基于多导体回路法的AT 供电方式长回路电容计算方法研究

邓云川，鲁小兵

0 引言

电荷是空间电场产生的源，电流（移动电荷）则是空间磁场产生的根本，多导体传输线系统空间电场描述的完备性和准确性取决于是否能够准确反映空间诸多电荷中任一电荷位置和大小变化对电场描述结果的影响[1-3]。目前普遍采用以参考导体为基础进行多导体传输线系统空间电场描述的方法，参考导体和主导体的选择具有一定的随机性，基本空间电场单元缺乏与电荷相联系的严格物理意义，因此，对于基本空间电场单元的电场描述并不能直接反映空间诸多电荷中任一电荷位置和大小变化的影响，降低了多导体传输线系统空间电场描述的完备性和准确性。

为了实现诸如牵引供电系统的多导体传输线系统空间电场的准确描述，本文提出将复杂多导体传输线系统中的导体按照传输和回流功能进行分类，再由参与传输和回流的不同导体两两构建回路，以物理意义上与电荷唯一对应的回路作为基本空间电场单元，开展多导体传输线系统空间电场描述，即多导体回路法。

在电源系统提供稳定电势且不考虑外部其他系统在本系统中产生电磁场的情况下，多导体传输线系统中各回路电荷具有唯一性，参与构成回路的两导体（传输导体和回流导体）所承载的回路电荷相等、极性相反。需强调的是，回路电荷与导体上总电荷并不是一个概念，一个导体可以参与多个回路的构成，因此，导体上总电荷等于参与构建回路的电荷之和。以回路为基本单元，能够实现空间电场描述的完备性和准确性。多导体回路法同样适用于多导体传输线系统空间磁场分析，基于多导体回路法，本文对牵引网阻抗计算、空间电磁场分布、牵引网综合载流能力、钢轨电位和电流分布、带回流线直接供电方式综合电容计算等进行深入研究。电容作为电能传输系统重要的电气参数，是电能传输系统空间电场描述的基本参数，也是开展系统暂态过电压、谐振等问题分析和研究的基础[4-9]。本文在前期工作基础上，分别从电流方向角度出发、以接触网为传输导体和以负荷电流角度出发、以接触网及正馈线为传输导体2 种不同方案，构建AT供电方式回路，列写各回路自电位系数和互电位系数方程，进而得出基于多导体回路法的电位系数矩阵，并根据长回路电位关系完成电荷分布精确计算，进而推导出AT 供电方式长回路等效电容。

1 AT 供电方式

1.1 AT 供电方式牵引网结构

AT 供电方式（自耦变压器供电方式）牵引网结构如图1 所示。自耦变压器（Auto-Transformer）是一种电力变压器，AT 供电方式在供电区间内通常每间隔10～15 km 设置1 台自耦变压器，将其中性点与钢轨相连且并联于牵引网中，使得牵引网的供电电压提高1 倍，可有效提高供电能力，减少沿线设置的牵引变电所数量，减少电气化铁路外部电源的工程投资。

图1 AT 供电方式的牵引网结构

AT 供电方式下的导体网络由与电力机车受电弓接触的T 线（包括接触线JW 和承力索CW）、FW 线（正馈线）、R（钢轨）以及与R 直接联系的E（大地）、PW 线（保护线）、EW 线（贯通综合地线）等导体构成，其中T 线与牵引变压器和区间自耦变压器的正极性端子连接，FW 线与牵引变压器和区间自耦变压器的负极性端子连接，R、E、PW 线、EW 线等相互连接并与牵引变压器和区间自耦变压器的N（中性点）连接。AT 供电方式下由于回路中T线和FW线的牵引负荷电流大小基本相等且方向相反，因而减小对沿线通信线路的干扰，具有较好的防干扰效果。设置PW 线的目的是避免将接触网支柱的接地装置直接与R 相连，从而提高信号系统轨道电路工作的可靠性，同时由于PW线与R 并联，对经R 回流的电流起到了分流作用，因此可有效抑制钢轨电位。为了缓解因电力机车过电分相时短时断电而导致减速，减少牵引网电压损失和电能损失，减小线路阻抗延长供电距离，降低对铁路沿线通信线路的干扰，我国高速及重载铁路牵引供电系统大量采用AT 供电方式。需要进一步说明的是，我国高速铁路还设置了EW 线（贯通综合地线），为高速铁路各个系统提供了一个统一的“地”，用以实现各系统的等电位，以解决各系统之间的电磁兼容问题。

1.2 AT 供电方式回路组成

对于多导体传输线系统，其传输导体和回流导体可分别由多个导体构成。如图1 所示，对于牵引供电系统AT 供电方式，存在3 类导体：由接触线JW 和承力索CW 构成的接触网导体，由正馈线FW构成的磁场导体和由钢轨R、大地E、保护线PW、贯通综合地线EW 构成的电场导体。通常由于接触网电流与电场导体和磁场导体电流方向相反，因此从电流方向考虑，可以以接触网为传输导体，以钢轨R、大地E、保护线PW、贯通综合地线EW 为电场回流导体，正馈线为磁场转换回流导体构建相应回路；当然，由于接触网电流与正馈线电流数量之和等于负荷电流，因此，从负荷角度考虑，也可以以接触网和正馈线这两类导体为传输导体，以钢轨R、大地E、保护线PW、贯通综合地线EW 为回流导体，构建相应回路，开展相关研究和计算。此时，需要特别强调和注意的是，接触网电流和正馈线电流方向相反。

1.3 AT 供电方式长回路和段中回路

对于AT 供电方式，通常称相邻2 台AT 变压器之间的区段为一个AT 段。图2 所示为负荷位于AT 牵引供电系统第2 个AT 段内某一位置处的电流分布。图2 中，系统由2 个AT 段构成（其中1 个AT段由牵引变压器和区间AT 所构成），当牵引负荷位于第2 个AT 段时，在简化分析和计算模型中认为第1 个AT 段中的电流仅在接触网和正馈线中流动，通常称该AT 段为长回路。但实际情况是：此时电场导体中仍然存在部分电流，这主要由传输导体与磁场转换导体以电场回流导体为轴心空间位置的不对称、传输导体和磁场回流导体参数不一致造成。对于牵引负荷所处的第2 个AT 段，从端口网络的角度出发，牵引负荷所在位置为一个双端口双边供电网络，对牵引负荷进行供电的电源来自前后两个方向。对于长回路和段中回路中的电流分布，本文给出简化计算式：

图2 负荷位于第2 个AT 段内某一位置处电流分布

式中：IT为第1 个AT 段长回路电流；IT1为第2 个AT 段牵引变电所方向接触网电流；IT2为第2 个AT段分区所方向接触网电流；IF为第2 个AT 段正馈线电流；IR1为第2 个AT 段牵引变电所方向钢轨电流；IR2为第2 个AT 段分区所方向钢轨电流；I为牵引负荷电流；X为负荷与第1 个AT 间的距离；D为第2 个AT 段长度。

2 AT 供电方式长回路等效电容计算

2.1 系统构成及回路构建

2.1.1 从电流方向角度构建回路

设置有贯通地线并采用AT 供电方式牵引网的系统结构见图3。

图3 采用AT 供电方式的牵引供电系统横截面示意图

从电流方向角度构建回路，则接触线和承力索为传输导体，钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线和大地为电场回流导体，正馈线为磁场回流导体，因此该牵引网系统为2 传输导体6 回流导体的多回路传输系统，如图4 所示。

图4 AT 供电方式系统回路构成1

如图5 所示，传输导体接触线与电场回流导体（钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线和大地）之间分别构成回路1～回路5，前4 个回路中两导体之间的距离依次为d1～d4；传输导体接触线与磁场回流导体正馈线之间构成回路6，两导体之间的距离为d6；传输导体承力索与电场回流导体（钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线和大地）之间分别构成回路7～回路11，这5 个回路中前4 个回路中两导体之间的距离依次为d7～d10；传输导体承力索线与磁场回流导体正馈线之间构成回路12，两导体之间的距离为d12。接触线、承力索、钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线和正馈线的半径依次为r1～r7。承力索与接触线、钢轨1 与钢轨2、钢轨1 与保护线、钢轨1 与贯通地线、钢轨2 与保护线、钢轨2 与贯通地线、保护线与贯通地线之间的距离分别为l12、l34、l35、l36、l45、l46、l56。

图5 AT 供电方式牵引网的传输与架空回流导体1

2.1.2 从负荷角度构建回路

若从负荷角度构建图3 所示的牵引网回路，则其中接触线和承力索以及正馈线为传输导体，钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线和大地为回流导体，因此该牵引网系统为3 传输导体5 回流导体的多回路传输系统，如图6 所示。

图6 AT 供电方式系统回路构成2

如图7 所示，传输导体接触线与回流导体（钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线和大地）之间分别构成回路1～回路5，前4 个回路中两导体之间的距离依次为d1～d4；传输导体承力索与回流导体（钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线和大地）之间分别构成回路6～回路10，前4 个回路中两导体之间的距离依次为d6～d9；传输导体正馈线与回流导体（钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线和大地）之间分别构成回路11～回路15，前4 个回路中两导体之间的距离依次为d11～d14。接触线、承力索、正馈线、钢轨1、钢轨2、保护线、贯通地线的半径分别为r1～r7。接触线与承力索、接触线与正馈线、承力索与正馈线之间的距离分别为l12、l13、l23，钢轨1 与钢轨2、钢轨1 与保护线、钢轨1 与贯通地线、钢轨2 与保护线、钢轨2 与贯通地线、保护线与贯通地线之间的距离分别为l45、l46、l47、l56、l57、l67。

图7 AT 供电方式牵引网的传输与架空回流导体2

2.2 各回路电位系数计算

2.2.1 从电流方向角度构建回路电位系数计算

根据从电流方向角度所构建的回路系统，基于空间电场分析，推导回路内自电位系数和回路间互电位系数，进而构建电位系数矩阵[10-12]。

（1）自电位系数。

以回路1 为例说明非大地回流回路的自电位系数。记pii为回路i内的自电位系数。在回路1中，假设接触线携带单位长度电荷q1（C/m），则钢轨1 携带单位长度电荷为-q1（C/m），二者共同构成基本空间电场单元，按照构成回路的两导体间电位计算式可得回路1 内的自电位系数p0101为

式中：ε为回路空间介电常数。

因此，结合图4 和图5 所示的回路编号和导体空间位置关系编号，可得回路1～回路4、回路6内的自电位系数pii（i= 01, 02, 03, 04, 06）为

为保持格式统一，等式左边角标i由两位组成，即回路1～9 前加0，回路10 不变，等式右边角标i为回路编号，后文同样处理。

回路7～回路10、回路12 内的自电位系数pii（i= 07, 08, 09, 10, 12）为

以回路5 为例说明大地回流回路的自电位系数。回路5（即接触线与大地构成的大地回流回路）中的自电位系数p0505为

式中：Dg为大地等值深度。Dg计算使用最广泛的Carson 公式[13]，即，其中：ρ为大地电阻率，Ω·m；f为频率，Hz。

同理，可得回路11 中的自电位系数p1111为

（2）互电位系数。

记pij为回路i和回路j之间的互电位系数，pij=pji。以回路1 和回路8 为例说明非大地回流回路之间的互电位系数。

在回路1（即接触线与钢轨1 组成的回路）中，假设接触线携带单位长度电荷为q1（C/m），则钢轨1 携带单位长度电荷为-q1（C/m），此时接触线在回路8（即承力索与钢轨2 组成的回路）中产生的电势Vc0108为

钢轨1 在回路8 中产生的电势Vh0108为

则回路1 在回路8 中产生的电势VZ0108为

由此，可得到回路1 在回路8 之间的单位长度互电位系数p0108为

以回路1 和回路2 的互电位系数p0102为例，非大地回流回路之间共传输导体时互电位系数为

以回路1 和回路7 的互电位系数p0107为例，非大地回流回路之间共回流导体时互电位系数为

以回路1 和回路11 的互电位系数p0111为例，非大地回流回路与大地回流回路之间互电位系数为

以回路1 和回路5 的互电位系数推导结果p0105为例，非大地回流回路与大地回流回路之间共传输回路时互电位系数为

以回路5 和回路11 的互电位系数推导结果p0511为例，大地回流回路之间的互电位系数为

2.2.2 从负荷角度构建回路电位系数计算

根据以负荷角度出发所构建的回路系统，基于空间电场分析，推导回路内自电位系数和回路间互电位系数，进而构建电位系数矩阵。

（1）自电位系数。

以回路1 为例说明非大地回流回路的自电位系数。记pii为回路i内的自电位系数。在回路1中，假设接触线携带单位长度电荷q1（C/m），则钢轨1 携带单位长度电荷为-q1（C/m），二者共同构成基本空间电场单元，按照构成回路的两导体间电位计算式可得回路1 内的自电位系数p0101为

结合图4 和图5所示的回路编号和导体空间位置关系编号，可得回路1～回路4 自电位系数pii（i= 01, 02, 03, 04）为

回路6～回路9 内的自电位系数pii（i= 06, 07,08, 09）为

同理，回路11～回路14 内的自电位系数pii（i= 11, 12, 13, 14）为

以回路5 为例，回路5（即接触线与大地构成的大地回流回路）中的自电位系数p0505为

同理，可得回路10 和15 中的自电位系数为

（2）互电位系数。

记pij为回路i和回路j之间的互电位系数，pij=pji。以回路1 和回路7 为例说明非大地回流回路之间的互电位系数。

在回路1（即接触线与钢轨1 组成的回路）中，假设接触线携带单位长度电荷为q1（C/m），则钢轨1 携带单位长度电荷为-q1（C/m），此时接触线在回路7（即承力索与钢轨2 组成的回路）中产生的电势Vc0107为

钢轨1 在回路7 中产生的电势Vh0107为

则回路1 在回路7 中产生的电势VZ0107为

由此，可得到回路1 在回路7 之间的单位长度互电位系数p0107为

以回路1 和回路2 的互电位系数p0102为例，非大地回流回路之间共传输导体时互电位系数为

以回路1 和回路6 的互电位系数p0106为例，非大地回流回路之间共回流导体时互电位系数为

以回路1 和回路10 的互电位系数p0110为例，非大地回流回路与大地回流回路之间互电位系数为

以回路1 和回路5 的互电位系数推导结果p0105为例，非大地回流回路与大地回流回路之间共传输回路时的互电位系数为

以回路5 和回路10 的互电位系数推导结果p0510为例，大地回流回路之间的互电位系数为

2.3 各回路单位长度电容矩阵计算

通过上述步骤，即可得到n= 12 维回路电位系数矩阵P，其中，pii为回路i的自电位系数，pij为回路i和回路j之间的互电位系数，pij=pji。求解电位系数矩阵的逆矩阵即可得到各回路单位长度电容矩阵C=P-1，即

式中：INV(*)表示矩阵*的逆。

3 AT 供电方式长回路单位长度电容计算

对于AT 供电方式长回路单位长度电容，可以按照空载工况进行分析和计算。由于AT 供电方式导体数量较多，存在电场回流回路和磁场回流回路，为了方便计算，采用简化模型开展相关分析推导。

3.1 从电流方向角度构建回路模型分析

简化模型结构由传输导体、电场回流导体、磁场转换导体构成，为由单个导体构成的3 导体空间，如图8 所示，系统为1 传输2 回流传输线系统，假定电场回流回路（回路编号1）电荷为q1，磁场回流回路（回路编号2）电荷为q2。

图8 AT 牵引供电系统等值电路

由于自耦变压器变比为1∶1，磁场转换回流回路电压为电场回流回路电压的2 倍，列写空间单位长度各个回路的电位系数-电压矩阵方程为

假设V1=“1”，则根据式（32）可得此时各回路电荷为

此时可求解电场回路和磁场回路电容为

假设k1、k2为2 个回路的电荷分配系数，显然，k1=q1/ (q1+q2)，k2=q2/ (q1+q2)。

若如图8 所示回路中的导体主要参数如表1 所示，则根据以上方法计算得到的电荷分布和单位长度电容计算结果如表2 所示，根据电荷分布比例情况，得到简化模型电荷分布如图9 所示。

表1 导体主要参数

表2 电荷分布和单位长度电容计算结果

图9 简化模型电荷分布

3.2 从负荷角度构建回路模型分析

简化模型结构由接触网导体、回流导体、正馈线导体构成，为由单个导体构成的3 导体空间，如图10 所示，系统为2 传输1 回流传输线系统，假定负荷电荷为q，则接触网传输导体回路（回路编号1）电荷为q1，正馈线传输导体回路（回路编号2）电荷为-q2。

图10 AT 牵引供电系统等值电路

由于自耦变压器变比为1∶1，接触网传输导体回路电压和正馈线传输导体回路电压相等，相位相反，因此，列写空间单位长度各个回路的电位系数-电压矩阵方程为

假设V1=“1”，则根据式（36）可得此时各回路电荷为

此时求解接触网传输导体回路和正馈线传输导体回路电容为

假设k1、k2为2 个回路的电荷分配系数，显然，k1=q1/ (q1+q2)，k2=q2/ (q1+q2)。

若如图10 所示回路中的导体主要参数如表3所示，则根据以上方法计算得到的电荷分布和单位长度电容计算结果如表4 所示，根据电荷分布比例情况，得到简化模型电荷分布如图11 所示。

表3 导体主要参数

表4 电荷分布和单位长度电容计算结果

图11 简化模型电荷分布

4 实际算例

4.1 基础数据

本节通过实际算例说明上文提出的基于多导体回路法的AT 供电方式长回路电容计算方法。图12所示为单线AT供电方式牵引网的横截面示意图和各导体时间的相对距离，导线的主要参数如表5所示。

表5 导体主要参数（以轨面中心为坐标原点）

图12 单线AT供电方式牵引网横截面示意图（单位：mm）

4.2 从电流方向角度构建回路计算结果

以图12 和表5 给出的基本参数为基准，从电流角度构建回路得到的计算结果如表6～表9 和图13 所示，其中表6 为AT 供电方式牵引网各回路单位长度电位系数计算结果，表7 和表8 分别为各回路及导体电荷分布情况，表9 为牵引网各回路单位长度电容计算结果，图13 为电荷分布示意图。

表6 AT 供电方式牵引网各回路单位长度电位系数计算结果 1011/km

表7 各回路及导体电荷分布情况

表8 各回路及导体电荷分布情况

表9 AT 供电方式牵引网各回路单位长度电容计算结果 10-12 F/km

图13 电荷分布示意图

4.3 从负荷角度构建回路计算结果

从负荷角度构建回路计算结果如表10～表13和图14 所示，其中表10 为AT 供电方式牵引网各回路单位长度电位系数计算结果，表11 和表12 为各回路及导体电荷分布情况，表13 为牵引网各回路单位长度电容计算结果，图14 为电荷分布示意图。

表10 AT 供电方式牵引网各回路单位长度电位系数计算结果 1011/km

表11 各回路及导体电荷分布情况

表12 各回路及导体电荷分布情况

图14 电荷分布示意图

5 结语

本文提出一种基于多导体回路法的以接触网和正馈线为传输导体的电气化铁路AT 供电方式牵引网长回路电容计算方法，该方法有2 种构建回路方式：一种方式是从电流方向角度构建回路，将接触网中接触线和承力索作为传输导体，其余导体为回流导体，按照电场回流回路和磁场转换回路构成回路；另一种方式是从负荷角度构建回路，将接触线、承力索以及正馈线作为传输导体，其余导体作为回流导体构成回路。构建系统回路后，对各回路进行编号，然后计算各回路的自电位系数和互电位系数，得到各回路单位长度电容矩阵，最后通过回路电容矩阵与回路电位的关系计算各回路中的电荷分布，进而得到牵引网单位长度电场回流回路和磁场转换回路电容以及两回路并联的综合电容。