一类切换时滞神经网络的有限时间无源性

侯 晓，李晨松

（内蒙古民族大学数学科学学院，内蒙古 通辽 028043）

神经网络是一门新兴的边缘交叉学科［1］。神经网络节点的动态由时滞动态方程刻画时，构成了时滞神经网络。此外，时滞动态网络由拓扑连接决定。在现有的神经网络研究中，拓扑结构一般以切换的形式变化。文献［2-3］研究了切换拓扑下的时滞神经网络无源性。

无源性作为耗散性的特例，它可以保持系统的内部稳定性。文献［4］提出了有限时间无源性的概念。文献［5］研究了切换非线性系统的有限时间无源性。文献［6］研究了多智能体的有限时间无源性。文献［7-8］研究了神经网络的有限时间无源性。受文献［5］的启发，在文献［7］的基础上研究切换拓扑下的时滞神经网络有限时间无源性。主要工作如下：1）通过设计切换信号和控制器得到在切换拓扑下时滞神经网络具有有限时间无源性，进而得到有限时间镇定；2）当2个时滞神经网络系统都具有有限时间无源性时，证明它们的系统也具有有限时间无源性。

1 预备知识

符号说明：Rn为n维欧几里得空间；Rm×n为m×n阶实数矩阵空间；ℵ表示非负整数集；表示向量x=(x1,x2,…,xn)T范数；表示矩阵A=(aij)n×n范数；diag(·)表示对角矩阵；⊗表示克罗内克积；Jn表示元素都为1 的n×n阶矩阵；In表示单位矩阵；K类函数α:[0,+∞)→[0,+∞)是连续的，具有严格递增性，且满足α(0)=0。

引理1［5］对于切换非线性系统

假设存在C1正定函数Vi(x):Rn→R≥0，函数βij:Rn×Rm×Rm→(-∞,0]和K类函数γi(z):R≥0→R≥0，i,j=1,2,…,l，其中l为子系统的个数，对所有的x和u满足以下条件

并且对于一些εi＞0，使得＜+∞，则在状态依赖型切换信号，即σ(x)=i，的条件下，系统（1）有限时间无源。

引理2［5］如果系统（1）是有限时间无源的，当u=0 时，它是有限时间稳定的。此外，如果Vi(x(t)),i=1,2,…,l是径向无界的，那么它是全局有限时间稳定的。

引理3［9］对于任意向量x,y∈Rn，正数ε和正定矩阵Q∈Rn×n，有

引理4［10］对每一个x∈Rn，有θ1xTQ1x+…+θmxTQmx≤0 成立，其中θk≥0，k=1,2,…,m，Qk为对称矩阵，则Ω1⋃…⋃Ωm=Rn，其中Ωk={x∈Rn:xTQkx≤0}。

引理5［11］对任意的xk∈R，k=1,2,…,n，0＜p≤1，则有

2 问题描述

考虑由N个节点构成的变时滞神经网络模型

其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))T∈Rn为第i个节点的状态，N表示网络中节点个数。Ci=diag(c1,…,cn)＞0，Ai=(aij)n×n，Bi=(bij)n×n和Ei=(eij)n×n为n×n阶常数矩阵。Ci和Ai是第i个节点的神经元连接权重矩阵，Bi和Ei是相应的延迟神经元连接矩阵。d(t)和τ(t)是时变连续函数，0 ≤d(t)≤τ，0 ≤τ(t)≤τ。第i个节点的外部输入为ωi(t)=(ωi1(t),ωi2(t),…,ωin(t))T。输出为yi(t)=(yi1(t),yi2(t),…,yin(t))T，Li与Hi为相应n×n阶常数矩阵。切换信号σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,m}是一个分段常值函数，m是子系统的个数，切换控制输入为uiσ(t)。神经元激活函数为f(xi)=(f1(xi1),f2(xi2),…,fn(xin))T：Rn→Rn和g(xi)=(g1(xi1),g2(xi2),…,gn(xin))T：Rn→Rn，并且f和g满足下列假设1的条件。

假设1［9］对于神经元激活函数fk，gk，满足fk(0)=gk(0)=0，k=1,2,…,n，且存在正的常数μk，ρk使得|fk(θ1)-fk(θ2) |≤μk|θ1-θ2|，|gk(θ1)-gk(θ2) |≤ρk|θ1-θ2|都成立。

3 主要结果

3.1 切换时滞神经网络的有限时间无源性

下面研究切换拓扑下时滞神经网络的有限时间无源问题，设计状态反馈控制器为

其中：常数ki＞0，b＞0，0＜α＜1；U=diag(μ1,μ2,…,μn)，P=diag(ρ1,ρ2,…,ρn)，符号函数sign(xi(t))=diag。

将式（3）代入式（2）可得

下面研究设计切换信号σ(t)后系统（4）关于输入ω与输出y有限时间无源及有限时间镇定问题。

定理1对于系统（4），若成立，其中，且。设计状态依赖型切换信号

则该系统（4）在切换信号（5）下是关于输入ω与输出y有限时间无源的，其中，ω(t)=(ω1(t)T,ω2(t)T,…,ωN(t)T)T，y(t)=(y1(t)T,y2(t)T,…,yN(t)T)T。此外，当ω=0 时，系统（4）是有限时间镇定的。

证明选取李雅普诺夫函数为V=。它沿着系统（4）的轨线导数为

根据引理3，有

根据假设1有

将式（8）代入式（7）得

再根据假设1可得

同理可得

将式（9）、式（10）、式（11）代入式（6）整理可得

又由引理5得

故通过引理1可得系统（4）在切换信号（5）下具有有限时间无源性。根据引理2，令ω(t)=0，故可以得到系统（4）在切换信号（5）的条件下有限时间镇定。定理1得证。

3.2 反馈互联系统的有限时间无源性

下面考虑当2个时滞神经网络系统都具有有限时间无源性时，它们的反馈互联系统也具有有限时间无源性。

考虑2个变时滞神经网络系统

对系统Hl设计控制器为

系统H1与系统H2的反馈互联形成反馈互联系统H。其中ω1=r1-y2，ω2=r2+y1。系统H的输入与输出为。

假设2［5］对于系统H，有dimω1=dimr1=dimy2，dimω2=dimr2=dimy1。，即σ*(t)：[0,+∞)→M1×M2。下面考虑反馈互联系统H的有限时间无源性。

定理2若具有控制器（14）的系统Hl(l=1,2)满足定理1的条件，则在切换信号σ*(t)下，反馈互联系统H是关于输入r与输出y有限时间无源的。

证明根据定理1可知，具有控制器（14）的系统Hl在切换信号σl(t)下是关于输入ωl和输出yl有限时间无源的，选取V(x1,x2)=V1(x1)+V2(x2) ，其中

成立。定义b3=min{b1,b2} ，故有

通过式（15）、式（16）、式（17）和引理4，引理5与切换信号σ∗(t)可得

所以根据引理1，反馈互联系统H在切换信号σ∗(t)下是关于输入r与输出y有限时间无源的。定理2得证。接下来在参考文献［13］的基础上，进行数值仿真分析。

4 数值仿真分析

例考虑一个由5个节点组成的具有切换拓扑的时滞神经网络系统（4），假设网络中的每个节点是一个2维的时滞神经网络，其中xi(t)=(xi1(t),xi2(t))T，i=1,2,3,4,5。当i=1时，C1=，A1=，B1=，E1=；当i=2 时，C2=，A2=，B2=，E2=；当i=3 时，C3=，A3=，B3=，E3=；当i=4 时，C4=，A4=，B4=，E4=；当i=5 时，C5=，A5=，B5=，E5=。

选择激活函数为f(x)=sinx，g(x)=(|x+1|-|x-1|)，时滞函数为d(t)=1-sint，τ(t)=2-2 sint。为满足假设1 的条件，故取U=diag(1,1)，P=diag(1,1)。当i=1 时，k1=0.148 2；当i=2 时，k2=0.163 5；当i=3时，k3=0.110 1；当i=4 时，k4=0.144 6；当i=5 时，k5=0.038 0。

对于控制器（3），取α=0.5，b=1.5，并且当i=1时=1.9=1.4；当i=2 时，=2.8=1；当i=3 时，=3.5=4.5；当i=4 时，=1.7=4.2；当i=5 时，=0.9=1。

对于系统输出yi(t)=Lixi+Hiωi，当i=1 时，L1=，H1=；当i=2 时，L2=，H2=；当i=3 时，L3=，H3=；当i=4 时，L4=，H4=；当i=5 时，L5=，H5=。

切换信号σ(t)=arg{xT(Gk⊗Γ)x} ，令θ1=2，θ2=1.5，Γ=diag(2,1)。拓扑结构为

初始值选择为x1(0)=(-5,-1)T，x2(0)=(-3,-4)T，x3(0)=(6,2)T，x4(0)=(4,-5)T，x5(0)=(4,2)T。状态向量第一个分量的仿真结果见图1，第二个分量的仿真结果与图1一致。切换信号的仿真结果见图2。

图1 当ω(t)=0 时状态x(t)的轨迹Fig. 1 The trajectories of the state x(t) while ω(t)=0

图2 切换信号Fig. 2 The switching signal

5 结论

研究了切换拓扑下的时滞神经网络有限时间无源性。1）通过设计控制器与切换信号，证明了切换拓扑下的时滞神经网络具有限时间无源性，并在此基础上得到了有限时间镇定。2）当2个时滞神经网络系统都具有有限时间无源性时，它们构成的反馈互联系统也具有有限时间无源性。在接下来的工作中，将继续研究切换时滞神经网络的其他问题。