模块化永磁直线同步电机考虑制造公差的推力鲁棒性优化

龚夕霞 李焱鑫 卢琴芬

模块化永磁直线同步电机考虑制造公差的推力鲁棒性优化

龚夕霞 李焱鑫 卢琴芬

（浙江大学电气工程学院 杭州 310027）

模块化永磁直线同步电机（MPMLSM）具有效率与推力密度高、可靠性和可加工性好等优点，非常适用于长行程运输系统；缺点是批量生产中性能易受到加工公差的影响。针对这一问题，该文提出了一种考虑制造公差的综合多目标鲁棒优化设计方法。首先，基于六西格玛设计方法建立了鲁棒优化模型；其次，采用拉丁超立方采样方法在尺寸公差范围内根据正态分布规律进行抽样，模拟大规模生产时电机尺寸受公差影响可能会出现的各种变化；再次，在尺寸优化范围内均匀抽样构成足够的训练样本，由有限元软件仿真这些抽样方案的推力性能，并基于反向传播神经网络建立电机设计代理模型；然后，应用该代理模型对拉丁超立方采样得到的样本进行电机性能的计算，求解样本整体对应的各优化目标的均值与方差，进而计算多目标优化的适应度；最后，采用非支配排序遗传算法Ⅱ进行全局优化，得到鲁棒优化方案，与不考虑公差的确定性优化方案相比，验证了该方法的有效性。鲁棒优化方案虽然略微增加了电机体积和推力波动，但是其失效概率低，受公差影响小，更加符合产品批量生产过程中的质量要求。

模块化永磁直线同步电机（MPMLSM） 制造公差 鲁棒优化设计 六西格玛设计 代理模型

0 引言

永磁直线同步电机（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）作为一种具有高效率、高推力密度、高可靠性的电机，近年来受到了广泛的关注与应用[1-2]。同时，由于永磁材料含有昂贵的稀土元素，学者们通过采用初级励磁型电机结构[3]、模块化结构以及使用较低最大磁能积永磁材料等手段，实现节约资源、降低成本的目的。模块化永磁直线同步电机（Modular Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, MPMLSM）在初级插入隔磁间隙（磁隙），不仅有利于简化绕线制造过程，还能够提高电机的性能与容错率[4-5]。

在实际工程应用中，电机驱动系统的最终质量很大程度上取决于制造技术、材料多样性、加工公差、装配误差等因素。因此，为保证低产品报废率，应当将这些不确定因素考虑在初期设计中，以满足相应性能指标，实现更高的系统可靠性[6-10]。文献[7]考虑了软磁材料-特性在制造过程中的劣化对电机性能的影响，并将该制造影响作为优化设计的一部分，保证了优化设计方案对制造影响的低灵敏度，但是软磁材料的劣化程度随不同材料、不同加工过程而异，为确定对应的数值变化需进行大量的实验模拟，耗时耗力。文献[8]考虑了电机尺寸误差对产品生产缺陷率的影响，基于六西格玛设计（Design for Six Sigma, DFSS）与蒙特卡罗模拟对内嵌式永磁电机进行了鲁棒性优化，并与确定性优化方案对比，验证了鲁棒设计方案的有效性。文献[9]通过极限学习机求解了PMLSM气隙对称度误差、平行度误差、直线度误差与推力性能的非线性关系，根据设计要求，采用遗传算法求解气隙的几何公差范围，并将公差分配至相关零件上。文献[10]同时考虑了电机尺寸参数与控制参数对电机性能的影响，保证了系统静态与动态性能的鲁棒性，并通过多级框架解决了高维优化问题。无论电机推力、尺寸大抑或小，公差对电机性能的影响都不可忽略，文献[11]对推力可达数百牛顿的高温超导直线同步电机进行了鲁棒优化设计，同时对传统田口参数设计法进行了改进，在增加平均推力、降低推力波动的同时提升了制造质量，提高了求解效率。

由上可见，采用考虑公差的电机优化算法成为了一个研究热点。MPMLSM由于模块化结构更容易受到加工公差的影响，为了提高电机性能，需要采用鲁棒性优化方法进行优化设计。然而，现在鲜有文献对此进行研究。因此，本文针对18槽20极（18S20P）MPMLSM提出了考虑公差的推力鲁棒性优化方法。在介绍拓扑结构与结构参数后，建立了考虑公差的鲁棒性优化模型，包括优化目标函数、优化变量、约束条件与优化方法等。通过全局优化获得了鲁棒性优化方案，并与不考虑公差的确定性优化方案对比，验证了鲁棒优化方法的有效性。研究能为MPMLSM优化设计与推广应用提供帮助。

1 MPMLSM拓扑结构

图1为典型的MPMLSM拓扑结构，其极槽配合为18槽20极（18S20P），采用端部非重叠式隔齿绕组[12-13]，相关性能指标与结构参数见表1。这种隔齿绕组电机不仅具有线圈端部短、效率高、推力密度大等优点，而且平均推力高、容错能力强[14-15]。模块化结构下，电机采用单一铁心就可以实现多种极槽配合，增强了制造灵活性，降低了加工难度。可以看到，在该模块化结构中模块与模块之间存在隔磁间隙，此时相应减小槽的宽度，从而保证齿宽及极距不变。研究表明，该间隙不仅方便了安装，而且在某些结构下还能提高电机的性能[15-16]。

图1 18S20P MPMLSM拓扑结构示意图

2 鲁棒性优化设计模型

2.1 优化设计流程

MPMLSM的特点是将多个独立模块组装成一个整体，拼装的模式使得电机性能容易受到公差的影响，包括加工误差与安装误差，若设计时没有考虑公差，优化方案的性能可能不是最优的，其原因可通过图2确定性优化设计与鲁棒性优化设计的对比来解释。图中，A点为确定性优化中系统的最优解，即范围内输出最小值对应的点，但是当公差（噪声因子）D出现时，可能会引起输出量较大的波动；B点为鲁棒性优化解，相比之下，虽然B点对应的输出值不是全局最小，但是B点受到公差的影响较小，具有较高的鲁棒性，有利于生产加工。也就是说，在传统不考虑公差的优化（确定性优化）过程中最优解是A，而若考虑加工误差，则最优解将是B。由此可见，两种优化方法出现了不同，显然后者更适用于MPMLSM，因此建立鲁棒性优化设计模型至关重要，图3为详细的设计流程，具体步骤如下所述。

表1 MPMLSM性能指标与结构参数

Tab.1 Performance index and structure parameters of MPMLSM

图2 确定性优化设计与鲁棒性优化设计的区别

图3 MPMLSM鲁棒性优化设计流程

第一步，设定西格玛水平并确定优化目标函数。

第二步，为快速、便捷地计算后续优化所需的电机性能，本文先基于有限元软件仿真计算相应的训练样本（该训练样本无需呈正态分布，在尺寸优化范围内通过均匀抽样获取），然后通过反向传播神经网络建立代理模型。

第三步，采用非支配排序遗传算法Ⅱ[17]处理带约束的多目标优化问题，优化过程主要包括抽样与适应度计算：①抽样，为计算目标函数所包含的样本均值与方差，首先需要使样本点在公差范围内呈正态分布，本文采用拉丁超立方抽样方法[18]实现上述目标，以模拟大规模生产时受公差影响可能会出现的电机尺寸组合；②适应度计算，采用第二步训练完成的代理模型计算各个样本对应的电机性能参数，进而计算样本整体的均值与方差，用于代入目标函数之中，得到适应度计算值。

根据适应度计算值得到帕累托前沿，选取最优解，并与确定性优化方案的失效概率进行比较，验证鲁棒性优化设计方案的有效性。

2.2 鲁棒优化目标函数

传统优化模型包括了优化目标以及约束条件，有

式中，为优化目标函数；为输入变量；g为部分电机性能的约束条件；为约束条件的个数。

传统优化模型通常不考虑公差，MPMLSM为了显著降低批量生产中的缺陷率，需要将不可避免的公差（噪声因素）考虑在内，称为考虑制造公差的鲁棒性优化设计，此时优化目标与约束条件需要采用六西格玛设计（DFSS）方法确定[19]。

六西格玛起初主要针对制造业，通过数据收集、研究分布规律，利用正态分布分析每百万次生产中的产品缺陷率（Defects Per Million Opportunities, DPMO），后来在服务业也有相关应用。6从统计意义上就是百万分之三点四，即西格玛水平由DPMO定义，当不合格品率达到3.4DPMO时，产品已经达到了6水平。表2为不同西格玛水平与DPMO的转换关系[20]。由于长期数据分布与短期数据分布之间存在1.5的水平偏移，4只能符合短期要求，6才能满足实际工程长期制造的需求。

表2 西格玛水平、合格率与DPMO的转换

Tab.2 The conversion of Sigma level, qualified rate and DPMO

采用六西格玛设计方法考虑公差（扰动）后，就可以得到MPMLSM鲁棒性优化的优化目标与约束条件，式（1）转变为

对于目标函数最大最小化的情况，目标函数表示为

MPMLSM在保持平均推力基本不变的条件下，需要优化的主要是推力波动与体积，因此以这两者为优化目标，将式（3）转变为多目标优化目标函数，即

2.3 优化变量与约束条件

MPMLSM结构参数中与性能紧密相关的是齿宽、齿高、磁隙、背铁高度、磁铁高度和初级极距，因此将这6个变量作为优化变量，表3为这些优化变量的取值范围。

对于MPMLSM，其优化需要满足以下条件：

（1）在确定性优化结果中次级高度被优化到了约束的临界位置，且六西格玛设计使得约束条件增倍，为使得鲁棒性优化结果收敛，设定磁铁高度以及背铁高度的公差均为负公差。

表3 各优化变量取值范围

Tab.3 The range of optimization variables （单位: mm）

（3）在代理模型中，轭部高度设置为齿宽的一半，为满足代理模型的计算要求、便于优化计算，设定前者公差同样为后者的一半。

（4）考虑组合件的公差累计问题时，采用方均根法（Root Sum Square, RSS）作为公差叠加分析模型，将公差二次方和的根作为累计公差。

（5）优化时电机槽满率增加至50%，以改善电机性能。

根据以上假设条件，就可以得到MPMLSM鲁棒性优化设计的约束条件，有

2.4 代理模型

MPMLSM优化目标函数中的推力波动、约束条件中的推力平均值都由电机设计模型计算得到。传统优化方法中电机设计模型主要为解析算法、等效磁路法及磁网络法等，计算时间短，但是传统方法会对电机结构进行简化，其计算结果无法满足鲁棒优化的模型精度需求。为了提高计算的快速性与适用性，本文采用了基于代理模型的电机设计模型，虽然增加了抽取样本以及训练模型的时间，但训练完成后代理模型的计算速度堪比传统电机设计模型，且精度接近于有限元[21-23]。

在电机尺寸允许范围内均匀采样获得样本库，通过有限元软件仿真计算相应的电机性能参数。接着，通过机器学习的方法对样本库进行训练与学习，得到基于代理模型的电机模型。本文选择反向传播神经网络（Back Propagation Neural Network, BPNN）[24]对样本进行训练，其具有高效、高精度的优点。

MPMLSM代理模型基于8 100个有限元样本训练得到，采用了一层隐含层，决定系数2=0.999 9，方均误差MSE=1.76×10-3，可见代理模型精度很高。图4为代理模型与有限元的推力平均值和波动值对比结果，可以看出所采用的神经网络对推力及推力波动的高维曲线具有足够的学习和表征能力。

3 优化结果

（a）推力平均值

（b）推力波动值

图4 代理模型与有限元计算结果的对比

Fig.4 Comparison between surrogate model results and finite element calculation results

（a）磁钢高度/齿宽制造公差0.1 mm，其余0.05 mm

（b）制造公差均为0.1 mm

表4 不同条件下的鲁棒优化可行解

Tab.4 The feasible solution of robust optimization under different conditions

4 结果对比

在建立的优化模型中，如果不考虑公差，优化目标函数直接是推力波动与体积，无需进行抽样模拟，无需考虑样本的均值与方差，全局优化后得到的结果即为确定性优化方案。MPMLSM确定性优化方案与原样机的对比见表5。

表5 MPMLSM确定性优化方案与原样机对比

Tab.5 Comparison between deterministic optimization design and original design of MPMLSM

图6为不同公差条件下确定性优化结果与鲁棒性优化结果的推力平均值分布情况。显然，推力曲线均呈正态分布规律，但两个鲁棒性优化方案的曲线均值更接近于设定值。

图6 不同公差条件下确定性优化结果与鲁棒性优化结果的推力平均值分布情况

表6 确定性与鲁棒性优化结果的失效概率对比

Tab.6 POF comparison between deterministic and robust optimization results （%）

5 实验验证

5.1 空载反电动势测试

图7 实验样机

图8为MPMLSM在0.43 m/s速度下反电动势波形的实测与有限元结果对比。如图8所示，测得的反电动势基波含量与有限元仿真结果基本保持一致，而谐波分析结果略有差异，这可能是磁钢质量差异性与装配误差导致的。由于基波幅值远远高于谐波幅值，因此谐波的差异对反电动势波形的影响不大。

5.2 推力测试

基于图9所示的推力测试平台，测量d=0控制方案下电机推力平均值与q轴电流的关系。首先，在A轴通入直流电，使得A轴与次级d轴吸合；然后，将电机向前移动1/2极距的距离，以对准q轴位置；最后，在此基础上，根据所测q轴电流，给三相各通入相应大小的直流电，模拟交流电的瞬时状态，并记录推力计测得的推力值。图10为推力平均值与q轴电流的对应关系，有限元仿真结果与实验测量结果基本保持一致，且两者误差低于5%，除样机本体外直流电源输出的不稳定性、测力计测量误差等因素也可能使结果产生偏差。

（a）单位周期内的波形

（b）傅里叶分解结果

图8 空载反电动势的实测与有限元结果

Fig.8 Comparison between measured and finite element results of no-load back electromotive force

图9 推力测试平台

图10 推力平均值与q轴电流的关系

6 结论

考虑到MPMLSM不可避免的公差因素，本文提出了一种考虑公差的鲁棒性优化设计模型，其优化目标函数与约束条件中都加入了样本整体对应的各优化目标的均值与方差。为模拟大规模生产时MPMLSM尺寸受公差影响会发生的变化，采用LHS建立样本库，保证样本在公差范围内呈正态分布；通过BPNN建立电机设计代理模型，经过有限元验证，该代理模型的决定系数为0.999 9，方均误差为1.76×10-3，通过该模型计算出电机性能，进而计算样本整体的均值与方差，得到多目标优化的适应度。最后，采用非支配排序遗传算法Ⅱ全局优化算法得到了鲁棒优化设计方案，解决了带约束的多目标优化问题。

考虑到安装误差同样会对磁隙、气隙等参数产生影响，今后可以在本文优化结果的基础上，进一步针对安装误差对电机进行优化，以提升电机性能的鲁棒性，提高产品制造质量。

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Thrust Robustness Optimization of Modular Permanent Magnet Linear Synchronous Motor Accounting for Manufacture Tolerance

（College of Electrical Engineering Zhejiang University Hangzhou 310027 China）

The modular structure of modular permanent magnet linear synchronous motor (MPMLSM) is beneficial to simplify the winding manufacturing process and improve the motor performance and fault tolerance rate. As a motor with high efficiency, high thrust density, and high reliability, it has received extensive attention and application in recent years. However, in mass production, the modular structure is more susceptible to machining tolerances. In order to improve the motor performance and better meet the quality requirements, this paper proposes a thrust robustness optimization method considering manufacturing tolerance, which provides help for the optimization design and application of MPMLSM.

First, a robust optimization model is established based on design for six Sigma (DFSS), and the optimization objective function is determined according to the sigma level. Then, the Latin Hypercube Sampling (LHS) method is used to sample within the dimensional tolerance range according to the normal distribution law to simulate possible variations in motor dimensions in mass production. A motor design surrogate model based on the Back Propagation Neural Network (BPNN) can calculate the motor performance required for subsequent optimization quickly and conveniently. The training samples of the model are obtained by uniform sampling, and the thrust performance of the samples is simulated by finite element software. Subsequently, the motor performance of the samples obtained by LHS is calculated by the trained surrogate model, and the mean and variance of the whole sample are solved and substituted into the objective function to obtain the fitness value. Finally, Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ is used for global optimization to obtain the Pareto front and robust optimization schemes. Compared with the deterministic optimization scheme, the effectiveness of the method is verified.

Through finite element verification, the determination coefficient of the surrogate model established by BPNN is 0.999 9, and the mean square error is 1.76×10-3. Thus, the motor performance can be calculated quickly and accurately. Under the harsh condition that the allowable thrust variation range () is 2%, the robust optimization scheme can reduce the probability of failure (POF) from 67.32% to 7.96% under condition 1, and from 53.3% to 1.76% under condition 2. Compared with the deterministic optimization scheme without considering tolerance, although the robust optimization design slightly increases the motor volume and thrust ripple, the robustness is improved. At the same time, it can be inferred that the POF of the robust optimization scheme is 0 when≥7% under condition 1 or≥5% under condition 2. The reduction of failure probability indicates that the MPMLSM robust optimization schemes have higher qualification rates in mass production and are less affected by tolerances.

The following conclusions can be drawn: (1) Under the premise of convergence, reducing manufacturing tolerance can reduce the motor volume and make the motor thrust closer to the set value. However, the manufacturing cost is increased. (2)mainly affects the thrust fluctuation, and little affects the volume. Under the same volume condition, the thrust fluctuation increases with the increase of. (3) In the optimization results, the tooth height and primary polar distance vary with different tolerance conditions, while the remaining variables are optimized to optimum values. (4) The POF of the robust optimization scheme is lower than that of the deterministic optimization scheme, especially whenis small. Therefore, the robust optimization scheme has better robustness and is more in line with the quality requirement in mass production.

Modular permanent magnet linear synchronous motor (MPMLSM), manufacture tolerance, robust optimization design, design for six Sigma, surrogate model

TM351

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.221956

国家自然科学基金面上资助项目（52177061, 52107060）。

2022-10-14

2022-11-03

龚夕霞 女，1997年生，硕士，研究方向为模块化永磁直线同步电机设计与优化。E-mail: gongxixia@zju.edu.cn

李焱鑫 男，1988年生，副研究员，硕士生导师，研究方向为新型直线电机与永磁电机的建模分析与优化分析。E-mail: eeliyanxin@zju.edu.cn（通信作者）

（编辑 崔文静）