周期性多层排桩低频隔振及衰减域拓宽研究

高赟杰 姚文山 王子立 李泰灃 王业顺

1.中建交通建设集团有限公司， 北京 100071； 2.中国铁道科学研究院集团有限公司 铁道建筑研究所， 北京 100081；3.中南大学 土木工程学院， 长沙 410083

轨道交通在给人民带来便利的同时，引起的环境振动问题也日趋严重，尤其是10 Hz以下的低频轨道交通振动，因传播距离长、衰减慢，危害性更大［1-2］。在众多隔振手段中，周期性排桩作为非连续隔振屏障因施工方便、成本较低、适应性强，具有较好的应用前景［3］，如图1所示。

图1 周期性排桩隔振

针对周期性排桩隔振问题，国内外学者开展了大量研究。在数值研究方面，文献［4］通过数值研究，发现扩大桩基直径可以拓宽带隙频率。文献［5］模拟了不同填充材料下周期性填充排桩隔振效果，研究发现填充软体材料时排桩隔振效果更好，且扩大桩径可以获得20 Hz以内的低频带隙。文献［6-7］提出了一种周期排桩隔振时表面波识别新方法，并研究了周期排桩在层状土中表面波隔振性能。文献［8］提出可用COMSOL PDE模块计算周期排桩的频域和时域。为获取更低频率带隙，文献［9］研究发现在饱和土中，周期性管桩可获得15～20 Hz低频衰减域。文献［10］通过数值模拟，研究了周期排桩对低频瑞利波的隔振性，探索了不同桩截面的隔振效率，发现十字形截面隔振效果最好，并可以产生9.64 ～ 13.92 Hz的低频带隙。文献［11］提出了大型尺寸隔振桩基，当桩基直径为8 m，排间距为10 m时可获得10 Hz以下的带隙。在试验方面，文献［12］开展周期性PVC管桩表面波隔振室内试验，并将试验结果与数值模拟复频散计算结果对比，验证了周期排桩隔振性能。文献［13］开展原理性试验，研究周期性空心桩和填土桩隔振性，发现实测振动衰减达50% ～ 98%，其中水平衰减优于竖向衰减，且填土桩对振动波衰减作用更好。文献［14］通过现场试验，研究了周期性空心孔的隔振性能，研究结果与数值模拟一致，验证了周期性超材料在土壤材料中的适用性。为获得更低的隔振带隙，基于局域共振机理设计桩基形式，文献［15］提出了一种多层桩基结构，通过复频散研究发现，该桩基可以获得低频隔振带隙。进一步，文献［16］研究了多层桩中管桩对隔振性能的影响，发现管桩可以增大桩-土弹性模量，提升隔振性能。

已有研究肯定了周期排桩的隔振性能，也提出了多种低频隔振结构，然而，只关注低频带隙，极少关注低频带隙宽度。通常带隙频率越低，带隙宽度越窄。由于实际环境振动主频是一个范围，而非某一固定值，极窄的带隙很难覆盖全部振动主频，不利于实际隔振应用。因此，本文基于局域共振机理，首先在多层桩中引入一种截面带孔软体层，通过减小软体层填充率来获取更低频带隙；其次，针对不同低频带隙的多层桩，创新性提出“中心频段连续”的排桩组合隔振方式，并通过频域和时域模型深入分析其隔振机理。

1 周期结构隔振

1.1 基本理论

假设土体为弹性体，在不考虑体积力影响下，弹性单元振动形式可以表示为［17］

式中：∇为哈密顿算子；r为位置矢量，r= （x，y，z）；u为位移矢量，u =（ux，uy，uz）T；ρ（r）为材料密度；λ（r）和μ（r）为拉梅常数。

以平面波为例，单元体位移［u(r，t)］为

式中：ω为圆频率；U(r)为振幅。

把式（2）代入式（1）中，化简得到

在周期结构中，根据bloch理论，有

式中：uk(r)为调幅函数；k为波矢。

在周期矢量为R的周期结构中，调幅函数为周期函数，即

将式（5）代入式（4）中，可得周期性结构中单胞边界条件，即

将式（6）代入式（3），可得到关于k，ω和uk(r)的方程组，进一步可获得ω与k的特征方程。

以多层桩正方形排布为例，如图2所示，晶格常数为a，不可约布里渊区是三角形区域ΓΧМ。只需将波矢（k）扫掠不可约布里渊区边界，即可获得ω与k之间的频散曲线。本文利用COMSOL Multiphysics有限元软件求解特征方程，并求得ω与k之间的频散曲线。

图2 多层桩正方形排布

1.2 典型频散曲线

当晶格常数a= 2 m，管桩外径r2= 0.76 m，管桩厚度D= 0.02 m，桩芯半径r1= 0.65 m时，材料力学参数取自文献［11］，见表1，计算频散曲线如图3所示。在11.086 ～ 14.910 Hz内形成了一条完全带隙，意味着这个区间内的弹性波将被周期结构隔断。带隙下边界出现了较长的平直带，表明带隙机理为局域共振机理，该机理也是获得低频表面波带隙的重要途径。

表1 材料参数

图3 频散曲线

1.3 研究内容及方案

局域共振带隙频率虽然较低，但其带隙宽度也较窄，从而限制了局域共振结构隔振的实用性。本文主要针对周期性多层桩局域共振带隙，通过优化软体层结构及排桩组合形式，来获取低频宽衰减域。

降低软体层填充率可以获取更低频率共振带隙［18］。如图4所示，本文提出一种截面带孔型软体层结构，保持圆孔半径恒定，通过控制圆孔数量来调节软体层填充率。

图4 截面带孔型软体层

本文包括三项研究内容：①研究软体层填充率对周期性多层填充桩带隙的影响。对截面带孔型软体层展开研究，计算软体层填充率（W）为35% ～ 100%时周期性多层填充桩的频散曲线，分析软体层填充率与带隙的关系。②开展频域分析，研究有限数量排桩组合隔振特征，探索低频宽带的排桩组合方法。③通过时域分析，深入研究组合排桩隔振机理。研究技术路线如图5所示。

图5 技术路线

2 软体层填充率对带隙的影响

轨道交通振动主要有高频（100～400 Hz）、中频（30～60 Hz）和低频（0.5～10 Hz），其中低频隔振难度最大。本节主要通过降低软体层填充率来获取周期性多层填充桩10 Hz以下的低频带隙。以截面带孔软体层结构（参见图4）为例，圆孔半径设为0.04 m，通过调整圆孔数量来改变软体层填充率。

具体分析前，定义带隙的3个特征参量，即带隙上边界频率（fUBF），带隙下边界频率（fLBF）和带隙宽度（fWBG）。

带隙边界频率及宽度随软体层填充率变化曲线见图6。可知，随着软体层填充率（W）的减小，带隙边界频率及宽度先快速下降，在W= 80%时突变成缓慢下降。以带隙宽度为例，当W＞ 80%时，拟合直线斜率为0.081 6；当W＜ 80%时，拟合直线斜率为0.033 5，前者斜率约为后者的2.5倍。这说明填充率越低越容易实现对带隙频率的精确控制，同时说明“低频”与“宽带”不可兼得，开展低频衰减域拓宽研究极为必要。

图6 带隙边界及宽度随软体层填充率变化曲线

如图6所示，当频率f= 10 Hz时，W约为84%。因此，为满足10 Hz以下的低频隔振，该结构软体层填充率必须小于84%。不同软体层填充率下带隙边界频率及宽度见表2。可知，W在35% ～ 85%时，带隙频率范围为1.953 ～ 10.312 Hz，约占0 ～ 10 Hz频域的80%。因此，理论上，只要合理配置不同填充率下的多层填充桩，即可满足大部分低频轨道交通隔振需求。

表2 不同软体层填充率下带隙边界及宽度

3 频域分析

6排桩基隔振计算模型见图7，模型上下边界为周期性边界，模型右边界为低反射边界。振源设立于模型左边界，周期排桩设立于振源与被保护区中间。用参照线B和A分别监测有无排桩时的振动位移，通过定义频率响应函数（FFRF）来衡量振动衰减大小，单位：dB。即

图7 有限排桩频率响应计算模型

3.1 桩基排数N影响

以截面带孔型软体层结构为例，在软体层填充率W= 80%时，研究桩基不同排数（N）下的隔振效果，见图8。图中Ω表示衰减域。

图8 不同排数下频率响应曲线

由图8可知，当排桩数量N= 1 ～ 6时，相对于纯土，有排桩的情况都产生了衰减域，且排桩数量越多，衰减域越宽，振动衰减效果越好。以响应函数FFRF=-20 dB作为振动衰减限值，则当N≥ 3时，衰减域为6.75 Hz ＜ Ω ＜ 9.10 Hz。这与表2中周期排桩计算的带隙范围6.885～9.115 Hz基本吻合，相互验证了求解的正确性，同时说明如果想获得较好的隔振效果，至少要布置3排桩基，这与既有研究结论一致［8，12-13，19］。

3.2 衰减域平稳拓宽方法

如图8所示，当N≥ 3时，随着排桩数量增加，频率响应曲线向下移动，呈沟槽形，其中衰减域中心区域，约占总衰减域的1/3范围，即f≈ 7.4～8.2 Hz，下降最明显。定义衰减域中心1/3频率范围为中心频段。中心频段外的衰减域亦有衰减性，但衰减效果受排桩数量影响非常大，尤其是靠近衰减域边界的区域，几乎只有无限排桩（N→+∞）才有明显衰减效果。由于中心频段范围振动衰减最为明显，因此推测当采用有限排桩组合隔振时，只需满足各类排桩中心频段连续，即可平稳拓宽衰减域。

软体层填充率60% ≤W≤ 80%时中心频段见表3。其中f′UBF和f′LBF分别是中心频段的上下边界频率。可知，当W以5%的增长速率从60%增至80%时，上一桩基的上边界频率f′UBF与下一桩基的下边界频率f′LBF接近。因此以W= 5%为增长梯度时，60% ≤W≤80%区间相邻两桩基中心频段连续。

表3 不同软体层填充率下衰减域中心频段

排桩组合方案见表4。在排桩数量N= 6时，设置8种研究方案。其中方案1为对照组，只包含一类桩，方案2—方案5为二类桩组合，方案6—方案8为三类桩组合。根据连续性假设可知，方案1、方案5、方案8中心频段连续，其余方案不连续。以x和xˉ分别代表二类桩和三类桩中心频段不连续程度，x或xˉ数量越多表示越不连续。

表4 排桩组合方案

不同方案下频率响应曲线见图9。

图9 不同排桩组合方案下频率响应曲线

由图9（a）可知，当中心频段不连续时（方案2—方案4），衰减域中心段出现大幅度锯齿回弹或隆起现象，且该现象随中心频段不连续性增加而愈加明显，说明此时衰减域不能平稳过渡，桩基组合效果较差。当中心频率连续时（方案5），衰减域中心段只有小幅度锯齿回弹，外形与单类排桩情况相似（参见图8），整体呈沟槽形，说明此时衰减域能平稳过渡，桩基组合效果较好。

由图9（b）可知：当中心频段连续时（方案8），相比不连续情况（方案6—方案7）衰减域过渡性更好，此结论和二类桩情况一致，进一步证明基于中心频段连续性评价衰减域过渡效果的合理性。相比二类桩组合的情况，三类桩组合时衰减域整体过渡效果更好。以方案2和方案6为例，方案2衰减域中心出现了大范围的隆起和锯齿回弹区，而方案6衰减域中心只出现两个相对较小的锯齿回弹区。虽然方案2和方案6排桩数量相同，且组合排桩填充率W均介于60% ～ 80%，但方案6增加了W= 70%的两根过渡桩基，使得中心频段过渡性更好，因而衰减域过渡更平稳。

由图9（c）可知：随着桩基种类增多，响应函数FFRF增大，衰减域向低频移动且跨度越来越宽。表5为不同方案下各FFRF限值对应衰减域宽度。可知，当FFRF=-20 dB和-40 dB时，方案8衰减域最宽，方案1最窄；当FFRF= -60 dB时，方案5衰减域最宽，方案1最窄。说明相比单类桩（方案1），组合排桩的形式可以拓宽衰减域，且组合排桩类型越多衰减域越宽。

表5 不同方案下各FFRF限值对应衰减域宽度

4 时域分析

根据文献［20］，当列车以380 km/h速度行驶时，距离路基30 m之外的地面，其振动频率主要分布在5～9 Hz。本文以6.0、6.5、7.0、7.5、8.0、8.5 Hz为例，通过构建多频率振动函数［Y（t）］来研究组合排桩隔振性［4］，即

根据3.2节研究，当选择方案8进行排桩组合时，在5.5～9.0 Hz内形成衰减域。因此以方案8包含本次隔振的所有频率，选择对应的排桩组合方式开展隔振时域分析。不同时刻振动位移见图10。

图10 不同时刻振动位移

由图10可知：随着时间增长，入射波从模型左侧激发，并传至排桩隔振区域。在排桩共振作用下，产生了反射波和透射波。从不同时刻振动位移分布可知，当入射波进入排桩区域时，前3排桩发生了强烈共振现象，从而阻断了振动波传播，再次表明前3排桩基是共振隔振的关键。入射波被阻隔后产生了较多反射波，只有少部分振动穿过排桩区域，这是产生隔振效果的根本原因，同时说明组合隔振方式可以对宽频振动产生较好的隔振效果。

5 结论

1）降低软体层填充率可使周期性多层填充桩产生10 Hz以下的低频带隙，且随着软体层填充率降低，带隙频率先快速下降，在软体层填充率为80%左右时改为缓慢下降。

2）当多类排桩中心频段连续时，组合排桩频率响应曲线和单类排桩情况相似，呈沟槽形，衰减域可以平稳拓宽，且组合排桩种类越多衰减域越宽。

3）采用组合排桩隔振时，前3排桩基共振现象最明显。入射波与排桩相互作用后产生了较多反射波，是排桩隔振的根本原因。