不同两部件系统生产调度与视情维修联合决策

汪思宇,甘 婕

(1.太原科技大学 工业与系统工程研究所,太原 030024; 2.装备制造业创新发展研究中心,太原 030024)

生产调度与维修计划是制造业面临的最常见,最重要的问题[1]。近些年,相关学者针对单设备系统的生产调度与维修的联合决策进行研究。Liu等提出了预防性维修(Preventive Maintenance,PM)与单机调度结合的决策模型[2]。李志颖等利用改进后的差分进化算法对生产调度与设备PM的联合模型进行求解[3]。甘婕等建立了单机调度与丝锥CBM的集成模型[4]。Cassady等建立了PM与单机生产调度的集成优化模型,并将PM的逻辑变量作为维修决策变量[5]。Mani等针对具有退化的多故障单机制造系统,提出了生产调度与维修的集成模型[6]。

在单机调度与维修联合决策的研究过程中,大部分学者将单机生产系统作为一个研究整体而忽略了系统内各个相关部件对系统的影响。随着设备的复杂性的提高,多部件的研究备受关注。赵斐等研究了两部件可修系统[7]。Castanier等以串联两部件系统为研究对象,建立了多控制限CBM(Condition-based Maintenance)[8]。Mustapha等针对串并联系统,考虑部件的多状态退化[9]。Zhang研究了多部件串联系统[10]。Minou等针对多部件CBM与备用部件联合优化系统,建立了马尔科夫决策模型[11]。以上研究仅考虑两部件或者多部件的维修决策问题,未考虑维修决策过程对生产调度的影响。故本文针对此类问题,以不相同两部件组成的单机生产系统为研究对象,提出了生产调度与非完美两部件CBM的联合策略,以调度作业加工序列,两部件CBM的0-1逻辑变量为决策变量,建立了单机调度与不相同两部件CBM的联合决策。并根据系统运行情况,分析了两部件在生产调度过程中产生的维修活动,推导出两部件维修组合的概率密度函数及概率计算通式。最后,通过数值分析验证了联合优化模型的有效性和正确性以及参数的灵敏度。

1 系统描述

1.1 系统假设

相关假设条件如下:

(1)第1项调度作业前,两部件均处于全新状态;

(2)故障更换(Corrective Maintenance,CM)后的部件状态恢复到全新状态;

(3)部件得劣化状态未达到故障阈值时,进行非完美PM;

(4)正在运行加工的作业不能被另一项加工作业或维修活动中断;

1.2 符号介绍

系统内关键符号表示如下:

n:加工作业总数量;

m:系统内部件的数量,m=1,2;

j:n项作业的编号,j=1,2,…,n;

i:调度序列中,作业的加工次序,i=1,2,…,n;

xij:生产调度的决策变量;

pj:作业j的加工时间,j=1,2,…,n;

wj:作业j的权值,j=1,2,…,n;

p[i]:在调度序列中,第i项作业的加工时间;

w[i]:在调度序列中,第i项作业的权值;

E(C[i]):第i项调度作业的期望完成时间。

2 模型建立

2.1 联合策略

假设有n项待加工的作业,第i项调度作业加工前分别对两部件进行检测,并判断两部件的劣化状态从而对部件安排CM,非完美PM或继续运行。具体的联合策略如下:

2.2 联合模型

单机调度的决策变量为:

(1)

针对不相同两部件的生产系统,建立生产调度与两部件CBM的联合决策模型为:

(2)

s.t.

xij=0,1;i=1,2,…,n;j=1,2,…,n

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式(2)表示为调度作业的总加权期望完成时间。其中,前i项作业的期望完成时间为E(C[i]).E(C[i])包含前i项作业的加工时间和系统中两部件的维修时间。

(9)

式(9)中各项表示具体如下:

p[k]表示为第k项调度作业加工时间;

式(3)-(5)为生产调度的约束条件,即每个作业只能分配到调度序列中的一个位置上加工,每个位置只能加工一项调度作业;式(6)表示为调度序列中,第i项作业的加工时间;式(7)表示为调度序列中,第i项作业的权值;式(8)表示为不同两部件的维修决策约束。

3 联合决策下的维修概率

(10)

两个部件均进行CM的概率为:

(11)

两个部件均进行PM的概率为:

(12)

若两部件中,任意一个部件m进行CM,另外一个部件进行PM的概率分别为:

(13)

(14)

若两部件中,任意一个部件m进行CM,另外一个不安排维修的概率分别为:

(15)

(16)

若两部件中,任意一个部件m进行PM,另外一个不安排维修的概率分别为:

(17)

(18)

3.1 概率密度函数推导

(19)

(20)

(21)

根据以上联合策略的两种情况,可以将第1项调度作业完成时系统内所有可能出现的概率密度函数分别整理表示如下:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

4 数值分析

4.1 有效性分析

对比由2.1节所提出的单机生产调度与不相同两部件CBM的联合决策和前人研究的单机调度与CBM独立决策进行对比。

单机调度独立决策,按加权最短加工时间优化(weighted shortest processing time first,WSPT)规则求得单机调度独立决策问题中的最优解,通过此规则得到的最优调度序列插入到维修活动中。具体参数如表1所示。

表1 调度作业加工时间与权值

独立决策的优化结果与联合决策的优化结果如下表2所示,对比独立决策和联合决策的优化结果。

表2 两种决策的优化对比结果

从表2中可以看出,两种策略优化后的调度序列以及各部件维修序列不相同。

联合决策下的总停机次数比独立决策的总停机次数减少了4次,故障次数减少了2次。

联合决策下的优化目标值比独立决策下的优化目标值相对较少了70.190 6.

因此,采用基于0-1规划的单机调度与CBM的策略可以降低优化目标结果,减少调度过程中的总停机次数,降低了故障次数。

为了说明联合决策在不同作业规模下仍比独立决策具有优势,故随机产生30项、60项、100项作业加工时间和对应的权值,具体优化结果如下表3所示。

表3 不同加工规模下两种联合决策优化结果

30项调度作业时,联合决策的优化目标值降低了129.633 1.

50项调度作业时,联合决策的优化目标值降低了452.589 6.

100项调度作业时,联合决策的优化目标值降低了625.645.

结果表明,在相同规模的作业下,采用联合决策的优化目标值比独立决策的优化目标值均有降低,并随着加工作业规模的增大,最优目标值下降越明显。

4.2 灵敏度分析

由于设备的劣化状态服从Gamma分布,设备的劣化速度与参数α相关,因此其他参数不变的情况下,分别改变α的大小对数值实验进行分析。

表4中,保持部件2的参数α2=4.5不变,改变部件1的参数α1,随着α1的增大,优化后的调度序列发生变化,不相同两部件的维修序列也发生变化。总停机次数和故障次数随着α1的增大而增多。优化目标值从159.306 9增加到323.892 4.

表4 α2=4.5时,α1对优化结果的影响

表5中,保持部件1的参数α1=3.5不变,改变部件2的参数α2,随着α2的增大,优化后的调度序列发生变化,不相同两部件的维修序列也发生一定变化。总停机次数和故障次数随着α2的增大而增多。优化目标值从214.373 4增加到317.044 8.

表5 α1=3.5时,α2对优化结果的影响

优化目标值随着α的增大而增大,α越大,部件劣化速度越快,优化目标值越大。