向量值全纯映射Schwarz引理的刚性

林雄, 李锦成, 王建飞

(华侨大学 数学科学学院, 福建 泉州 362021)

1 预备知识

记D为复平面C上的单位圆盘,即D={z∈C:|z|<1},n维复欧氏空间Cn中的单位球记为

Bn={z=(z1,z2,…,zn)∈Cn:‖z‖<1}。

注意到n=1时,B1=D。记Sn=∂Bn为Cn中的单位球面。单位多圆柱记为

当n≥2时,Bn与Dn不是双全纯等价的[1-2]。

Schwarz引理是复分析的重要定理(Schwarz引理给出全纯映射的一个重要基本性质),也是复分析和复几何研究的一个重要工具。文献[3-15]对Schwarz引理进行了推广及应用。引理1为经典的Schwarz引理。

引理1[3]设f:D→D是全纯映射,f(0)=0,则在单位圆盘D内恒有|f(z)|≤|z|,f′(0)|≤1。|f′(0)|=1或|f(z0)|=|z0|在某个点z0∈D{0}处成立,当且仅当f(z)=eiθz(|z|<1)。其中,θ为实常数。

特别地,若f′(0)=1,则在D内,f(z)≡z。

一般地,如果把引理1中的f(0)=0这个条件去掉,则有Schwarz-Pick引理(引理2)。

引理2[13]设f:D→D是全纯映射,则有

特别地,|f′(0)|≤1-|f(0)|2。

如果f′(0)=1,那么有1≤1-|f(0)|2⟹f(0)=0。

基于此,本文给出了更一般的向量值全纯映射的刚性结果。

2 单位圆盘D上的Schwarz引理的刚性

证明: 证明分两种情况。

情况1若a=0,则f′(0)=1。由Schwarz-Pick引理,1=|f′(0)|≤1-|f(0)|2,从而f(0)=0。再由经典的Schwarz引理,有f(z)=z(|z|<1)。结论得证。

由情况1的结论,对于任意一点ω∈D,有g(ω)≡ω,即f(φa(ω))=-ω。记z=φa(ω),则有

3 向量值Schwarz引理的刚性

引理3[14]如果f:D→Bn是全纯映射,f(0)=0=(0,0,…,0),则对于任意一点z∈D,有

‖f(z)‖≤|z|。

由经典的Schwarz引理,对任意一点ω∈D,有|λ(ω)|≤|ω|,即|〈f(ω),ξ〉|≤|ω|。取ω=z,则‖f(z)‖≤|z|。

引理4[4]若f:D→Bn是全纯映射,则有

定理2设f:D→Bn是全纯映射,若f′(0)=e1=(1,0,…,0),则对任意一点z∈D,有

f(z)=(z,0,…,0)。

证明: 记f(z)=(f1(z),f2(z),…,fn(z)),z∈D。由于f′(0)=e1,从而有

又显然,f1是D上的全纯自映射。那么由定理1,有f1(z)=z(z∈D)。

由引理3,对于任意一点z∈D,有‖f(z)‖≤|z|,即

又因为f1(z)=z,所以有

那么,fj(z)=0,j=2,3,…,n,f(z)=(z,0,…,0),z∈D。

推论1设f:D→Bn全纯,若存在α∈Sn,使得f′(0)=α,则存在n阶酉方阵U,使f(z)=(z,0,…,0)U,z∈D。

定理2对于取值在单位多圆柱Dn(n≥2)上的全纯映射族是不成立的。反例如下。

假设f(z)=(z,z2,…,zn),z∈D。显然,f:D→Dn是全纯映射,且f′(0)=e1。但是,f(z)≡(z,0,…,0),z∈D。

定理2类似于定理1的特殊情况。要想推出类似定理1的一般刚性结果,需要讨论D到Bn的全纯映射族H(D,Bn)的类似Schwarz-Pick引理结论(引理5,引理4的直接推广)。

引理5若f:D→Bn是全纯映射,则对于任意一点a∈D,有

证明: 任意取定一点a∈D,令g(z)=f(φa(z)) (z∈D),则g:D→Bn是全纯映射,且

由引理4,有

再移项可得结论成立。

由引理5,推出更一般的刚性结果(定理3)。

证明: 根据a的选取,分成如下两种情况予以证明。

情况1当a=0时,由定理3,结论显然成立。

情况2当a∈D{0}时,令g(ω)=-f(φa(ω)),ω∈D,则g∈H(D,Bn)且有

g′(0)=e1。

对g应用定理3,即有

g(ω)=ωe1,ω∈D。

再令z=φa(ω),则有

类似推论1的证明,即可得到推论2。