怎样求出来的？”等。这几个关键问题正是后续学习新知需要探究的问题，起到了提纲挈领的作用，同时也体现了以学生为本的课堂理念。

三、以问促学，把握概念本质

教师将学生提出的问题转换为教学问题，可以借助一些学习材料和教学手段，引领学生逐一解决问题。在问题的驱动下，学生主动参与解决问题的过程，通过师生互动、生生互动获得解决问题的新思路、新视角。问题串的持续推进形成环环相扣的任务群，学生在持续的探究中形成对概念的深刻理解。当然，学生在探究过程中会产生新问题、新思考，这时教师可以让学生再次提问。这样学生因“问”而“学”，因“学”生“问”，在“问”“学”相生中，学生积蓄了自主提问的动力，形成了深度学习的内驱力。

根据前测结果，多数学生能根据“平均分”推测出“求和均分”的计算方法，但是较少有人知道“移多补少”的计算方法。教师可以利用条形统计图，通过移一移、画一画，以及课件的动态演示找到平均数，为学生理解平均数代表一组数据的整体水平提供支撑，让学生经历“移多补少”的过程，强化学生对平均数产生过程的认知，使学生体会平均数的统计价值。教师应将“移多补少”的教学放在重要位置，让学生经历下面3个层次的教学，加深对平均数意义的本质理解。

（一）初识平均数，着力“移多补少”

“什么是平均数？”这是学生最迫切想要解决的问题。教师可以先尝试让学生自主解决，充分调动学生已有的认知。这时学生自然会想到“求和均分”的方法，教师适时将计算方法板书到黑板上，此时学生对平均数浅表的理解已完成，接下来进入“移多补少”方法的教学。教师提问：“刚才通过计算，我们找到了人数不等时男生队的平均数是8，女生队的平均数是9。在条形统计图中，你还能想到用别的方法来找到这两个平均数吗？”接下来让学生完成学习单（如图3所示）。

在集中展示交流环节，学生有理有据地阐述了自己的移动过程。为了让学生有更深刻的认识，教师再次提问：“经过刚才的移动过程，你又产生了哪些新的问题？”这时学生提出了“为什么要这样移动呢？”“这种方法和刚才列算式计算的方法有相同之处吗？”“张倩踢了9个和女生队的平均数9一样吗？”等直击平均数本质的问题，教师筛选和梳理了与本节课重难点相关的问题，在后续的教学中逐一解决，将平均数的教学推向深处。

（二）体会平均数的“虚拟性”和“代表性”

在教学“移多补少”的过程中，学生提出了一些有价值的问题，如“张倩踢了9个和女生队的平均数9一样吗？”通过生生互动交流，学生理解了“张倩踢了9个”是她自己实际踢了9个，而“平均数9”是计算出来的，是假设平均每人踢得同样多，并不是每个人都踢了9个，由此体会到平均数的“虚拟性”。同时，学生在这个过程中感受到“平均数”和“平均分”的区别。为了让学生进一步理解平均数的“代表性”，基于学生的思维特点，教师通过把平均数与男生队、女生队中每人实际的踢毽个数进行对比，将平均数的统计意义直观化，帮助学生深刻体会平均数的“代表性”，即反映了一组数据的整体水平。

（三）感受平均数的“敏感性”

刘加霞教授说过，一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，数据稍有变动，就会引起平均数的改变，即平均数具有“敏感性”。特别是极端数据对平均数的影响很大，这使得平均数更具有统计意义。在本教学环节中，教师可以对例题展开进一步拓展：“刚才是4男3女对决，现在老师也加入女生队，你们希望老师踢多少个呢？为什么？补充统计图（如图4所示）。”这个问题激发了学生强烈的探究欲望。

在之前的教学中，“移多补少”思想在学生头脑中已经扎根，学生会运用“移多补少”的方法，结合教师的踢毽个数正确解释平均成绩变化的原因，充分感受到一个数据改变，该组数据的平均数就会随之发生变化的特点。

四、借问延学，拓展思考空间

在教学中，教师不仅要关注学生获取的知识与方法，还要关注学生积累的数学活动经验。学生提问能力的提高不是一蹴而就的，需要教师适时引导和鼓励。教师要练就敏锐性和洞察力，及时发现和思考提问的关键点，把握好提问的时机。

在“平均数”教学的回顾阶段，教师通过“这节课你有什么收获？”来组织学生回顾总结，学生回顾的内容大多是有关平均数的具体知识与方法。交流结束后，教师继续提问：“学完了平均数，此刻你们有没有新的问题？”学生纷纷说出自己的问题，如“未来的平均数会和现在不同吗？”“平均数还可以用来干什么？”“有没有比平均数更公平的数？”“平均数对我们的生活还有哪些影响？”“还有别的计算平均数的方法吗？”等。这些问题的提出使得教学不再拘泥于课堂。教师针对其中具有探究性的问题，以实践性作业的形式布置给学生，让学生进行研究性学习，把学生的学习从课内拓展到了课外，引导学生进行更深层次的思考，培养学生的高阶思维力。

时代呼唤创新，小学阶段要注重对学生创新意识的培养。将之落实到课堂教学中，让学生在深度学习中学会提出问题和解决问题，是培养学生创新意识的策略之一。“问学课堂”将学生的“问”与教师的“导学”深度结合，在此過程中发展学生的创新意识，使学生成为爱发问、会提问、有思想、有智慧的人。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 刘加霞.“平均数”的本质及小学生理解水平解析[J].湖北教育（教育教学），2021（2）：36-38.

[3] 吴烈.谱好提问“五部曲”    引发学生“好问题”：以“平均数”教学为例[J].小学数学教育，2022（Z4）：25-26.

【本文系2022年度河南省基础教育教学研究项目重点课题“基于深度学习的小学数学‘问学课堂实践研究”（立项编号：JCJYB2204070009）的研究成果。】

（责编 李琪琦）