基于FAHP-EWM 组合权重的突水危险性评价研究

陈 曦 ，李思宇 ，边 凯 ，杨 浩 ，常俊彬

（河北工程大学 地球科学与工程学院，河北 邯郸 056038）

水害是煤矿安全生产的主要灾害之一，容易造成人员伤亡及财产损失。据统计，2021 年全国煤矿发生水害死亡事故占煤矿事故的4.4%，死亡人数占煤矿事故死亡人数的27.0%。为了确保煤层的安全开采，对其进行突水危险性评价工作是很有必要的。煤层底板突水预测方法均是在突水机理和数学方法的基础上衍生出的评价方法，每种方法均是对煤层底板突水危险性的一种合理推测。田午子[1]采用五图双系数法对范各庄煤田12#煤底板进行了突水危险性评价，评价结果为全区皆为安全区；任君豪等[2]对5 个突水主控因素构建经典域，利用物元可拓法对平顶山煤田10-1 钻孔处进行了突水危险性评价，评价结果为该钻孔处属于低危险区；王俊智[3]利用模糊综合评判法对平顶山3 个矿井煤层底板突水危险性进行了预测评价，评价结果为3 个矿井的大部分区域为低威胁区；武强等[4]于2009 年提出了基于GIS 的AHP型脆弱性指数法，采用层次分析法（AHP）确定了不同因素在底板突水过程中的影响程度，并针对开滦东欢坨矿北部采区煤层底板的突水危险性进行了评价。

近年来，国内学者在基于AHP 的煤层底板突水脆弱性研究方向上，对于主控因素的优化以及权重的确定有了新的探索。在主控因素优化方面：一些学者提出采用构造分维作为主控因素，可以综合反映构造的数量、分布密度、规模以及动力学机制，该做法不仅可以减少主控因素的数量，还可以提高各因素权重的计算准确性[5-9]；在主控因素的权重确定方面：一些学者在采用AHP 计算常权权重的基础上，根据变权理论，计算出各主控因素的变权权重值，可以反映出主控因素在突变区域以及随着主控因素的加权叠加对煤层底板突水脆弱性模型的影响[10-12]；另外，一些学者采用主客观组合赋权的方式计算各主控因素的组合权重，综合考虑主客观权重计算方法的优点，有效结合专家们对各因素重要程度的判断和因素中样本数据体现的客观信息[6,13-16]。

目前对主控因素主客观权重组合的方法上，多采用加法合成法。为此，将在主客观权重的基础上，采用多种组合赋权方法对各主控因素进行组合赋权，根据不同的组合权重构建突水脆弱性评价分区图，并对各评价结果进行优选，得出最优评价模型。

1 研究区概况和主控因素的选取

研究区内S1 号煤层为主采煤层，平均厚度为3.38 m，全区可采；太原组含水层与主采煤层的距离较近，平均距离为39.13 m，且该含水层水压较大，对主采煤层的安全开采构成威胁；奥陶系含水层与主采煤层的平均距离为127.34 m，隔水层厚度相对较大，但在富（导）水构造处仍要加强探查。为此，将太原组含水层作为目标含水层进行研究。含（隔）水层相对位置示意图如图1。

图1 含（隔）水层相对位置示意图Fig.1 Relative position diagram of aquifer and aquiclude

根据前人研究成果[17-19]，结合研究区地质及水文地质资料，确定突水主控因素。太原组灰岩含水层是S1 号煤层的主要突水水源，且该含水层水压较大，富水性分布不均一，是S1 号煤层底板的直接充水含水层；S1 号煤层与太原组含水层之间的隔水层整体上较薄，岩性大多为泥岩、砂岩、泥灰岩等，有效隔水层厚度和赋存于矿压破坏带以下的脆性岩是预防底板突水的重要层段。研究区受构造运动影响，断层、褶皱较发育，其存在通常会降低岩层的有效隔水性能，容易形成导水通道，对S1 号煤层的安全开采构成威胁；断层影响因子、断层分维值和褶皱分维值可以有效体现出构造规模、分布密度、位置、数量等对煤层底板突水造成的影响。

本次研究从含水层、隔水层以及构造3 个方面确定影响S1 号煤层底板突水的主控因素，分别为：含水层水压、含水层富水性指数、有效隔水层厚度、矿压破坏带下脆性岩厚度、断层影响因子、断层分维值以及褶皱分维值。

2 权重的计算

式中：n为R的阶数；rik为R中第i行第k列的元素。

根据研究区地质、水文地质条件及现有收集资料，构建3 层递阶层次结构模型，S1 煤层底板突水危险性评价层次结构模型如图2。

图2 S1 煤层底板突水危险性评价层次结构模型Fig.2 Hierarchical structure model of S1 coal seam floor water inrush risk evaluation

2.1 主客观权重

2.1.1 主观权重

张吉军[20]将“模糊一致矩阵”融入“层次分析法”中，提出了“模糊层次分析法（FAHP）”。相对于层次分析法，该方法降低了专家们主观打分的偏差，简化了计算过程，提高了计算结果的可信度，因此，本次研究采用模糊层次分析法计算主控因素的主观权重。

模糊层次分析法的步骤如下：

1）构建递阶层次结构模型。结合具体研究问题，递阶层次结构模型可以分为很多层，但在研究煤层底板突水问题中，一般采用目标层、准则层、决策层3 层结构。

2）构建模糊互补矩阵。设矩阵C=（cij）n×n，其中0≤cij≤1，且 满 足cij+cji=1（其 中i=1,2,···,n;j=1,2,···,n）,则称C为模糊互补矩阵。根据模糊互补矩阵的定义，选择“0.1～0.9 五标度法”作为量化标准，该方法是将两两指标（S、T）的重要性进行比较，并进行量化。

3）构建模糊一致矩阵R。设模糊互补矩阵R=(rij)n×n，若 满 足rij=rik-rjk+0.5(i，j，k∈1,2,···n)，则R为模糊一致矩阵。求解模糊互补矩阵C所对应的模糊一致矩阵RC步骤如下：①将模糊互补矩阵C按行求和并记为ri； ②计算模糊一致矩阵RC中每个元素rij。

式中：n为C的阶数；cik为C中第i行第k列元素，i=1,2,···,n。

式中：rij为RC中第i行第j列元素。

4）计算权重。利用模糊一致矩阵R计算权重ω，权重计算公式为：

主观权重计算结果为：①水压：0.206 3；②富水性指数：0.168 8；③断层影响因子：0.152 6；④断 层 分 维：0.111 7；⑤褶 皱 分 维：0.098 2；⑥有效隔水层厚度：0.157 5；⑦矿压破坏带以下脆性岩厚度：0.105 0。

2.1.2 客观权重

申农将熵与信息论相结合，提出了“信息熵”的概念，用来描述系统的规模、复杂性以及组织有序度。根据“信息熵”的原理引申出了用于计算客观权重的“熵权法（EWM）”[21]。“熵权法”中的“信息熵”可以用来解释指标的离散度，指标权重的大小与信息熵密切相关，即信息熵越大，表示指标的离散度越小，那么其所对应的权重就越小。计算步骤如下：

假设有m个样本和n个指标，记为Xij=（xij）m×n，其中1≤i≤m，1≤j≤n。

将各指标进行归一化处理，如式（4），建立Dij=（dij）m×n：

计算Pij=(pij)m×n，如式（5）：

式中：pij为第i个样本中第j个指标的比重。

确定样本个数m，计算K值和信息熵ej，如式（6）：

计算差异系数gj，如式（7）：

计算权重ωj，如式（8）：

式中：ωj为第j个指标的权重。

本次研究采用熵权法计算主控因素的客观权重，客观权重计算结果为：①水压：0.107 2；②富水性指数：0.339 8；③断层影响因子：0.214 2；④断层分维：0.081 6；⑤褶皱分维：0.101 9；⑥有效隔水层厚度：0.080 7；⑦矿压破坏带以下脆性岩厚度：0.074 6。

2.2 基于FAHP-EWM 的组合权重

模糊层次分析法计算得出的权重大小与主观评分密切相关，与指标的实际值无关。熵权法是根据收集到的样本数据的实际值进行信息熵计算，判断每个指标样本数据的离散程度，从而计算其权重。在评价各因素影响煤层底板突水危害程度时，为了参考专家们对各主控因素重要程度的主观判断，同时考虑主控因素中样本数据体现的客观信息，将选取4 种不同的组合赋权方式对突水主控因素进行赋权。

2.2.1 加法合成法

加法合成法即分别对不同权重计算方法确定其占组合权重的比例，如式（9）：

式中：λ、1-λ为权重系数，也称偏好系数；uj为第j个因素的主观权重；vj为第j个因素的客观权重；ωj为加法合成法组合权重。

利用加法合成法计算各主控因素的组合权重，偏好系数 λ取0.5[22]，表示主客观权重同等重要，基于加法合成法的组合权重计算结果为：①矿压破坏带以下脆性岩厚度：0.089 8；②有效隔水层厚度：0.119 1；③褶皱分维：0.100 1；④断层分维：0.096 6；⑤断层影响因子：0.183 4；⑥含水层富水性指数：0.254 3；⑦含水层水压：0.156 7。

2.2.2 极差最大化法

极差最大化组合赋权法是在主客观权重计算方法的结果上进一步建立极差最大化模型，使得综合评价结果的区分度更加明显。具体步骤如下[23]：

假设对k个指标用n种权重方法计算各指标的权重，权重矩阵为，如式（10）：

式中：zij为第i个指标对应的第j个权重方法的计算结果。

确定每个指标组合权重范围，组合权重z=(z1,z2,z3,···,zk) ，其中zi∈[z,]，如式（11）：

假设k个指标中每个指标有m个样本，建立样本属性矩阵，判断每个指标为正向指标还是逆向指标，将每个指标进行归一化处理，建立标准化矩阵，如式（12），计算综合评价结果的方差，如式（13）：

式中：m为样本个数；z为组合权重行向量，z=(z1,z2,z3,···,zk)；S2为方差。

构建组合权重优化模型，使模型在约束条件下的综合评价结果的方差取最大值。

根据7 个主控因素和2 种单一权重计算方法构建权重矩阵A=（aij）7×2，确定每个主控因素的计算范围。对每个主控因素进行随机抽样，建立属性矩阵B=（bij）7×21，判断每个因素属于正向指标还是逆向指标，计算其标准化值和综合评价结果的方差，构建组合权重优化模型，基于极差最大化法的组合权重计算结果为：①矿压破坏带以下脆性岩厚度：0.074 6；②有效隔水层厚度：0.080 7；③褶皱分维：0.098 2；④断层分维：0.085 2；⑤断层影响因子：0.214 2；⑥含水层富水性指数：0.339 8；⑦含水层水压：0.107 2。

2.2.3 博弈论法

博弈论组合赋权法是使组合权重与主客观权重之间的偏差最小，在主客观权重“博弈”过程中寻找一个最优位置，据此构建目标函数。在组合赋权之前，需进行一致性检验，一致性检验结果H≤0.4 即认为主客观权重符合一致性检验。检验方法如式（14）：

式中：k为主控因素的个数；aj、bj分别为第j个因素的主客观权重；H为一致性检验结果。

假设用Q种权重计算方法对n个指标进行权重计算，基础权重向量集 ωk如式（15）：

式中： ωk为第k种权重方法计算的权重向量，k=1, 2, ···,Q。

对上述Q种权重向量进行线性组合 ω，可表示为式（16）：

式中： θk为权重系数， θk＞0。

为了求解最优权重组合系数，需满足以下博弈集合模型，使得 ω 与 各 ωk的离差最小，如式（17）：

上式可转化为求解以下方程组：

求得最优权重系数为： θ∗=(θ1,θ2,···,θQ)T，对最优权重系数进行归一化处理，求解式（17），可得博弈论组合权重。

对主客观权重计算结果进行一致性检验，H为0.159 0，符合一致性检验。根据主客观权重构建基础权重向量 ω1和 ω2，对其进行线性组合，求解最优权重组合系数，对权重系数进行归一化处理，计算结果为0.011 5 和0.988 5，根据归一化后的权重系数计算博弈论组合权重，基于博弈论法的组合权重计算结果为：①矿压破坏带以下脆性岩厚度：0.075 0；②有效隔水层厚度：0.081 6；③褶皱分维：0.101 8；④断层分维：0.082 0；⑤断层影响因子：0.213 5；⑥含水层富水性指数：0.337 8；⑦含水层水压：0.108 4。

2.2.4 最小鉴别信息法

“鉴别信息”即衡量2 个向量分布之间差异的指标，利用该原理对主客观权重进行组合，即在满足约束条件的情况下，使得组合权重与主、客观权重的分布尽量接近。

假设有n个评价指标，其主观权重的权重向量为 α=（α1,α2,···,αn），客观权重的权重向量为β=（β1,β2,···,βn） ，组 合权重的权重向 量 为ω=（ω1,ω2,···,ωn），为使组合权重与主客观权重的鉴别信息最小，建立以下目标函数和约束条件，如式（19）[24]：

式中： ωi为第i个指标的组合权重； αi、 βi分别为第i个指标的主观权重、客观权重。

根据目标函数构造拉格朗日函数，如式（20），并求其极值，如式（21）：

对式（21）求解得式（22）：

基于最小鉴别信息法的组合权重计算结果为：①矿压破坏带以下脆性岩厚度：0.091 7；②有效隔水层厚度：0.116 8；③褶皱分维：0.103 6；④断层分维：0.098 8；⑤断层影响因子：0.187 2；⑥含水层富水性指数：0.247 9；⑦含水层水压：0.154 0。

2.3 最优评价结果

为了对煤层底板突水危险性进行区域划分，武强等[25]引入了脆弱性指数VI 这一数学模型，如式（23）：

式中： ωi为第i个因素的权重；n为主控因素个数；fi（x,y）为单因素影响函数；(x，y)为坐标；VI为脆弱性指数值，该值越大，突水危险性就越高。

根据组合权重计算结果建立4 种突水脆弱性数学模型，建立主采煤层底板突水脆弱性评价分区。由于采用了相同的指标体系、无量纲处理方式、主客观权重计算方法和脆弱性指数法，最终分区结果的不同仅体现在主客观权重组合赋权方法的抉择上；每个主控因素都有4 种不同的组合权重值，最后的叠加效果会有所不同。根据上述脆弱性指数数学模型，将无量纲处理后的主控因素进行加权叠加分析，得到评价分区图。相较于其他分级方法，“几何间隔法”分级结果的空间自相关性较高。因此，采用“几何间隔法”将4 个分区图进行分级，共分为5 级。基于不同组合赋权法的底板突水脆弱性评价分区如图3。

图3 基于不同组合赋权法的底板突水脆弱性评价分区Fig.3 Vulnerability assessment zoning of floor water inrush based on different combination weighting methods

从图3 可以看出：4 种评价结果的分区过渡趋势基本一致，即研究区内北部大部分区域和中部、南部零星区域脆弱性指数值较高，被评为脆弱区与较脆弱区；南部大部分区域和西北部、中部部分区域脆弱性指数值较低，被评为相对安全区与较安全区；西北部部分区域、中部大部分区域以及东南部的部分区域被评为过渡区。但存在一些区域其评级结果不一致，例如在研究区内中部部分区域，使用加法合成法组合赋权和最小鉴别信息法组合赋权该区域被评为较脆弱区，而用极差最大化法组合赋权和博弈论法组合赋权同一区域被评为过渡区，这与采用不同组合赋权法计算出的权重结果有很大的关系。

假设基于不同组合赋权法的脆弱性指数均相对合理，脆弱性指数应分布在“合理脆弱性指数”的两侧。取4 种脆弱性指数的平均值作为“合理脆弱性指数”的近似值，利用Spearman 等级相关系数确定不同方法得到的脆弱性指数与“合理脆弱性指数”的等级相关系数，其优势为该方法对样本数据的分布及数量均没有特定要求，不同组合赋权法的脆弱性指数排序与合理排序的相关性为：①基于加法合成法组合赋权的脆弱性指数排序相关性：0.983 1；②基于极差最大化法组合赋权的脆弱性指数排序相关性：0.972 7；③基于博弈论法组合赋权的脆弱性指数排序相关性：0.972 7；④基于最小鉴别信息法组合赋权的脆弱性指数排序相关性：0.987 0。

可以看出：基于不同组合赋权法得到的脆弱性指数值的等级排序与合理排序的相关系数普遍较高，其中基于最小鉴别信息法组合赋权的脆弱性指数等级排序与合理排序的相关性最高，相关系数高达0.987 0，相关系数越高说明用该赋权方法得到的评价效果越好。故将最小鉴别信息法组合赋权得到的突水脆弱性评价作为最优结果。

3 脆弱性指数法评价与突水系数法评价对比

突水系数的计算公式为：

式中：T为突水系数，MPa/m；p为煤层底板隔水层所承受的水压值，MPa；M为底板隔水层厚度，m。

根据式（24），计算S1 号煤层底板的突水系数值，并对研究区进行危险性划分。

将所选取的最优突水脆弱性评价结果与突水系数法评价结果进行对比分析。煤层底板构造较发育，临界突水系数取0.06 MPa/m；无构造破坏地段该值取0.1 MPa/m。突水系数等值线和突水危险性划分如图4。突水系数等值线和突水脆弱性评价分区图如图5。

图4 突水系数等值线和突水系数法突水危险性划分Fig.4 Isocline of water inrush coefficient and classification of water inrush risk

图5 突水系数等值线和突水脆弱性评价分区图Fig.5 Isocline of water inrush coefficient and zoning map of water inrush vulnerability assessment

由图4 可知：研究区内东南部区域的突水系数值较小，南部偏西区域以及北部区域突水系数值较大，突水系数较大的区域呈现出水压较高且隔水层厚度较小的特点，其总体的变化趋势为从南向北逐渐增大。突水系数计算结果为0.102 9～0.334 4 MPa/m，其值均已突破临界值。因此，将全区划分为突水危险区。

由图5 可知：突水系数值的计算结果为0.102 9～0.334 4 MPa/m，其变化规律大体呈现出从南向北逐渐增大的趋势，中部分布有小面积突水系数值较低的区域。脆弱性指数值的计算结果为0.354 6～0.756 1，其变化规律与突水系数值的变化规律类似，总体上呈现出从南向北逐渐增大的趋势，在中部分布有小面积脆弱性指数值较低的区域。通过以上分析，可以推测出在研究区内，北部比南部的突水危险性更大，中部存在小面积突水危险性较低的区域。

从评价结果来看，突水系数法和脆弱性指数法表现出较大的差异，2 种方法煤层底板突水危险性划分占研究区面积的比例见表1。

表1 煤层底板突水危险性划分占研究区面积的比例Table 1 Proportion of water inrush risk division of coal seam floor in the study area

根据突水系数法的判断，不论是在构造发育地段还是在正常地段，突水系数值均突破了临界值，全区皆被划分为突水危险区，然而，在构造不发育、富水性较弱且隔水层较厚的区域可以实现煤层的带压安全开采；而从突水脆弱性评价结果来看，研究区内仅北部区域及中部、南部零星区域为较脆弱区及脆弱区，占区域总面积的25.4%，且这些区域皆为构造影响较大、水压相对较高、富水性指数相对较大、有效隔水层厚度较薄以及隔水层岩性力学强度较低的区域，其余区域被划分为相对安全区、较安全区以及过渡区。相比突水系数法的分区结果，脆弱性指数法的分区结果更加细致。

根据煤层底板突水机理可知，突水现象是多因素共同作用的结果。突水系法仅考虑了2 个因素的影响，虽然这种方法能在勘察资料较少的情况下为煤层底板突水危险性做出大致的评估，但却不能进行较为细致的划分。相较于突水系数法评价，脆弱性指数法不仅考虑了水压的因素，而且考虑了含水层富水性、构造、有效隔水层厚度以及岩性的影响，选取的因素较为丰富；同时该评价采用了最小鉴别信息法将各因素的主客观权重相结合，兼顾了主客观权重的优点，得出每个主控因素的组合权重，根据主控因素的组合权重计算出最终的突水脆弱性指数，并将评价区域划分为5 个等级，该评价方法不仅能够综合反映不同因素对煤层底板突水现象的共同作用，而且考虑到各因素对突水影响的相对大小，评价结果更加接近实际情况。参考突水脆弱性评价划分结果，矿方可以在不同区域做出针对性的带压安全开采和突水防治工作。

4 结 语

1）采用FAHP 和EWM 分别计算各主控因素的主客观权重，选取4 种不同的数学方法对主客观权重进行组合，得到4 种组合权重，利用GIS的信息融合技术分别得出突水脆弱性评价结果。4种评价结果的分区过渡趋势基本一致，即先期开采地段北部大部分区域和中部、南部零星区域脆弱性指数值较高，被评为脆弱区与较脆弱区，南部大部分区域和西北部、中部部分区域脆弱性指数值较低，被评为相对安全区与较安全区，但存在部分区域其评级结果不一致。

2）采用Spearman 等级相关系数分别对4 种突水脆弱性评价结果进行优选，结果表明：基于不同组合赋权方式得到的脆弱性指数等级排序与“合理排序”的相关性均普遍较高，其中采用最小鉴别信息法得到的脆弱性指数等级排序与“合理排序”的相关系数最高，其相关性高达0.987。可以推断，在4 种脆弱性评价结果中，采用最小鉴别信息法组合赋权得到的突水脆弱性评价效果最好。

3）突水系数法的评价结果为全区皆划分为突水危险区。将突水系数法评价与基于最小鉴别信息法组合赋权得到的突水脆弱性评价进行对比，从二者值的变化规律可以推测出北部比南部的突水危险性更高，中部存在小面积突水危险性较低的区域。从评价结果来看，脆弱性评价的区域划分更加细致，综合反映了含水层富水性、构造、有效隔水层厚度以及岩性对底板突水危险性的影响，评价结果更加接近实际。