凸显角本质的学习路径研究：初识角的概念

巩子坤 许佳敏 张芳铭 黄旭冉

【摘 要】角是学生认识几何图形的起点，但教材与教学关注较多的是不同角的性质，而不是角的本质。文章提出凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学，并展示第一课时“初识角的概念”。研究者通过教学实践与研讨，得到完善的学习路径：基于现实角，抽象出图形角；通过分类，探索角的特征，得到数学角；通过创造角，理解角的特征。由此提出教学建议：借助分类，初识角的概念；动手创造角，直观感知角的特征。

【关键词】角；角的本质；角的概念；学习路径

一、研究缘起

角是组成几何图形的基本要素之一。人教版数学教材将角的认识分为两个阶段。第一阶段为二年级上册“角的初步认识”。首先，学生通过生活情境直观认识有“尖尖的顶点、直直的边”的图形是角。其次，学生从生活中抽象出“直直的角”是直角，并用直角比一比，知道比直角小的是锐角，比直角大的是钝角。第二阶段为四年级上册“角的度量”。首先，学生在认识线段、射线、直线的基础上学习角的描述性定义，即从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。其次，学生通过比较角的大小的任务，引出度量角的单位——度，以及度量角的工具——量角器，学习如何度量角。最后，学生根据角的动态定义（角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形）学习平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。整个逻辑看似层层递进，实则忽视了非常重要的问题：什么是角的大小？怎样比较角的大小？是边更长，还是覆盖面积更大？量角器是在度量角的什么？为什么使用大小不同的量角器度量出的角的大小是相同的？这些都是困扰学生但教材未解释的问题。究其原因，是教材未讲明角的本质是什么。

何谓角的本质？欧几里得认为，平面角是一个平面上两条线之间的倾斜，它们相交且不在一条直线上。［1］我们对这个说法做了通俗的解释，认为角的本质是一条直线相对于另一条直线的倾斜度。［2］但倾斜度对于学生而言不易理解，要让学生在初次学习角时就理解角的本质，则需要找到一种能使倾斜度直观呈现的外显方式。

江春莲提出，如果从角的本质来说，“张开度”则更为关键。研究角的目的不是研究它的边，而是研究张开度。［2］角的动态定义中虽然没有提及张开度，但暗含了“转动的多少”，而射线绕端点转动的动态过程，就是形成张开度的过程，也就是产生倾斜度的过程。相比于倾斜度和张开度，“转动的多少”不仅更加形象直观，而且与之后要学习的弧度制有异曲同工之处（弧度制本质上就是用转动生成的弧长来度量角的大小），贯穿了角学习的始终。因此，“转动的多少”可以尝试作为角本质外显的呈现方式。

为初步了解学生对角本质的理解情况，笔者对6名二年级学生进行单元前测及访谈。学生需要判断正方形的四个角是否相等，以及沿折痕剪下来后，四个角是否仍然相等（如图1）。测试与访谈的结果显示：在未剪下角时，所有学生都认为四个角相等；沿折痕剪下角后，仅有1名学生坚持认为四个角相等，并能说出理由，其他学生因为角的“边长”、覆盖的“面积”发生变化而改变了答案。由此可以发现，学生对角本质的认识比较模糊，容易受边长的长短、覆盖面积的大小等非本质因素的影响，需要教师的引导。

随后，教师让学生任意画一个角或几个角，发现有4名学生借助三角尺，把三角尺的角描了下来（如图2）。可以发现，学生对角的认识只停留在现实生活中的角，无法从中抽象出数学中的角，因此才会在利用三角尺画角时保留三角尺上因磨损而出现的“圆圆的顶点”。故学生在对角本质进行认识之前，需要先经历从现实世界到数学世界的过程，理解角的特征，初识角的概念。

综上，本研究提出凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学，共分为“初识角的概念”“体验、认识角本质”“巩固、运用角本质”三个课时。本文研究第一课时“初识角的概念”，要解决的问题为：“初识角的概念”学习路径中的关键任务是什么？与原教材相比，该路径在帮助学生理解角的概念上的效果如何？

二、研究设计

（一）研究对象

选取YH小学二年级的甲、乙两个班作为教学班，两个班各有30名学生，班级总体水平一致，由教师A按照本研究设计的学习路径进行备课、授課。

（二）研究流程

学习路径优化、完善的具体流程如图3所示。

（三）问卷及数据处理

后测题目一共有5道小题，要求学生判断给出的图形是否为角，并说明理由（如图4）。后测题目主要考查学生对角的概念中“两条边是否搭牢”“尖尖的顶点”“直直的边”等概念是否已经掌握。

教师对学生的作答情况进行赋分，判断正确并能说出理由记2分，判断正确但不能说明理由记1分，判断错误记0分，最后统计总分。

三、研究结果与分析

（一）学习路径的设计与实施

为探究得到完善的学习路径，本研究经历了三次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨。由于篇幅有限，只呈现在乙班开展的优化的学习路径A2（如图5）。

任务1：经历现实角到图形角的过渡

教师先从生活中的角入手，询问学生现实生活中有哪些角，学生的回答只要满足角的特征即可。随后，教师呈现生活中角的图片，让学生找出其中的角，并描一描。由此，教师带领学生经历从现实角到图形角的过渡，为下一个环节——角的分类做铺垫。

任务2：通过分类，探索角的特征

教师呈现任务1中学生描出来的“角”（如图6），让学生圈一圈、勾一勾，将“角”进行分类，并引导学生说明分类的依据。教师在呈现分类情况、归纳角的特征时，要兼顾“两边是否是直的”“两边是否搭牢”两个标准，归纳出角的特征：有一个尖尖的顶点和两条直直的边，从而帮助学生初步建立对角的认识。以下是部分课堂实录。

师：我们把图形分成①②③④、⑤⑥⑦、⑧三类，因为①②③④都是直的，⑤⑥⑦都是弯的，⑧虽然也是直的，但中间没有搭牢，单独分为一类。像①②③④这样的角，就是我们数学中要学习的角。你能说一说它们有什么共同点吗？

生：它们的边都是直直的，而且都搭牢了。

师：那么这个搭牢的地方，它有什么特点呢？

生：它是尖尖的。

师：这个尖尖的地方我们叫作顶点。像这样，有一个尖尖的顶点和两条直直的边的图形，就是数学中的角。

任务3：通过创造角，理解角的特征

在学生初识角的概念之后，教师提供毛线、小棒和圆纸片等材料，让学生任意选取材料创造角，并指出该角的顶点和边。学生通过动手操作，积累活动经验，加深了对角的概念的认识。在学生展示环节，教师首先引导学生回忆创造角的过程，然后根据学生选择的材料特点有针对性地进行提问，引导学生意识到毛线需要拉直才能创造出两条直直的边，而将两根毛线都拉直且一端要搭牢则需要借助三颗图钉。以下是部分课堂实录。

师：请选择毛线的同学来说一说，你是怎么做的？用了几颗图钉？

生：我先在泡沫板上钉一颗图钉，让毛线绕过这颗图钉，这样就变成了两条线，然后再用两颗图钉分别固定这两条线，一共用了三颗图钉（如图7）。

师：这些图钉有什么作用？

生：（指向固定一条边的图钉）如果没有图钉，那么这里的边就不直。

师：还有什么作用吗？

生：左边这个图钉可以作为角的顶点。

师：你觉得这两根毛线做的都是角吗？

生：（指向右边的角）这个不是，它的边要是再直一点就是了。

师：怎么再直一点呢？

生：使劲拉一下，让毛线绷紧。

（二）学习路径的教学效果与分析

在优化的学习路径A2实施后，对乙班进行后测，并将甲、乙两个班的后测结果进行比较，得分情况如图8所示。

比较甲、乙两个班的成绩，发现T2和T5的正确率得到提升，特别是T5的提升幅度较大。对甲、乙两个班学生的后测得分进行独立样本t检验。通过分析整体得分情况，发现乙班学生的正确率优于甲班，他们对角的概念的认识更加深刻；通过分析T1、T3、T4的得分情况，发现甲、乙两个班的学生对角的概念已经具备了初步的认识——有两条直直的边，并且两条边需要搭牢；通过比较T2的得分情况，发现甲、乙两个班并不存在显著差异，说明两个班的学生均能意识到角需要尖尖的顶点，而乙班的得分率高于甲班，说明乙班的学生对角的概念的认识更全面、更深刻；通过比较T5的得分情况，发现乙班的学生不仅能判断出该图形为角，还能准确说出该图形存在三个角（如图9）。以上说明优化的学习路径A2有利于加强学生对角的概念的认识。

结合以下访谈结果（F表示访谈者，S表示学生），发现大部分学生对角的概念已经具有初步的认识。

F：你怎么判断一个图形是角呢？

S1：看它有没有尖尖的顶点把两条直直的边连起来。

S2：有两条直直的边，它们需要搭牢，还有一个尖尖的顶点。

结合后测得分率与学生访谈结果，发现优化的学习路径A2能有效帮助学生更好地建立对角的概念的认识。

当然，优化的学习路径A2也存在可完善之处，即在任务3中，学生还可以使用小棒来创造角。用小棒来创造角的特点是，两根小棒代表角的两条直直的边，并且两根小棒一定要搭牢才能形成尖尖的顶点。因此，这是带领学生直观感知角的特征的一个良好载体。但由于时间限制，教师没有让学生展示用小棒创造的角，因此也没有让学生体会其中的思想。

由于实施优化的学习路径A2在很大程度上满足了预期的学习目标，且最终完善的学习路径A3与A2相差不大，故不再详述。

四、结论与建议

本研究通过三次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨，最终得到了完善的“初识角的概念”学习路径A3，即先基于现实角，抽象出图形角，再通过分类，探索角的特征，得到数学角，最后通过创造角，理解角的特征。其中的关键学习任务是对角的分类与描述，学生通过该任务得到角的特征。研究表明，与教材中的学习路径相比，本研究设计的学习路径能更好地帮助学生初识角的概念，为理解角的本质打好基础。因此，笔者对教学提出如下建议。

（一）借助分类，初识角的概念

史宁中指出，学习图形要经历分类的过程。通过分类，找到本质；基于本质，分辨角。分類的过程就是观察的过程，对于二年级学生来说，通过直接观察进行分类是容易的，但阐述分类依据比较困难，这是因为学生的分类标准更多依靠“直观感觉”，而不是数学特征。因此，教师要引导学生用自己的语言概括分类标准，描述图形的特征，这是学生用数学的语言表达世界的过程。如“搭牢”“直直的”等词，就是学生从具体到抽象、从现实世界走向数学世界较好的脚手架与固着点。

（二）动手创造角，直观感知角的特征

为学生提供毛线、小棒等材料，让学生动手创造角，这个过程是学生将自己所理解的角的特征进行具体呈现。其中，毛线还含有数学思想，用它来创造角的过程渗透了两个知识点：一是两点确定一条直线，因此需要用三颗图钉来固定两条直线（一点重合，作为顶点，另两点固定，线拉直）；二是绷紧了才是直直的。这些看似基础的概念性知识，事实上都是学生认知发展中根本的、具有生长性的知识，更需要让学生去深刻体会。

参考文献：

［1］欧几里得.几何原本［M］.张卜天，译.北京：商务印书馆，2020.

［2］巩子坤，江春莲，张奠宙.把握线、角的本质，沟通线、角的联系［J］.教育视界，2018（12）：4-7.

（责任编辑：罗小荧）

【作者简介】巩子坤，教授，博士生导师，主要研究方向为基础教育数学课程改革的理论与实践；许佳敏，中学数学教师，主要研究方向为数学课堂教学；张芳铭，在读硕士研究生，主要研究方向为数学教育；黄旭冉，小学数学教师，主要研究方向为数学教育。

【基金项目】2023年度浙江省哲学社会科学规划课题“基于认知发展模型的义务教育教科书编写质量提升研究”（23NDJC265YB）；2021—2022年度浙江省高校重大人文社科攻关计划项目“建设高质量教育体系背景下义务教育教科书编写质量提升路径研究”（2023GH005）