点子图教学的“困惑”与“解惑”

北京市建华实验学校 赵 颖

运算能力是新课标核心素养的主要内容之一。小学阶段，教材主要通过数形结合来实现整数运算的模型化和抽象化，整数乘法的学习主要依托的就是“点子图”。点子图作为一种半抽象化的图式，在计算教学中有着不可替代的作用。“在点子图上圈一圈”这一活动，介于实物操作和符号表达之间，是联结直观与抽象的桥梁，能更有效地帮助学生内化数学概念、直观理解算理、探究口算方法和建构笔算模型。但在现实教学过程中，点子图的使用却并不尽如人意，学生觉得点子图很麻烦，教师为此觉得很苦恼。是什么原因导致本应起到直观支撑作用的点子图让师生都产生如此大的困惑？如何发挥点子图应有的作用和价值？本文以北师大版数学三年级下册“两位数乘两位数（第一课时）”的教学为例，进行说明、分析，并提出改进设计。

一、发现困惑

“两位数乘两位数”是运算教学内容，学生通过借助几何直观（在点子图上圈画）与先前的学习经验，探索两位数乘两位数的算理与算法，感悟转化的数学思想；通过建立点子图与算式之间的联系，体会计算方法的一致性。

按照教材的编写逻辑，学生的思维由直观的点子图到抽象算式、表格。在教学过程中，学生先在点子图上进行圈画，再用算式表示出来。但通过观察，在实际教学过程中，大家都发现了一个“大问题”：教材中推崇的起直观支撑作用的点子图，对学生来说反而是阻碍。笔者通过学前调研发现，绝大多数学生会用竖式、会用分步横式，也有会用表格的。但是如果让学生在点子图上画一画、圈一圈，就会发现学生画得五花八门，与教师希望的以及教材中呈现的“整块拆分”方法相差甚远。于是教师就调整教学设计，先让学生用自己的方法写（都是算式或表格），然后再在点子图上表示出来，认为这样既尊重了学生的学习起点，又使得学生圈画点子图是有指向性的。但是这样并不符合教材的逻辑，也不符合从直观到抽象的编写逻辑顺序，教师陷于苦恼之中。

二、“惑”从何来？

学生的学习起点大致分为以下四个水平：

水平1：不会两位数乘两位数的计算方法，也不能把之前学习的两、三位数乘一位数的方法进行主动迁移应用。水平2：不会两位数乘两位数的计算方法，但是能够把之前学习的两、三位数乘一位数的方法进行主动迁移应用。水平3：提前学过两位数乘两位数的计算方法，但是不懂算理。水平4：提前学过两位数乘两位数的计算方法，也懂算理。

在教学时，教师往往从一个情境聚焦数学问题，然后很快聚焦算式，学生再一起按照教师的活动要求进行探索，然后进行解读和沟通。在这样的设计之下，学生的表现：

（1）处于水平1 的学生不会计算，盲目地完成活动要求，没有目的地圈，圈了之后也不能直接看出结果。

（2）处于水平2 的学生能够根据点子图的二维分布特征，按照一个维度进行拆分，将拆分后的每一部分转化成两位数乘一位数进行计算，再合起来，从而解决了问题。可见，点子图对处于水平2 的学生确实起到了直观支撑的作用。

（3）处于水平3 的学生虽然会计算方法，但是他们仅仅会计算结果而已，对于“每一步算的是什么、为什么这么算”是从来没有想过的。所以这些学生往往很快算出结果，然后再在点子图上随意地圈，只为完成活动要求中的“圈一圈”这一操作指令。

（4）处于水平4 的学生则不仅能正确计算出结果，还能在点子图上做相对应的圈画。但因为这部分学生课前不仅掌握了算法也理解了算理，点子图是他们“表演”的工具，对其思维的进阶并没有起到支撑作用。

通过以上分析可以发现，对点子图的使用产生困惑主要存在于处于水平1 和水平3 的学生当中。产生这种困惑的原因在于教师过早地聚焦到计算的结果上，忽略了点子图的“数”属性，割裂了数与运算之间的密切联系。教师的割裂导致了学生的割裂，以至于虽然点子图就在那里，处于水平1 的学生却放弃了“数”这一最基本的方法；处于水平3 的学生不明白为什么还要在点子图上圈、到底要圈什么。事实上，当算式抽象出来之后，问题的焦点是算式的计算结果而非解决情境中的问题，此时大家已经置点子图于不顾了，即使教师的活动要求是要在点子图上圈一圈，再写算式，那也是教师的指令，而非学生的自觉。

新课标相较于之前的课标，对数学课程内容进行了结构化整合，其中重要的一点是把数的认识与数的运算两个主题融合为“数与运算”一个主题，以凸显数与运算的一致性。数的运算和数的认识在本质上是一体的，因为数概念具有概念过程性。

点子图是数的二维直观表达，是沟通数与运算的重要支撑，基于数与运算一致性的设计是破解点子图困惑的关键。

三、基于计数的计算教学设计，发挥点子图直观支撑作用

郭华教授提出的“两次提出倒转”教学机制揭示：在性质上，学生的认识过程是将人类认识过程“倒过来”的过程；在内容上，学生认识的起点是人类认识的终点；在过程上，则是把“倒过来”的过程再“转回去”。这节课的难点在于如何让学生在已经“倒过来”的认识内容基础上，通过教师的设计，在过程中实现潜移默化中再“转回去”。数与运算一致性可以实现这种潜移默化。本文尝试从计数的角度对“两位数乘两位数”进行了如下设计：

（一）教学目标

（1）借助直观模型，能主动迁移运用已学知识方法解决问题，在个性化方法和表达中培养创新意识。

（2）关注图形特征，在沟通多种方法的过程中，体会每种方法背后的道理，理解两位数乘两位数的算理与算法，实现思维进阶，提升运算能力。

（3）在与他人交流算法的过程中，学习澄清思路，表达数学思维；倾听、理解他人的方法，进行反思和调整，灵活选择适用的方法解决问题；尝试沟通不同方法间的联系，从而达成对算理的深度理解。

（二）教学过程

1.情境引入，提出问题

师：学校一年一度的春季运动会马上就要开始了，今年咱们三年级要一起表演啦啦操，现在需要选拔小队员。图1 是我们啦啦操表演的队形，一个点代表一个人，观察这个队形，你们发现了哪些数学信息？能提什么数学问题？

图1

生：长方形队形，啦啦操表演一共需要多少人？

2.自主探索，个性表达（提供点子图）

独立思考“啦啦操表演一共需要多少人” ，在印有队形图的学习单上表示出你的想法。

预设1：点数。预设2：几个几个圈地数。预设3：分块计数。（1）分成已经学过的两位数乘一位数；（2）按计数单位进行分块计数。预设4：算式解决。

【设计意图】从被动操作到主动迁移的角色转换。学生不是为了计算12×14 的结果而研究计算，而是在真的解决“多少人”这个问题。在解决问题的过程中，学生自觉调动已经掌握的知识，以解决这个问题。此时情境是有意义的，而非算式的“摆设”。教师没有过多的要求（就必须要先圈一圈，再写算式），学生自然就避免了被动的操作。要解决的问题是“多少人”，所以能够解决这个问题的方法（数数、计算）都应该是被肯定的，而非为了学习乘法而眼里只有乘法。

3.解读与对比中实现思维进阶，沟通算理算法

教师在黑板上分别展示这些方法，学生互相解读。

师（追问）：为什么想到分块计数？

（这反映出一部分学生已经能自觉迁移，运用乘法是加法的简便运算来解决问题）

师（追问）：为什么想到分成几个十，几个一？

（这反映出一部分学生已经能自觉迁移，利用计算单位解决较复杂的计数问题。而计数单位恰恰是数的认识与运算一致性的核心之一）

师：同学们的思考方法多种多样，都用自己的方法解决了问题，再来看看这些方法，哪些方法很像？

预设1：一些方法是数数，一些方法是运算。预设2：数数的方法里有一些是几个几个数的，还有一些是一块一块数的。预设3：运算的方法里有一些是把12或14 拆分成了更小的学过的数，还有一些是将12 或14 拆成了1 个十和几个一。

师：如果给这些方法区分一下水平，你觉得哪种方法的水平更高一些？为什么？如果再解决类似的问题，你想选择哪类方法？学完有什么收获？还有哪些新想法？

【设计意图】

（1）找到从“数数”到“算数”的进阶需求。解决“多少人”问题的过程可以暴露学生的认知起点。在现实教学中一般有这样几个现象：

①几乎每个班都有学生在计算时几个几个一圈，其中部分学生所得的结果不是算出来的，而是数出来的，他们虽然也学习了一些运算知识但是不能主动地迁移运用。②其中还有一部分学生是加出来的：“12+12+12+…+12=168”，有了用运算解决问题的意识。③能够进行分块计算的学生，已经有了运用乘、加混合运算解决问题的意识和能力。

可见，从“数数”到“算数”并非所有三年级学生的自觉转换。

（2）找到从“一维计数”到“二维计数”的进阶需求。点子图是一个二维的计数模型，也是乘法模型。在已经学过了乘法的意义和两位数乘一位数之后，学生是否有这样的自觉意识用这些知识来解决问题呢？处于“数数”阶段的学生，在数人数的时候，仍然是一维计数思维——接着数下去就好了；处于分块计数水平的学生则关注到了点子图的二维特征，有使用乘法来解决问题的自觉。学生间的计数策略与水平是存在差异的。

（3）找到从无意识的“拆分计数”到有意识的“单位计数”的进阶需求。在分块计数的学生当中，有一部分学生是有意识的拆分，按照计数单位将比较大的乘数拆成几个十和几个一。这反映出这部分学生能从计数单位的角度深刻地认识数的意义，并能自觉地将其应用到运算中。学生在拆分计数的过程中存在着水平差异。

这些差异源于学生对数的认识以及运算认识的差异，也为课堂提供了生动的交流资源。通过学生之间的互相解读、教师的引导追问，让学生实现从“数数”到“算数”、从“一维计数”到“二维计数”、从无意识的“拆分计数”到有意识的“单位计数”三个方面的进阶，使学生的思考得以深入，促进学生主动建构理解算法与算理之间的关系模型，培养运算能力，理解数与运算的一致性。