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错因再分析,解题不再错

2024-01-30吴世华

初中生世界·九年级 2023年12期
关键词:错因坐标轴表达式

吴世华

同学们在解二次函数相关的问题时,稍有不慎,就会出现顾此失彼的情况。为了帮助同学们更好地掌握二次函数的知识,更深刻地理解二次函数的本质,現将常出现的错误归纳总结,分析如下,希望对大家的学习有所帮助。

例1 已知y=(a+1)xa2+1-2x+3是二次函数,请求出a的值。

【错解】∵y=(a+1)xa2+1-2x+3是二次函数,∴未知数的指数应该是2,即a2+1=2。解得a=±1。∴a的值为±1。

【错因分析】本题做错的原因是对二次函数的定义理解得不透彻,把“二次项系数不等于0”这个条件遗漏了。

【正解】∵y=(a+1)xa2+1-2x+3是二次函数,∴a2+1=2。解得a=±1。又∵二次函数的二次项系数不等于0,即a+1≠0。解得a≠-1。

综上所述,a的值为1。

例2 若函数y=ax2-2x+1的图像与x轴有唯一的交点,请求出a的值。

【错解】函数y=ax2-2x+1的图像与x轴有唯一的交点,令y=0,得ax2-2x+1=0。所以Δ=(-2)2-4a?1=0。解得a=1。

【错因分析】本题做错的原因是审题不清,或者说没有思考到还有另一种可能。此题题干部分说的是“函数”,而不是“二次函数”。因此,当此函数为一次函数时,图像与x轴有唯一的交点,也符合题意。

【正解】当y=ax2-2x+1是二次函数时,函数y=ax2-2x+1的图像与x轴有唯一的交点,令y=0,得ax2-2x+1=0。所以Δ=(-2)2-4a?1=0。解得a=1。

当y=ax2-2x+1是一次函数时,即a=0,此时函数表达式为y=-2x+1,也符合题意。

综上所述,a=1或a=0。

例3 已知二次函数y=x2-2ax+16图像的顶点在坐标轴上,请求出a的值。

【错解】∵y=x2-2ax+16=(x-a)2-a2+16,∴顶点坐标为(a,16-a2)。由题意知,16-a2=0,解得a=±4。

【错因分析】本题考查分类讨论思想。题干中说到“顶点在坐标轴上”,坐标轴包括x轴和y轴,错解中只考虑了顶点在x轴上这一种情况,从而导致解题不完整。

【正解】∵y=x2-2ax+16=(x-a)2-a2+16,∴顶点坐标为(a,16-a2)。

当顶点在x轴上时,16-a2=0。解得a=±4。当顶点在y轴上时,a=0。

综上所述,a的值是±4或0。

例4 已知二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),一次函数y=kx+b图像经过点A,与这个抛物线交于点C,且S△ABC=8,求一次函数的表达式。

【错解】当y=0时,即y=-x2+2x+3=0。解得x1=-1,x2=3。∴A(-1,0),B(3,0)。

设点C坐标为(x,y)。

∵S△ABC=8,∴[12][3-(-1)]?y=8。

∴y=4。

当y=4时,得x=1。∴C(1,4)。

经过A(-1,0)、C(1,4)的一次函数表达式为y=2x+2。

【错因分析】本题做错的主要原因是没有找全符合题意的情况,三角形的高可能在x轴上方,也可能在x轴下方。

【正解】当y=0时,即y=-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3。∴A(-1,0)、B(3,0)。

设点C坐标为(x,y)。

∵S△ABC=8,∴[12][3-(-1)]?[y]=8。

∴y=±4。

当y=4时,得x=1。∴C(1,4)。

经过A(-1,0)、C(1,4)的一次函数表达式为y=2x+2。

当y=-4时,得x1=1-[22],x2=1+[22]。∴C'(1-[22],-4),C″(1+[22],-4)。

∴一次函数图像过A(-1,0)、C'(1-[22],-4)时,表达式为y=(2+[22])x+2+[22];一次函数图像过A(-1,0)、C″(1+[22],-4)时,表达式为y=(2-[22])x+2-[22]。

综上所述,符合题意的表达式为:y=2x+2、y=(2+[22])x+2+[22]、y=(2-[22])x+2-[22]。

(作者单位:江苏省南京宇通实验学校)

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