工科类院校高等数学教学改革探索——基于工程案例与数学文化视角

赵增逊,孙文青,李兵方,李运通

(陕西铁路工程职业技术学院 a. 学生处;b. 基础课部;c. 国有资产管理处;d. 信息化与网络安全处,陕西 渭南 714000)

高等数学是工科类院校必修基础课程,可以帮助学生补充基本知识、提高基本素质、基本能力,为专业课学习打下坚实基础。传统的课堂教学模式单一,学生动手实践的机会不多,教学效果不佳[1]。数学教育工作者,如许聪聪等[2]基于“双高”建设背景、杨拍等[3]尝试分层分类教学、谢雪军等[4]基于课程思政、吴振英[5]基于新工科背景、董晓媛[6]基于智慧职教背景对高等数学教学改革进行了研究。笔者结合陕西铁路工程职业技术学院实际,在高等数学教学中融入工程应用案例和数学文化元素,取得了一定的效果。

1 教学改革背景：存在“四不足”

1) 专业衔接有空缺。如陕西铁路工程职业技术学院设有高铁工程学院、测绘与检测学院、城轨工程学院等8个二级学院,这些学院全部开设高等数学课程,从实际授课情况看,存在与专业课脱节现象,专业课只是少量应用基础数学运算,高等数学呈现一定的孤立性[7]。

2) 教材内容需补充。传统教材基本理论体系大同小异,主要包括概念、定理、公式、法则、证明、计算等,结合不同专业背景引入实际案例的创新性教材较少[8]。这样的教材对高职学生而言缺乏应用性、趣味性、针对性,需要补充工程案例,激发学生兴趣的知识点。

3) 学生基础不均衡。高职学生基础不均衡,主要体现：数学基础不均衡,笔者曾对道桥3211班进行统计,发现学生的数学高考成绩差异很大;思维能力不均衡,对同一问题,反应速度、思维角度不同;动手能力不均衡,对稍微复杂的数学建模问题,有些学生能进行分析处理,而有些学生不知所措。

4) 课堂效果不理想。理想的课堂应该是教师认真教,学生认真学,课堂氛围好,教学质量高,而现实中一些课堂是教师自编自导自演的独角戏。尤其大部分学生手中有手机,成为“低头一族”,这样的课堂缺少生机,教学效果不佳。

2 教学改革思路：推进“四融合”

结合陕西铁路工程职业技术学院实际,基于工程案例和数学文化,适当选加“数学建模”课程,推行应用性考核模式,实现高等数学与工程案例、数学文化、数学建模、应用性考核的“四融合”,提高教学质量。

1) 增加工程应用案例。笔者基于学校工科特点、土木类与高等数学的内容切合点,搜集工程类应用案例穿插于日常授课,融入工程问题,并在作业中增加工程案例选做题,开阔学生的视野,提高学生解决实际问题的能力。同时编写《工程应用与拓展训练教程》,形成成果并进行推广。

2) 融入数学文化元素。将数学文化渗透教材、融入教学,挖掘数学知识的价值,以期“润物细无声”。丰富教学内容,拓展释义数学符号、概念的命名,适当阐释数学知识的文化底蕴,实时展现数学史知识,补充数学故事,让学生在数学应用中体会数学价值、在数学故事中理解数学形式、在数学史中领悟数学思想。

3) 选加“数学建模”课程。针对数学基础好、对数学建模感兴趣、想了解全国大学生数学建模竞赛的学生开设“数学建模”选修课,针对有志参赛的学生进行周末培训,针对经过严格选拔的参赛的学生进行暑期集训,根据学生实际情况编制《校本数学建模教程》。

4) 推进应用性考核模式。改变传统的考核方式：内容上,从考查运算、逻辑思维能力提升至拓展考核应用能力、文化素养;形式上,试卷从传统的填空、选择、计算三大类型变更为数学思想、数学计算、数学应用三大类型。

3 教学改革内容：体现“四价值”

3.1 结合数学应用案例,体现数学应用价值

高等数学教学必须为工科类院校专业课服务,可编制应用案例,体现数学的应用价值,如针对铁路工程专业,结合定积分问题,搜集编撰铁路圆端型桥墩砼方量计算例题。圆端型桥墩是铁路经常采用的一种桥墩形式,其截面为矩形两端各接1个半圆,桥墩整体自下而上有一定坡度。

例1洛湛铁路益(阳)—娄(底)段塘头庄特大桥桥墩立体图如图1所示,其中桥墩高12 m,坡度42∶1,底面半圆直径2.67 m,底面矩形宽1.7 m[9],求墩身砼方量(体积)。

图1 塘头庄特大桥桥墩立体图

学生面临的问题：1) 问题过于实际,找不到切入点。2) 学过定积分却难以和实际问题关联,没有现成的公式可使用。3) 问题关键点是桥墩截面不断增大,且所给数据依据实际情况设定。解决问题的关键在于桥墩截面积与高的关系。

解建立如图2所示坐标系,

图2 塘头庄特大桥桥墩坐标图

过A且垂直于x轴的截面同样为矩形两端各接1个半圆,OA=m。过点A的横截面中半圆的半径

过点A的横截面中两半圆面积

过点A的横截面中矩形面积

过点A的截面面积

桥墩的砼方量(体积)

在高等数学中运用案例教学的难点在于没有现成的案例可直接使用,而且实际问题难度较大。编制难度适宜的工程案例,平衡教学时间,可以取得良好的教学效果。

3.2 融入数学文化元素,体现数学文化价值

在教学中,适当添加一些数学文化元素,可以丰富课堂内容,活跃课堂气氛,提高学生的数学素养。

3.2.1 释义数学符号和概念的命名

高等数学的教材内容是经加工改造方便教学编制的,很多概念凝练、准确、抽象,学生很难深刻理解,适当释义事半功倍。如讲解函数概念时,除了数学角度外,还可以解释函数符号f取自英语单词“function”(函数)首字母,展示我国古代对函数的解释——“函”与“含”是通用字,如李善兰给出的函数定义,即凡是含有自变量x的式子叫做函数,记作地=函(天),也即函数有包含的意思。这样可以帮助学生理解函数概念。

3.2.2 阐释数学知识中的文化底蕴

数学源自生活,将生活实例引入教学可以激发学生的兴趣,活跃课堂气氛。

1) 数学之哲思。如讲解定积分概念时,指出关键思想“化整为零、以直代曲”,处理生活中大且难的问题时可以化整为零、以简代繁。

2) 数学之优美。在绪论中可以讲解数学美,如从几何意义角度解读王维的“大漠孤烟直,长河落日圆”。“大漠孤烟直”即是一个平面和它的垂线问题,“长河落日圆”即是一条直线和它的上切圆问题,王维用简单的几何手法展现了广袤、深邃、瑰丽的大漠风光图。

3) 数学之深奥。贾岛的《寻隐者不遇》：“松下问童子,言师采药去,只在此山中,云深不知处。”这首诗在人文意境上对存在性定理进行了非常生动的描述。

3.2.3 展现数学知识中的历史渊源

数学史具有明理、哲思、求真价值[10],融入数学史可以让学生了解数学概念的来龙去脉、数学发展历程,清楚数学与自然哲学的关系,深刻体会数学是自然哲学的基础。如讲授函数、导数、微分概念时增加数学史的相关内容可以让学生深入理解数学。

3.2.4 补充数学知识中的哲理故事

在教学中适当穿插一些数学小故事可以提高学生的兴趣感。奥地利物理学家弗里希曾说：“科学家必定有孩童般的猎奇心。”数学家的故事可以激励学生自强不息、刻苦学习。如极限部分可以讲芝诺悖论、刘徽割圆术的故事,洛必达法则部分可以穿插洛必达、伯努利家族的故事,中值定理部分可以穿插罗尔、拉格朗日、柯西的故事,微积分部分可以穿插牛顿、莱布尼茨关于优先权争论等的故事,激励学生热爱数学。

3.3 发挥建模拓展作用,体现数学思维价值

在教学中要帮助学生掌握基础知识、学以致用、锻炼思维,提高应用意识和创新能力。数学建模是对实际问题进行分析、推理、计算从而得出最优解的过程。数学建模是数学知识与应用能力的最佳结合方式,为学生提供了利用数学知识解决实际问题的平台。陕西铁路工程职业技术学院从2008年起投入专项经费用于数学建模工作,并于2008年首次组队参加全国大学生数学建模竞赛。通过数学建模工作可以培养教师团队,丰富教学内容,锻炼学生解决问题的能力,提升公共课的地位。

3.4 实施应用性考核,体现数学思想价值

陕西铁路工程职业技术学院于2015年开始对高等数学实施应用性考核,在传统的考查数学基本概念、基本公式、基本定理、基本运算的基础上,增加对数学文化、数学应用的考查,改变期末试卷形式,变填空、选择、计算三大类型为数学思想、数学计算、数学应用三大类型(比例一般为20∶60∶20)。数学思想主要考查数学基本概念、基本思想,形式上是叙述一段话,让学生填写其中的数学思想,如李白的“孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流”论述了“帆影”是随时间而趋于零的变量,体现了数学的极限思想。数学计算主要考查基本的数学知识,与传统试题基本一致。数学应用主要形式为数学应用案例,一般以2～3道工程案例题的形式出现,并适当简化数据处理。这一举措使高等数学期末考试补考率由2013年的22.5%逐步降至2022年的3.3%。

4 教学改革预期效果：实现“四好”

高等数学教学改革是为了实现专业服务好、课堂效果好、数学建模竞赛成绩好、学生数学成绩好“四好”目的。陕西铁路工程职业技术学院已取得一些成果,如编写全新高等数学教案1套,搜集整理高等数学案例集1本,出版基于工程案例和数学文化的高等数学辅导教材1套,公开发表30余篇教学论文,教师参加各类教学比赛获奖20余项,市厅级以上教学改革项目立项4项,2021年高等数学获评陕西省职业教育在线精品课程。高等数学教学要紧跟时代潮流,基于工程应用案例和数学文化建设国家级在线开放课程。