二维三次映射的混沌动力学

2024-01-18陈凤娟丁文豪

浙江师范大学学报（自然科学版） 2024年1期

关键词：马蹄共轭定理

陈凤娟, 丁文豪, 钟溢

(1.浙江师范大学数学科学学院,浙江金华 321004;2.宁波工程学院理学院,浙江宁波 315211)

0 引言

1979年,Holmes[1]研究了如下Duffing方程：

(1)

式(1)中,δ,β,α,f,ω是参数.对固定的δ,β,α,ω>0,当f∈(1.08,2.45)时,方程(1)存在奇异吸引子.为了考察该吸引子的结构,Holmes研究了方程(1)的Poincaré映射,并提出了如下差分方程：

(2)

式(2)中,a,b∈R是参数.当a=2.77,b=0.20时,映射(2)存在如图1(a)所示的吸引子;当a=2.67,b=0.20时,映射(2)存在似Hénon吸引子[2],如图1(b)所示;当a=2.30,b=1.00时,映射出现“8”字形吸引子,如图1(c)所示.上述数值结果的初值均取(x0,y0)=(0.1,0.1),这些吸引子具有正Lebesgue测度的吸引域.而Smale马蹄的吸引域往往是Lebesgue零测集[3], 因此,难以在数值模拟中观测到.那么,映射(2)是否存在Smale马蹄呢?

图1 映射(2)的吸引子

1 主要结果

定理1当0<|b|<1,20a3≥50a2+8a2|b|+135R2(1+|b|)2时,映射F在区域D中存在不变集Λ.进一步,系统(F,Λ)拓扑共轭于三符号动力系统(σ,Σ(3)),其中σ是双边移位映射.

(a)0<|b|<1,20a3≥50a2+8a2|b|+135R2(1+|b|)2

(b)三次曲线Γ1,Γ2和直线L1,L2

下面通过两步完成定理1的证明.首先,在定理1的条件下作出Smale马蹄的横条和竖条,得到映射F的不变集Λ.然后,运用Moser定理[4],证明(F,Λ)拓扑共轭于三符号动力系统.

2 定理1的证明

在证明定理1之前,首先介绍Moser定理和n次复系数多项式的零点性质.

假设U1,U2,…,UN是D中N个互不相交的横条,V1,V2,…,VN是D中N个互不相交的竖条.横条Ui和竖条Vi的直径分别记作d(Ui)和d(Vi)(i=1,2,…,N).

条件(Ⅰ)：对于i=1,2,…,N,F(Ui)=Vi.而且F把Ui的横边映射成Vi的横边,Ui的竖边映射成Vi的竖边.

条件(Ⅲ+)：dF(Sp)⊂SF(p),并且满足|η0|≤μ|η1|.

条件(Ⅲ-)：dF-1(Tq)⊂TF-1(q),并且满足|ξ1|≤μ|ξ0|.

注1满足条件(Ⅰ)与条件(Ⅲ+)、条件(Ⅲ-)意味着条件(Ⅱ)成立.

文献[5]运用Moser定理,对著名的Hénon映射给出了存在Smale马蹄的参数条件.进一步,文献[6]推广了Moser定理.

下面的引理描述了多项式零点的导数性质.

根据定理1,有如下推论：

推论1在定理1的条件下,对任意的x,c∈[-R,R],实系数三次多项式P3(y)=ay-y3-|b|x+c存在3个互不相同的实零点.

证明对三次方程P3(y)=0,应用卡丹公式得到

对任意x,c∈[-R,R],

根据定理1的条件可知

Δ<0.

应用卡丹定理,P3(y)存在3个互不相同的实零点.推论1证毕.

(3)

(4)

(a)a=5.0,b=0.2时的区域D

(b)3个竖条V+,V0和V-

下面确定竖条的原像.记F-1是F的逆映射.根据式(2),得

(5)

根据前面的分析,V+,V0和V-的竖边是三次曲线l+,l-上的一部分,因此,它们的原像是D的竖边x=∓R的一部分.V+,V0和V-的横边位于直线段y1=±R上.根据式(5),y1=R和y1=-R的原像分别是三次曲线s-：bx=ay-y3-R和s+：bx=ay-y3+R,如图4所示.s+与s-亦互相平行,且s+位于s-的右边.经过类似计算知道,三次曲线s+与s-的极值点均位于区域D的外面.因此,F-1(D)∩D是D中的3个横条形区域,记作H+,H0和H-.它们由三次曲线s+,s-与直线段x=±R所围.