关于轨迹方程问题的解法探究

鲁媛媛

【摘  要】  轨迹方程问题较为常见，具体求解时需要深入分析动点条件，确定解法，进而构建思路，简化求解.常见的方法有定义法、相关点法、参数法，本文深入解析方法，探索构建策略，并结合实例加以探究.

【关键词】  高中数学；轨迹方程；解题技巧

轨迹方程问题解法众多，具体求解时可根据问题情形来选择.常见的有定义法、相关点法、参数法，下面深入解析方法，并结合实例加以探究.

解法1  定义法

定义法，即使用曲线的定义求解轨迹方程的方法.具体求解时可分两步：第一步，根据已知条件判断动点轨迹条件符合的基本轨迹，如圆、椭圆、双曲线、抛物线等；第二步，直接根据已知曲线的定义来求解动点的轨迹，并讨论特殊点或特殊位置，确定最终答案.

例1  已知动圆与圆：外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程.

解析  上述求解动圆圆心的轨迹方程，可采用定义法.

设动圆M的半径为r，则根据已知可得

，，

所以.

又知，，

则可得.

根据双曲线的定义可知，点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支.

因为，，

所以，

则点M的轨迹方程为.

点评  定义法求解轨迹方程，关键是把握曲线的特性，故总结常见曲线的几何与参数特性是解题的关键.上述求解动圆圆心M的轨迹方程，易错点为将点的轨迹误认为是整条双曲线.

解法2  相关点法

相关点法又名代入法，即将所求动点坐标代入关联已知点轨迹方程的方法，适用于所求动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动问题中.具体求解时分三步进行：第一步，分析判断动点随着已知曲线上的一个动点的运动而运动；第二步，推求两者的关系式，即，；第三步，将关系式代入到已知曲线动点方程中，整理分析.

例2  定点为圆外一定点，为圆上任一点，的平分线交于点的轨迹方程.

解析  求点Q的轨迹方程，点A为定点，点P为圆上的一点，则点Q与点A之间存在关联性，可采用相关点法来求解.

设点，，

由于OQ平分，

则，

所以，

则，

可解得，

将其代入到圆方程中，

可得，

整理可得 .

由于存在两种情况可能会影响轨迹，具体如下.

情况1  当点P与B重合时，点Q与O也重合，此时点Q的坐标为（0，0），该点已包含在上述轨迹中；

情况2  当点P与C重合时，将变为0°角，

此时点Q的轨迹方程为（），且点（，0）也满足方程.

综上可知，点Q的轨迹方程为

和.

点评  使用相关点法求轨迹方程，解题的关键是：探寻所求的动点与已知曲线上动点之间的关系.上述求解动点Q的轨迹方程时，借助线段的定比分点坐标公式来建立所求点与关联点间的关系，再代入关联点的方程，整理变形终获所得.

解法3  参数法

参数法，即求解时采用设参—消参来求解的方法，设定动点的参数坐标，利用条件消去参数求解.具体求解时可分两步：第一步，引入参数，用此参数分别表示动点的横、纵坐标；第二步，消去参数，得到关于x与y的方程，即为所求的轨迹方程.

例3  椭圆的准线垂直于轴，离心率为，并且经过点，.试求椭圆中心的轨迹方程.

解析  设椭圆中心的坐标为，长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，

则.

由，

得，，

所以椭圆的方程为.

因为点在椭圆上，将它们的坐标代入椭圆方程，

可得，

即，

消去，得，

所以椭圆中心的轨迹方程为.

点评  参数法是求轨迹方程的重要方法，解题的关键是合理选择参数，常用的参数有线参数、角参数、k参数、t参数和点参数等.上述问题中采用参数法求解椭圆中心的轨迹方程，其中c2为参数.

结语

总之，上述深入解析了定义法、相关点法和参数法的构建策略，并结合实例探究解题过程.三种方法适用于不同问题情形，探究学习时要关注三点：一是解读方法，总结适用题型；二是构建分析，探寻解题步骤；三是实例强化，針对性训练，积累解题经验.