错因再分析，解题不再错

吴世华

同学们在解二次函数相关的问题时，稍有不慎，就会出现顾此失彼的情况。为了帮助同学们更好地掌握二次函数的知识，更深刻地理解二次函数的本质，現将常出现的错误归纳总结，分析如下，希望对大家的学习有所帮助。

例1 已知y=（a+1）xa2+1-2x+3是二次函数，请求出a的值。

【错解】∵y=（a+1）xa2+1-2x+3是二次函数，∴未知数的指数应该是2，即a2+1=2。解得a=±1。∴a的值为±1。

【错因分析】本题做错的原因是对二次函数的定义理解得不透彻，把“二次项系数不等于0”这个条件遗漏了。

【正解】∵y=（a+1）xa2+1-2x+3是二次函数，∴a2+1=2。解得a=±1。又∵二次函数的二次项系数不等于0，即a+1≠0。解得a≠-1。

综上所述，a的值为1。

例2 若函数y=ax2-2x+1的图像与x轴有唯一的交点，请求出a的值。

【错解】函数y=ax2-2x+1的图像与x轴有唯一的交点，令y=0，得ax2-2x+1=0。所以Δ=（-2）2-4a?1=0。解得a=1。

【错因分析】本题做错的原因是审题不清，或者说没有思考到还有另一种可能。此题题干部分说的是“函数”，而不是“二次函数”。因此，当此函数为一次函数时，图像与x轴有唯一的交点，也符合题意。

【正解】当y=ax2-2x+1是二次函数时，函数y=ax2-2x+1的图像与x轴有唯一的交点，令y=0，得ax2-2x+1=0。所以Δ=（-2）2-4a?1=0。解得a=1。

当y=ax2-2x+1是一次函数时，即a=0，此时函数表达式为y=-2x+1，也符合题意。

综上所述，a=1或a=0。

例3 已知二次函数y=x2-2ax+16图像的顶点在坐标轴上，请求出a的值。

【错解】∵y=x2-2ax+16=（x-a）2-a2+16，∴顶点坐标为（a，16-a2）。由题意知，16-a2=0，解得a=±4。

【错因分析】本题考查分类讨论思想。题干中说到“顶点在坐标轴上”，坐标轴包括x轴和y轴，错解中只考虑了顶点在x轴上这一种情况，从而导致解题不完整。

【正解】∵y=x2-2ax+16=（x-a）2-a2+16，∴顶点坐标为（a，16-a2）。

当顶点在x轴上时，16-a2=0。解得a=±4。当顶点在y轴上时，a=0。

综上所述，a的值是±4或0。

例4 已知二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），一次函数y=kx+b图像经过点A，与这个抛物线交于点C，且S△ABC=8，求一次函数的表达式。

【错解】当y=0时，即y=-x2+2x+3=0。解得x1=-1，x2=3。∴A（-1，0），B（3，0）。

设点C坐标为（x，y）。

∵S△ABC=8，∴[12]［3-（-1）］?y=8。

∴y=4。

当y=4时，得x=1。∴C（1，4）。

经过A（-1，0）、C（1，4）的一次函数表达式为y=2x+2。

【错因分析】本题做错的主要原因是没有找全符合题意的情况，三角形的高可能在x轴上方，也可能在x轴下方。

【正解】当y=0时，即y=-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3。∴A（-1，0）、B（3，0）。

设点C坐标为（x，y）。

∵S△ABC=8，∴[12]［3-（-1）］?[y]=8。

∴y=±4。

当y=4时，得x=1。∴C（1，4）。

经过A（-1，0）、C（1，4）的一次函数表达式为y=2x+2。

当y=-4时，得x1=1-[22]，x2=1+[22]。∴C'（1-[22]，-4），C″（1+[22]，-4）。

∴一次函数图像过A（-1，0）、C'（1-[22]，-4）时，表达式为y=（2+[22]）x+2+[22]；一次函数图像过A（-1，0）、C″（1+[22]，-4）时，表达式为y=（2-[22]）x+2-[22]。

综上所述，符合题意的表达式为：y=2x+2、y=（2+[22]）x+2+[22]、y=（2-[22]）x+2-[22]。

（作者单位：江苏省南京宇通实验学校）