基于HFLTS 中融合专家权重的群决策模型

朱国成，徐 健，赵瑞华

(1.广东创新科技职业学院通识教育学院，广东东莞 523960；2.云安中学生物组，广东云浮 527500)

0 引言

由于犹豫模糊集[1](Hesitant Fuzzy Sets，HFS)可以使用多个隶属度来刻画决策者对事物的认知心理，所以在具体的多属性群决策(Multi-Attribute Group Decision Making，MAGDM)问题中不但被大量采用，而且其基础理论也被极大拓展.例如，沙秀艳等[2]研究了两个犹豫模糊元(Hesitant Fuzzy Element，HFE)中隶属度数量不同的情形，提出了一种能够比较全面考虑决策者犹豫心理的元素补齐方案，并推导出改进的5 种广义犹豫模糊距离，最后将该理论应用在金融产品投资决策中；朱国成等[3]建立了HFE 的混合和得分函数与混合积得分函数模型，新定义了犹豫模糊加权混合加与犹豫模糊加权混合积两个集结算子并简单分析了算子性质；贾新玲等[4]在加权的HFS 基础上利用Lance距离建立了一种MAGDM 方法.在HFSMAGDM 问题中，存在很多定性的评价问题，此时HFS 中的隶属度若继续采用精确数值表示将完全取决于决策者的主观能动性，并间接降低了决策过程中对于问题客观性审视的要求标准，所以用语言术语来诠释决策者的心理比较合适.在此背景下，犹豫模糊语言术语集[5](Hesitant Fuzzy Linguistic Term Sets，HFLTS)应运而生，自HFLTS 概念提出以来，国内外学者对其理论与应用的研究成果颇多，Wei等[6]利用HFLTS 可能度公式定义了凸组合的运算法则；Wang 等[7]定义了区间值犹豫模糊术语集(Interval-valued Hesitant Fuzzy Linguistic Term Sets，IVHFLTS)概念，并给出了对应的运算法则及排序方法；Lee 和Chen[8]等建立了犹豫模糊语言加权几何平均算子、犹豫模糊语言加权算术平均算子等；王文晶[9]构建了一种多粒度HFLTSMAGDM模型，很好解决了传统多粒度HFLTSMAGDM 模型容易丢失语言包含的信息数据而导致的决策者主观偏好误差大、决策时间长等问题.截止目前，（1）在HFLTSMAGDM 问题中，决策过程都是在相同的HFLTS 属性信息下蕴含的代数结构中进行比较，将犹豫模糊数(Hesitant Fuzzy Numbers，HFN)替换为其它类型的信息数据再进行相关运算[10]的研究文献相对较少；（2）在HFLTSMAGDM 问题中，无论对HFLTS 信息进行融合还是测度都是在语言评价术语的情境下进行，将语言评价术语映射为区间数再利用区间数的相关理论进行运算的研究文献更是匮乏；（3）从平面的角度出发来研究HFLTSMAGDM 问题的文献目前还未见到.为此，本文针对上述三个问题做了进一步研究.首先，将HFLTS 中的LTS 添加对应的决策专家权重，构建了一种考虑决策专家权重的犹豫模糊评价术语集合(Weighted Hesitant Fuzzy Linguistic Term Sets，WHFLTS)；其次，把WHFLTS 中的LTS 转换为相对应的区间数，此时WHFLTS 即转化为考虑专家权重的区间值犹豫模糊集(Weighted Intervalvalued Hesitant Fuzzy Sets，WIVHFS)；再次，对WIVHFS 中的区间值进行测度(测度结果为精确数值)，针对WIVHFS 中的区间值测度的结果及其对应的决策专家权重，以平面点坐标形式进行书写，从而将HFLTS 表达的决策信息范式成功的映射为平面点坐标形式；最后，在二维视角下建立2 个HFE 的大小比较规则与距离模型，并通过在MAGDM 问题中的应用来验证文中方法的可行性.

1 预备知识

定义1[1]已知论域X，集合称为X上的HFS，其中hA(x)是由[ 0,1]中不同数值构成的集合，x为集合A的可能隶属度；称hA(x)为一个犹豫模糊元HFE.

定义2[11]若S={st|t=-ξ,…,-1,0,1,…,ξ}，称hs(y)={stl(y)|stl(y)∈S;l=1,…,#HS}为犹豫模糊语言元素，其中S为对称的语言术语集[12](LTS)，#HS指语言术语的个数.

定义3[11]在犹豫模糊语言元素的基础上，HFLTS记为HS(y)={y,hs(y)|y∈Y}.

定义4[13]已知论域X，集合称为X上的IVHFS；D[ 0,1]表示区间[0，1]上的所有闭区间构成的集合，h(x)表示元素x属于集合的一切可能区间隶属度构成的集合，且有:X→D[ 0,1]，称为一个区间值犹豫模糊元(Interval-valued Hesitant Fuzzy Element，IVHFE).

定义6[15]语言评价术语使用九段制，为了突出中间评价术语的模糊性，在转化为区间数时扩大区分度.具体对应转换分数如表1 所示，且表中的全部信息用集合L表示.

表1 语言评价术语转换表

定义7设ai(i=1,2,…,n)为一组非负实数，且有r=1,2,…,n.若

其 中，i1,i2,…,ir为1,2,…,n中遍历组合的一切r元组，为二项式系数.则称（1）式为Maclaurin 对称平均算子，且其具有以下运算性质：

（1）对于∀i，若ai=a≥0，则

（2）对于∀i，若0 ≤ai≤bi，则有

（3）对于∀i，有

2 加权犹豫模糊集新的测度范式

给予HFS 中的隶属度赋予决策专家权重，曾文艺等[16]定义了加权犹豫模糊集(Weighted Hesitant Fuzzy Sets，WHFS)概念，给出了WHFS 的并、交、补、余等运算法则，并在群决策中讨论了该理论的应用价值.在文献[16]中WHFS 概念的基础上，本文将隶属度与其对应的决策专家权重以点坐标的形式进行书写，从平面二维点做标的角度出发对WHFS 进行测度.为了与文献[16]中的WHFS、WHFE 进行区分，本文将加权的犹豫模糊集、加权的犹豫模糊元分别以符号(W)HFS、(W)HFE进行表示.

定义8已知论域H，称为论域H上的一个(W)HFS，称h(x,ω)为一个(W)HFE，其中

是元素x关于模糊集合H的所有可能隶属度值构成的集合，(γj,ωj)为加权的犹豫模糊数(Weighted Hesitant Fuzzy Number，(W)HFN)；ωj是γj的权重，满足.当(W)HFE 中的元素全部以平面点坐标形式书写以后，在判断两个(W)HFE 的大小时，文献[16]中的方法则不再适用.为此，在定义8 的基础上本文给出以下两个定义来比较(W)HFE之间的大小.

定义9设h(x,ω)为(W)HFE，称s(h(x,ω))为(W)HFE的平面得分值，且

s(h(x,ω))的思想是利用所有的(W)HFN 与最大的(W)HFN(1，1)占比总和的平均值来近似刻画(W)HFE的大小.容易验证式（2）具有以下性质：

（1）单调性：s(h(x,ω))关于隶属度γj及其对应的权重ωj皆单调递增；

定义10设h(x,ω)为(W)HFE，称d(h(x,ω))为(W)HFE的平面离差值，且

式（3）直接反映了(W)HFE 中内部元素(W)HFN 两两之间的相离程度，d(h(x,ω))越大，说明(W)HFE中内部元素(W)HFN之间的相离程度就越明显，进一步说明(W)HFE 内部蕴含的信息差异越大；若(W)HFEh(x,ω)的平面得分值s(h(x,ω))越大，则说明(W)HFE 的内部元素(W)HFN 到最大的(W)HFN(1，1)的距离就越近.

综上，可以应用(W)HFE 的平面得分值s(h(x,ω))与平面离差值d(h(x,ω))来近似判断两个(W)HFEh1(x,ω)和h2(x,ω)之间的大小.

定义11设h1(x,ω)和h2(x,ω)为两个(W)HFE.根据比较(W)HFE 之间的大小定义有如下比较规则:

（1）如果s(h1(x,ω))>s(h2(x,ω))，则h1(x,ω)>h2(x,ω)；

（2）如果s(h1(x,ω))=s(h2(x,ω))，则

（i）d1(h(x,ω))>d2(h(x,ω))时，有h1(x,ω)

（ii）d1(h(x,ω))h2(x,ω).

定义12设h1(x,ω)，h2(x,ω)，h3(x,ω)为3 个(W)HFE，且分别记为

则两个(W)HFEh1(x,ω)和h2(x,ω)之间的几何距离定义为

式中，J1和J2分别为(W)HFEh1(x,ω)和h2(x,ω)中的元素个数.可以验证上述定义的几何距离测度D满足文献[17]中的3距离个条件.

按照文献[16]中的方法，在对两个WHFE 进行距离测度时，需要保证两个WHFE 中的元素个数一致，若不一致则需要按照某种规则添加或减少适量元素以使两者元素个数一致；同时，在具体计算过程中，只有两个WHFE 中对应位置的元素才进行运算.本文将(W)HFE 以点坐标表示后，由式（4）可知，对两个(W)HFE 进行距离测度时不但两者元素个数无需相等，而且2 个(W)HFE 中的元素全部参与运算，这样做可以体现出两个(W)HFE 中所有元素信息的关联性.故本文方法更具代表性.

3 加权犹豫模糊集获取方法

定义13在MAGDM 问题中，决策专家集Z={z1,z2,…,zt,…,zT}，其权重分别用ωzt表示且已知；方案集 为A={a1,a2,…,ai,…,aI}，属性集为G={g1,g2,…,gj,…,gJ}，属性的整体权重、个体权重以及综合权重分别用符号表示且皆未知，第t个决策专家给予第i个方案在第j个属性上的评价信息用语言评价术语stij表示(属于定义6中的语言评价术语集合L)，汇总语stij则可得第i个方案在第j个属性上的评价信息为(W)HFEhij(sij,ωij)，且

其中：|hij(sij,ωij) |表示(W)HFEhij(sij,ωij)中的元素个数(语言评价术语的个数)，表示认可语言评价术语的决策专家个数，符号泛指将认可语言评价术语的所有决策专家的权重相加.这里研究的属性皆为效益型类别.

为了将WHFLTSMAGDM 问题中(定义13)的WHFLTS 转换为WIVHFS，只需按照定义6 中语言评价术语对应的区间数值进行替换即可，具体转换过程定义如下.

定义14将(W)HFEhij(sij,ωij)中的语言评价术语替换为对应的区间数

此时加权的区间值犹豫模糊元(Weighted Intervalvalued Hesitant Fuzzy Element，WIVHFE)可用符号Hij(φij,ωij)表示，且

由转换过程可知

由于WIVHFEHij(φij,ωij)在决策过程中不易计算，需要对其中的区间值隶属度进行处理，处理结果为介于0 和1 之间的数(隶属度)，处理之前要先确定最优隶属度.

定义15对于WIVHFEHij(φij,ωij)，在第j个属性上最优隶属度定义为

定义16根据定义5和15，将WIVHFEHij(φij,ωij)中的隶属度分别与最优隶属度进行测度，形式为，故WIVHFEHij(φij,ωij)即被转换为(W)HFE.不妨将(W)HFE用μij(γij,ωij)表示，且

由定义13—16可知

由加权犹豫模糊集新的测度范式可得以下定义.

定义17(W)HFEμij(γij,ωij)的平面得分值s(μij(γij,ωij))为

定义18(W)HFEμij(γij,ωij)的平面离差值d(μij(γij,ωij))为

4 犹豫模糊语言术语集群决策过程

在解决HFLTSMAGDM 问题前，需要先按照加权犹豫模糊集获取方法将HFLTSMAGDM 问题转化为(W)HFSMAGDM 问题，然后求解属性的权重,进而在(W)HFS情境下建立决策模型.

4.1 确定属性的权重(整体权重、个体权重、综合权重)

由于熵值大小能够反映决策过程中各属性获得决策专家的评价信息差异程度，所以熵值法在计算属性权重方面备受国内外学者[18]青睐.决策过程中，根据各个方案在所有属性上的总得分差异程度计算得出的属性权重本文定义为整体权重；根据各个方案在所有属性上的内部得分差异程度计算得出的属性权重本文定义为个体权重；结合属性的整体权重与个体权重最终得出的属性权重本文定义为综合权重.由定义13 可得计算属性权重的步骤如下：

第1步 统计并汇总决策专家组给予方案的语言评价信息表并制作WHFLTS决策矩阵；

第2步 由定义14—16，将WHFLTS 决策矩阵转化为以点坐标形式进行书写的(W)HFS 的决策矩阵；

第3步 根据定义17 计算(W)HFEμij(γij,ωij)的平面得分值

第4步 求属性gj下的熵值

第5步 计算属性的整体权重

第1步 统计并汇总决策专家组给予方案的语言评价信息表并制作WHFLTS决策矩阵；

第2步 由定义14—16，将WHFLTS决策矩阵转化为以点坐标形式进行书写的(W)HFS 的决策矩阵；

第3步 利用定义18，计算(W)HFEμij(γij,ωij)的平面离差值

第4步 计算方案在所有属性上的平面离差值占比

第5步 求属性gj下的熵值

第6步 计算属性的个体权重

（3）确定属性的综合权重ωgj(j=1,2,…,J).

4.2 决策步骤

根据定义13建立如下决策步骤：

第1步 统计并汇总决策专家组给予方案的语言评价信息表并制作WHFLTS决策矩阵；

第2步 由定义14—16，将WHFLTS决策矩阵转化为以点坐标形式进行书写的(W)HFS 的决策矩阵；

第4步 根据式（7）计算(W)HFEμij(γij,ωij)的平面得分值s(μij(γij,ωij))=πij，并采用属性的整体权重ω′gj、个体权重ω″gj以及综合权重ωgj对πij分别加权，加权形式为

第6步 根据Fσ(ai)(σ=1,2,3；i=1,2,…,I)的大小对各个方案进行排序，由式（1）集结数据的单调性质可知，Fσ(ai)中值大者对应的方案ai为优；

第7步 比较Fσ(ai)(σ=1,2,3)的决策结果；

第8步 结束.

本文决策过程的一个显著特征是：在计算方案的综合属性值的过程中，考虑了从不同角度计算出的属性的权重，并根据3 种属性的权重类别(整体权重、个体权重、综合权重)来对各属性进行加权来比较各方案的优劣.该决策过程为计算方案的综合属性值以及对方案排序提供了一种新的思路.

5 数值算例

某个优秀期刊准备刊载某一研究热点问题论文，编辑部收到相关研究论文4 篇，但由于版面问题无法全部发表，编辑部邀请4位同行评审专家对这4 篇论文进行评审，从创新性(g1)、应用性(g2)以及可读性(g3)等3个维度进行评审，4位评审专家用zt(t=1，2，3，4)表示其权重分别为ωz1=0.24，ωz2=0.26，ωz3=0.28，ωz4=0.22，4 篇论文标记为ai(i=1，2，3，4)，3 个评审维度的整体权重记为ω′gj(j=1，2，3)(未知)，个体权重记为(j=1，2，3)(未知)，综合权重(j=1，2，3)待确定.4 位评审专家给出的4 篇论文的评审信息(语言术语来自于表1)见表2，应用本文方法对4 篇论文进行排序以供编辑部录用参考.

表2 4位评审专家给出的论文语言术语信息表

运算前，由定义14—16，需要先将WHFLTS决策矩阵(如表2)转化为以点坐标形式进行书写的(W)HFS的决策矩阵（如表3）.

表3 (W)HFS的决策矩阵

5.1 计算评审维度的权重

（1）计算评审维度的整体权重.

首先，由式（7）可得4 篇论文在各评审维度上的平面得分值s(μij(γij,ωij))=πij分别为

其次，按照熵值法定义计算评审维度的整体权重，依次可得

（2）计算评审维度的个体权重.

首先，由式（8）计算出μij(γij,ωij)的平面离差值，再根据值计算方案在各属性上的占比，结果如下：

其次，按照之前定义的方法计算出各评审维度的个体权重依次为

（3）计算评审维度的综合权重.

根据式（9）可得评审维度的综合权重依次为

5.2 决策过程

第1步 (W)HFS 的决策矩阵已经建立（如表3），并在此基础上计算出评审维度的三种类别的属性权重.

第2步 利用评审维度的三种类别的属性权重分别对(W)HFE 的平面得分值πij进行加权，依次可得(i=1，2，…，4；j=1，2，3)如下:

本文的决策过程和结果可见表4.

表4 不同评审维度权重类别下的决策结果

由表4可知，从不同角度出发来计算评审维度的权重所得到的结果差别巨大.例如，根据各篇文章在评审维度上的总得分差值差异程度计算出的最重要评审维度是创新性，而根据各篇文章在评审维度上的内部得分值差异程度计算出的最重要评审维度则是应用性.同时表4 进一步表明，无论评审维度的重要性怎样变化以及决策参数r取值如何调整，4 篇文章的排序结果皆为a3>a1>a2>a4，说明本文建立的决策模型对4 篇文章的排序极其稳定，这非常有利于编辑部对4篇文章的录用与否作出判断.

6 结语

为了解决HFLTSMAGDM 问题，本文经过了一系列步骤将HFLTS 决策信息转换为以点坐标形式表达的(W)HFS，并在此基础上建立了2 个HFE 的大小比较规则及度量2 个HFE 的距离模型.在确定属性权重方法方面，本文不但考虑了所有决策方案在属性上的总体得分值差异程度，还兼顾了各个方案在属性上的内部得分差异值，与传统计算属性权重方法相比考虑的因素更加全面.最后利用Maclaurin对称平均算子集结HFE以获取各方案的综合属性值进而对方案排序，数值算例的结果表明本文建立的决策算法高效稳定.通过对文中决策模型的分析对比可以得到以下结论：

（1）将 HFLTSMAGDM 问题转换为(W)HFSMAGDM问题来解决可以达到决策目的；

（2）从平面点坐标的角度出发定义的(W)HFS在具体应用计算时步骤简单快捷；

（3）决策过程中，从各个方案在属性上的整体得分值差异与各个方案在属性上的内部得分值差异分别获取的属性权重虽然差别明显，但是没有影响决策结果，说明本文建立的决策算法平稳有序.

本文方法也还存在不足之处，需要进一步研究并不断完善.例如，对从点坐标角度出发描述的(W)HFS 的科学性没有进行理论推导与证明，虽然新构建的(W)HFSMAGDM 决策模型能够很好解决HFLTSMAGDM 问题，但是其能否在实践中进行有效推广有待验证，特别是从不同角度计算出的不同属性权重类别在解决其它HFLTSMAGDM 问题的算法中对于决策结果是否有影响还需要进一步研究；新建立的判断两个HFE 的大小比较规则与测度两个HFE 的距离模型都能分别达到应用目的，但是其科学性还需理论证明，同时关于其分别具备的性质也没有深入挖掘；决策模型缺少与其他文献中的模型进行有效对比等.