小学数学模型意识培养常态化实施的研究

赵世龙

【摘 要】模型意识的培养以模型建构教学为载体，贯穿于整个小学数学教学之中。深刻领悟模型意识培养的核心价值，科学划分模型意识发展的基本阶段，深入探索模型建构的流程、模式及模型意识培养的有效策略，有助于实现模型意识培养的常态化实施，促进核心素养的融合发展及数学教育目标的达成。

【关键词】模型意识；模型建构；核心素养；一般策略

核心素养具有整体性、一致性和阶段性［1］7。模型意识作为小学阶段核心素养的重要内容之一，是沟通其他核心素养的桥梁和纽带。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022版新课标”）依据学段将模型思想这一核心素养细化为模型意识和模型观念两个层级，为模型思想的科学培养指明了方向，也提出了亟待深入研究的实践课题。本文从理论和实践两个层面提出模型意识培养常态化实施的理论架构和可操作的教学技术路线，为广大教师提供一些参考。

一、模型意识培养的核心价值

深刻领悟模型意识的内涵及其培养价值是积极主动、科学有效开展模型意识培养的前提。任何脱离事物联系的内涵解读和价值评判都是片面的。只有运用系统论的方法厘清数学模型、数学模式、模型思想、模型意识的意义及相互关系，才能真正把握模型意识的本质及培养价值。

（一）科学领悟模型意识的内涵

数学模型是用数学语言概括或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。［2］广义地讲，数学模型就是为解决现实生活中的问题而建立的数学概念、公式、定义、定理、法则、规律、性质、数量关系式、图形、图表、程序等。［3］从狭义上讲，数学模型是指反映特定问题或事物关系的数学结构，如小学的植树问题、烙饼问题、抽屉原理、鸡兔同笼问题等。可以说，几乎所有的数学知识、数学基本思想方法都是数学模型。

我国著名数学家徐利治先生认为，数学模式是按照某种理想化的要求来反映或概括地表现一类或一种事物关系结构的数学形式［4］。数学模式与数学模型具有相似性。数学模式是对数学模型的进一步抽象，数学模型是数学模式的具体表达。

2022版新课标明确了模型意识的内涵，即模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。同时，要求学生知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。模型意识有助于开展跨学科主题学习，增强对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。［1］10

（二）深刻把握模型意识的培养价值

数学模型在数学中兼具多重要素和角色。数学模型是数学的基本知识，也是数学的语言，更是模型思想的基础及数学的本体所在。数学研究、数学学习、数学应用等数学活动都离不开模型建构。因此，从本质上讲，每一节数学课都是模型建构的教学。开展模型建构教学可以有效整合“四基”，沟通“四能”，统整“三会”核心素养，实现数学教学的提质增效。

模型意识的提出不是淡化和虚化模型思想在小学阶段核心素养中的地位和价值，而是进一步使之走细、走深、走实，更好地发挥其在核心素养中的枢纽作用。因此，教师要高度重视模型意识的常态化和科学化培养，将其作为一个重要的课题进行长期深入地探索、实践、研究，不断提高模型意识的教育水平，促进模型意识与其他核心素养的融合发展。

二、模型意识发展的几个基本阶段

模型意识的发展遵循核心素养发展的阶段性规律。欲实现模型意识培养的常态化实施，必须科学划分模型意识发展的阶段。笔者依据学生对数学模型普适性的粗犷式感知、精细化体验、系统性整合、灵活性应用的螺旋渐进式进阶顺序，将模型意识划分为以下几个发展阶段。

（一）模型普适性的初步感知

模型普适性的初步感知是指学生在模型建构之初形成的关于模型建构过程及模型的抽象化、结构化特征的初步印象。此阶段中，学生在教师的引导下经历操作、实验、探究、分析、归纳等模型建构过程，初步掌握模型的意义和特征，并尝试将其运用于同类实例之中，初步了解模型可以用于解决一类问题。

（二）模型普适性的精细化分类

模型普适性的精细化分类是指学生在模型普适性初步感知的基础上，对各个模型进行细化分类，提炼出具体模型类别，以此提高模型识别和解决问题的效率。如在乘法模型建构之初，学生并未对其进行细化分类。进入第二学段，学生在教师的引导下，将乘法模型按照解决问题类型细化为购物问题、行程问题、工程问题等具体的乘法模型。这种精细化分类有助于学生快速识别问题类别，高效套用相关模型进行分析解答，发展模型、推理及应用意识。

（三）模型普适性的统整化提升

在模型精细化分类认知的基础上，对其做进一步的形式化抽象，得到一般化的数学模型，即模型普适性的统整化提升。如将乘法模型抽象为ab=c、用字母表示数量关系及变化规律等，这是从算术模型逐步向代数模型跃迁的阶段。此时，学生对模型本质的认识更深，认知结构的层级更高，分析、解决问题的洞察力和敏感度更强，符号、模型、推理、应用等意识进一步融合发展。

（四）模型观念的萌芽

学生在参与综合实践活动过程中，有了自主建构数学模型的需要，在教师的引导下尝试自主建模，综合应用所学知识解决问题，此时模型意识的发展进入了最高阶段——模型观念的萌芽。

三、模型建构的一般流程

模型意識的培养始于模型建构。把握模型建构的一般流程有助于高效开展模型建构教学，实现模型意识的常态化培养。模型建构遵循着科学发现的一般规律。基于此，笔者归纳并提炼了模型建构的一般流程，具体如图1所示。

如对于“有余数除法”，教师可以依据上述数学模型建构的一般流程进行教学。首先，教师引导学生按照要求摆三角形，有两种情况，一种是正好摆完，没有剩余；另一种是不能正好摆完，有剩余。然后，教师引导学生对拼摆过程和结果进行描述、比较、分类、抽象、提炼，从而建立有余数除法的描述性概念模型（如图2）。图2右侧拼摆结果记作：10[÷]3=3（个）……1（根）。我们将这样的除法叫作有余数除法。最后，教师让学生举例说明有余数除法，以此巩固这一模型。

上面的建模过程是操作描述式的归纳推理建构过程，不涉及提出猜想及验证和修改猜想，而在建构余数模型中则要完整体现前述模型建构的一般流程（如图3）。

在拼摆的过程中，教师需要引导学生操作并思考。首先，用8根小棒摆正方形，每4根摆1个，可以摆2个，猜想用9根小棒摆正方形可以摆几个？学生操作后得出9根小棒可以摆2个正方形还余1根（研究事例）。接着，依次用10根、11根小棒摆正方形并猜测余数（提出猜想）。当学生形成类推——余数会依次增加1之后（建立初步的猜想模型——当然这是一个错误的模型），重点让学生直接猜想用12根和13根小棒摆正方形的余数。大多数学生可能会猜测余数分别为4、5（初步运用模型）。然后，学生通过实际拼摆验证，发现余数并非4和5，而是没有余数和余数是1（发现矛盾）。此时，教师可以让学生思考：余数为什么没有继续增加，而是重新经历没有余数及余数分别为1、2、3呢？从而建立起“余数必须小于除数”的余数模型（重新提出猜想）。最后，教师让学生依次用14根、15根、16根、17根小棒进行拼摆，验证余数会随着被除数的递增或递减而发生变化，但是余数始终在1、2、3（比除数小1的数）之间依次循环（检验并论证猜想），这样就建立了正确的余数模型。有了余数模型，可以判断除法运算中每一步运算是否正确，这就是余数模型的基础应用。在建模的过程中，学生的推理意识、符号意识、科学精神都得到相应地发展，模型意识也得到很好地落实。

四、模型建构的一般模式

模型建构的过程即观察、操作、计算、分析、综合、抽象、推理、验证、论证的过程。模型建构过程的核心是推理，推理有两种基本形式，因此，模型建构也相应地有两种基本模式。

（一）归纳推理建构

小学数学的大多数模型均遵循模型建构的一般流程，通过操作、描述、抽象、归纳的方式进行归纳推理建构，如数与运算的意义、运算法则、数量关系、探索规律等。

（二）演绎推理建构

有了上位模型，要建立同级或者下位模型时多会采用转化、类比方式，进行演绎推理建构。如依据三角形面积公式推导方法类推梯形面积公式，依据圆的面积公式推导方法类推圆柱的体积公式，依据正比例模型类推反比例等。

五、模型意识培养的一般策略

模型意识的四个发展阶段及模型建构的一般流程和一般模式，向我们揭示了模型意识培养的实践路径：在模型建构中感知模型的抽象性、迁移性，体验模型与现实世界的内在联系；在解决问题的数学实践中感悟模型的普适性，学习用模型的眼光观察现实生活，用模型的思维解决现实问题；在主题活动、项目学习等综合建模实践中，积累建模经验，认识模型应用的广泛性。模型意识的培养需要遵循科学的实践路径，更需要有效的教学策略做支撑。教师要善于选择和恰当运用模型意识培养的有效策略，以达到事半功倍的教学效果。

（一）情境创设策略

数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件，是一种优化了的学科教学环境。它包含相关数学知识和数学思想方法，同时也是数学知识产生的背景。［5］数学模型是沟通现实世界和数学的桥梁，是数学应用的基本途径。模型的建构与应用和现实情境密切相关，因此，情境创设策略是模型意识培养的首要策略。

1.创设真实情境，感知概念模型的抽象过程

建构主义认为，学习需在与现实情况基本一致的情境中发生。真实情况不仅拥有认知意义，而且更在于真实情境最接近学生生活体验，最易从中发现问题，也最能调动学生全部的感受力及已有的认知经验来探讨问题。因此，教学有必要向学生呈现与当前学习主题相关的真实情境。［6］

小学数学概念的原型多来自现实情境。现行教材为概念模型的建构提供了生活化、结构化的情境。如何有效利用这些情境，是成功建模的关键。首先，教师要用模型的眼光观察、研究教材的情境资源，深透把握知识结构及模型本质。其次，教师要遵循学生的认知规律，设计体现教材意图的建模活动，采取恰当的教学策略，让学生经历从具体到表象再到抽象的“真探索、真研究”的建模过程。最后，把已建模型迁移到其他情境之中，感悟模型的普适性。

2.创设操作情境，领悟运算模型的提炼过程

直观操作普遍应用于加减法的算法探究。教师可以让学生借助小棒、圆片等学具，依据运算意义，对运算对象进行有序地分或合的操作（推理）活动，引导学生对有序推理过程做进一步的提炼概括，得到可供迁移的算法模型。如在学习长方形面积、圆的周长、圆锥体积等内容时，教师可以创设实验操作情境，引导学生观察想象、设计操作、计算推理，探索相关因素间的数量关系，从而成功建构相应的计算公式模型。

3.创设典型情境，体验原型启发的抽象策略

原型启发指的是人们在解决问题的过程中，从某种事物与待解决问题之间的某些共同点或相似处看出解决问题的途径的思维方法。［7］原型事物与待解决的问题虽然情境不同，但是有着相同的关系结构，这是原型启发的必备条件。

创设与模型结构特征相同的典型情境，有助于启发学生依据情境结构快速发现和抽提模型结构。如借助付整找零的典型情境建构加减法速算模型，借助工人师傅用绳子画圆的原型情境探索圆规画圆的作法。教师要善于将数学教学与现实生活联系起来，发掘典型的生活情境，引导学生将生活原型上升為数学模型，以此提升学生对模型的理解与运用能力，使学生学会用数学的眼光观察和研究现实世界，用数学的思维思考现实世界，获得建模的成功体验，积累建模活动经验。

4.创设跨学科综合实践情境，增强应用意识

开展跨学科综合实践活动，有助于丰富学生的数学活动经验，增强学生对数学的应用意识，奠定模型观念的经验基础。教师要结合教材提供的综合实践活动主题或项目，科学设计，大胆放手，引导学生开展建模活动，充分发挥学生的主体作用。同时，教师要做好必要的指导，让学生积极参与跨学科解决问题的全过程，形成和发展核心素养。另外，教师要恰当选取具有一定开放性的主题，对于任务设置要突出问题意识，对于问题设置要做到指向明确、范围适宜、难易适中。［8］

（二）挖掘本质策略

数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系。［1］6挖掘本质策略旨在引导学生探寻数学现象的根源所在，研深悟透模型本质，提升模型迁移能力。

1.叩问本质，探寻模型迁移之源

提问是思维的开关，好的提问能够激发学生快速进入积极的思考状态。抓住本质的提问能直击事物关键，提高思维的效率。例如，在教学加法交换律时，教师可以先提问：“交换加数的位置，为什么和不变？”再引导学生通过深度探究，明确加数交换前后合并的对象没有改变，只改变了合并的顺序，也就是仅仅改变计数单位的累加顺序，因此和不变。

2.勘误纠偏，筑牢模型迁移之基

由于经验误导或认识不足，学生对概念的认知往往存在某种错误或偏差，从而影响模型的迁移，因此，教师要能对此进行有效预判并相机勘校。例如，学习有余数除法简算时，学生由于盲目类推，误认为商不变余数也不变。这时，教师有必要引领学生探明余数之来源，对其进行倍数还原。

3.辨析概念，厘清相近模型之别

有些概念的内涵相近或外延交叉，只有辨析其异同，在概念迁移时才不会犯错。如奇数与质数、数位与位数、分数与比等。概念辨析时，教师要引导学生从概念的内涵和外延两个层面比较它们的异同。例如，分数可以表示具体的数，还可以表示两个量之间的倍比关系、除法关系、除的结果、比或比值。两个数相除又叫作两个数的比，比同样可以表示数量之间的倍比关系。从内涵的表述上看，比的意义包含在分数的意义之中。但是从外延看，二者又有所不同，比可以表示多个量之间的倍比关系，分数则不能。

（三）变式运用策略

变式运用是通过改变问题的非本质属性，以突出其本质规律，训练学生举一反三、触类旁通的模型迁移能力。常用的变式运用策略有三种。一是变情境。教师通过一个模型多种情境的变式，让学生在变与不变中掌握模型的结构特征，提升模型的运用能力。如将相遇模型用于不同的行走、工程问题情境之中。二是变问题。同样是相遇模型，教师可以编制求相遇时间、相遇距离、行驶速度等问题，训练学生的逆向思维，使学生体验模型变形的恒等性及模型应用的灵活性和普适性。三是变条件。教师可以通过条件变式设置练习，让学生巩固旧模、建构新模，发展学生的建模能力、创新能力和实践能力。如在学习了长方体、正方体的表面积之后，教师可以引导学生对长方体或正方体进行切（横切、平切、纵切）、拼（两拼、多拼）、挖（挖透、不挖透）等操作，建构表面积增量模型。

（四）循序渐进策略

循序渐进既是教学原则，也是模型意识培养的重要策略。在模型意识的培养中，教师要遵循学生的认知发展规律，采取感知渗透、体验积累、顿悟提炼的暗线操作方式，促进学生模型意识的潜在积累和自然生长。

1.循序渗透，促模型意识自然生长

教师应遵循教材体系，注重模型意识的渐进式培养。例如，加法交换律模型的建构经历了一、二年级的初步感知，三年级加法验算的实践运用，到四年级才水到渠成地提炼出形式化的加法交换律模型a+b=b+a。在此期间，学生对其普适性的认识于积累中自然生长，在运用中逐步走向成熟。

2.递次归纳，助模型意识统整提升

计数单位模型从整数扩展到小数，形成了完整的十进模型。四则运算以计数单位为操作对象，以“分与合”为操作理据，实现了算理的统一。模型在建构中发展，由特殊到一般，由单一到复合；在发展中统整，由低级到高级，由分散到整合，渐次实现了系统化、结构化。学生的模型意识也随之统整提升，模型观念在提升中萌芽。

总而言之，模型意识的培养是一个循序渐进、长期渗透的过程，切忌急于求成。教师要重视创设真实的问题情境，使数学与学生的实际生活密切联系，充分调动学生参与模型建构的积极性；重视模型建构的过程，让学生经历模型的抽象、建构、运用、反思的全过程；采取明暗双线并行策略，把模型意識的培养渗透在建模、用模、创模的过程之中。教学中，教师要努力淡化模型痕迹，不要急于固化和机械套用模型，而是让学生在感悟中理解模型，在理解中运用模型，在运用中把握模型的本质。同时，教师要注重采用循序渐进策略，让模型及模型意识自然生长、自然成熟，适时提出和定义模型，使学生豁然顿悟、柳暗花明，既收到“无模胜有模”的教学效果，又实现整体育人的目标。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］王永春.小学数学《生本学材》的理论研究与实验展望（四）：小学数学基本思想的教学［J］.小学数学教育，2020（7）：4-8.

［3］张晓刚，康慧.小学数学教学中建构数学模型的问题与对策［J］.教育理论与实践，2018（8）：57-58.

［4］吕林海.数学抽象的思辨［J］.数学教育学报，2001（4）：59-62.

［5］栾庆芳，朱家生.数学情境教学研究综述［J］.数学教学通讯（中教版），2006（3）：1-4.

［6］朱德全，宋乃庆.建构主义的全息性概念与数学经验性教学模式［J］.中国教育学刊，2003（5）：40-42.

［7］肖冬森.原型启发在数学教学中的应用与思考［J］.数学教学通讯（教师版），2009（3）：37-38.

［8］曹一鸣，汤牧文.数学跨学科主题学习设计与实施中需要关注的几个问题［J］.中小学课堂教学研究，2023（4）：1-3，65.