回归圆锥曲线定义，巧妙解决应用问题
2024-01-12冯雪婷
冯雪婷
【摘 要】 数学中的定义与概念是解决问题的根本所在，也是破解问题最常用的一种朴素策略与重要思想方法．在解决圆锥曲线问题中，回归圆锥曲线的定义实质，综合已知条件与相关知识加以灵活应用，实现问题的创新与应用，达到解决圆锥曲线问题的目的，提升解题研究与创新应用．
【关键词】 高中数学；圆锥曲线；解题技巧
波利亚在《怎样解题》中认为：“回到定义上来是一项重要的思维活动，并将这一重要思维活动列在解题表的显著位置加以阐述．”圆锥曲线的定义描述的是对应曲线（椭圆、双曲线、抛物线等）最本质的几何特征，是解决圆锥曲线问题的根本出发点，更是数学新知识与数学新思维的生长点与创新点.特别的，在利用圆锥曲线定义来分析与解决问题，可以使得代数运算简化，逻辑推理优化．定义法是解答圆锥曲线问题的根本方法，是“以退求进，以简驭繁”策略下的一种解题模式．
1 抓住圆锥曲线要素切入
曲线要素涉及圆锥曲线的标准方程、焦点、顶点、准线、渐近线等相关的元素，与对应的曲线方程相联系，往往离不开圆锥曲线的定义的应用与转化．
例1 （2021年高考数学新高考Ⅰ卷·14）已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若，则C的准线方程为________．
解析 通过数形结合，根据抛物线的定义确定线段PF的长度，结合两垂直关系的应用，确定两三角形相似，利用相似的性质建立线段的比例关系，进而代入并确定参数p的值，得以求解抛物线的准线方程．
解 由题意可得焦点，
准线方程为：，
如图1所示，由抛物线定义可知，
由于PF与x轴垂直，且PQ⊥OP，
易得△PFO∽△QFP，
所以有，
即，解得，
所以抛物线C的准线方程为：，
故填答案：．
点评 巧妙利用平面几何知识，通过数形结合，利用直观图形，并抓住抛物线的定义加以应用与转化，合理逻辑推理与数学运算，转化线段的长度关系，并通过三角形相似的判断与性质建立对应的关系式，从而得以应用．
2 抓住圆锥曲线特征切入
曲线特征涉及圆锥曲线的形状，主要是椭圆或双曲线的离心率，线段的比例，动点、动直线等所对应的定点、定值等，也是圆锥曲线的定义的基本综合与应用．
例2 已知F1，F2分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为________．
分析 根据图形直观，利用平面图形中辅助线的构建，挖掘图形中蕴含的几何关系，结合平面几何知识以及双曲线的定义得以确定相关线段的长度，进而构建参数之间的关系，结合双曲线的离心率公式来分析与求解．
解析 如图2所示，延长F2A，交PF1于点B，
由题意可知，△PBA≌△PF2A，
则有，
结合双曲线的定义，可得，
又因为点A是BF2的中点，
可得，
从而可得，
所以该双曲线的离心率，
故填答案：．
点评 抓住圆锥曲线的图形特征，以及平面几何图形的特征性质，通过图形直观，并结合圆锥曲线的定义来转化与应用，合理构建对应平面几何图形并结合相关的图形特征加以分析与处理．
3 抓住图形特征切入
圆锥曲线上对应的平面几何图形（往往是三角形、四边形等）的面积、角度、距离等相关问题，经常要借助圆锥曲线的定义加以应用．
例3 （2021年高考数学全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形PF1QF2的面积为________．
解析 先根据四边形的结构特征判定四边形PF1QF2的形状为矩形，结合矩形的几何性质，并综合利用椭圆定义以及平面几何知识来建立相应的关系式，综合数学运算与逻辑推理来分析与应用．
解 依题可得，结合题设条件可知四边形PF1QF2为矩形，
设，
由椭圆的定义可得，
两边同时平方可得，
利用勾股定理有，
结合以上关于m，n的两式，整理可得，
所以四边形PF1QF2的面积为，
故填：8．
点评 综合利用圆锥曲线的定义，结合对应线段的长度来合理构建对应的关系式，为进一步解决圆锥曲线上对应的平面几何图形的几何特征与性质提供条件．破解的关键是将平面几何图形的对应边或角的元素与圆锥曲线上的相关元素加以联系，进而构建关系，产生联系．
4 结语
借助圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线的综合应用问题中常用的一种基本技巧方法，回归圆锥曲线的定义本源，借助定义先行，合理构建与定义相关的关系式，为进一步的分析与应用奠定基础．回归数学问题的定义，追溯数学问题的本源，让概念走下“神坛”，这是我们学习数学的重要节点．巧妙灵活利用数学中的相关定义，直达问题本质，往往可以优化解题过程，提升解题效益，从而化繁为简、化难为易，达到事半功倍的良好效果，全面提升數学能力与数学核心素养．
