一道2023年解析几何模考题的探究

宋桃富

【摘  要】  从历年高考真题和各地模拟卷可以看到，依托极点极线的背景来命制的圆锥曲线综合问题非常多，考查的不是高等数学知识生搬硬套，而更多的是考查高中生的逻辑推理能力和运算求解能力.教学中，我们可以站在更高处来看待问题，了解知识的背景和原理有助于更好理解问题.

【关键词】  高中数学；椭圆；圆锥曲线

1  试题呈现

试题  （2023年燕博园21题）已知椭圆：的短轴长为，离心率为．点，直线：．

（1）证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；

（2）若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：．

本试题以椭圆为载体，考查圆锥曲线切线、定值问题.问题（1）是以极点、极线为为背景，证明椭圆的切线；问题（2）以调和点列性质为背景，证明直线与椭圆交点的线段乘积等量关系.本题的知识背景深厚，解题方法多样，较好地考查了考生的逻辑推理能力和数学运算能力.

2  证法探究

由题知，因此，

则椭圆方程为：.

联立消去，

可得，，则该方程有两个不相等的实根，所以直线与椭圆相交于两点.

下面从不同视角，对问题（1）的证明切线及问题（2）进行解答.

2.1  问题（1）证明

证法1  设为直线与椭圆的交点，

则，，

直线的方程为，

即.

代入椭圆方程得，

所以，

整理得，

即，

从而.

所以直线与椭圆只有一个交点，即是椭圆的切线.

证法2  由，令，

得，

则过求圆的切线，可得切点弦方程为，从而可知与的两交点，任意一点与连线都是圆的切线，又因为伸缩变换不改变图形的相切和相交特征，从而得证直线与椭圆的两相交点，与的连线都是椭圆的切线.

证法3  过点作椭圆：的切线，

则切点弦所在直线方程为．

所以过作椭圆的切线，

切点弦所在直线方程为，

即，即直线为切点弦.

所以直线与椭圆的交点与的连线是椭圆的切线.

证法4  由，

解得，

所以，

设过直线方程为，

由，

所以，

由得，即过作椭圆的切线，两切线分别为.所以直线与椭圆的交点与的连线是椭圆的切线.

2.2  问题（2）证明

因为四点共线，由（1）可知在线段外，在线段内，所以与的方向相同，与的方向相同，设.

证法1  要证，

只需要，

即证，

不妨设，

因为四点共线，

所以等价于，

即，

化简得，等价于求证.

设直线的方程为，

即，

由，

可得.

又由，

可得，

所以，

从而

.

所以结论成立.

证法2  令，

所以.

又因为，

由得，

所以，

即，

即，

所以点在上，且，

所以由，，

可得.

证法3  令，

由得，

因为点在椭圆上，

可得，

化简得.

同理由，

可得，

所以是方程两根，

从而，

所以.

所以，

即.

3  试题推广

试题适当推广及结论的普遍性探讨，可以起到强化问题的理解，引导学生对问题规律的思考，升华解题思想方法，提高解题的迁移能力，发展学生的创新能力，提升数学学科素养.对于本考题，可以如下试题推广.

结论1  过椭圆外点，作椭圆：的两条切线，切点为；若过点的直线与椭圆交于兩点，与切点弦交于点.则：

（1）切点弦所在直线方程为；

（2）.

结论2  过双曲线外点，作双曲线：的两条切线，切点为；若过点的直线与双曲线交于两点，与切点弦交于点.则：

（1）切点弦所在直线方程为；

（2）.

结论3  过抛物线外点，作抛物线：的两条切线，切点为；若过点的直线与抛物线交于两点，与切点弦交于点.则：

（1）则切点弦所在直线方程为，即；

（2）.

评注  以上结论的证明可参照试题的证明过程，限于篇幅，不再给出.

4  试题的逆向思考

考虑试题的逆命题：已知椭圆：．点，直线：．

（1）直线与椭圆相交于两点，过两点分别作椭圆切线，则：相交于点；

（2）若过点的直线与椭圆交于两点，且直线上一点满足．则点在直线上.

评注  试题的逆命题是正确的，联系结论1至结论3，容易得到三个结论的逆命题，详细的证明留给感兴趣的读者进行研究.

5  试题背景探究

引理1  （极点极线几何特征[1]）以椭圆为例，如图1所示，设为椭圆外一点，过作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于和四点，与交于点，与交于点，则称点为直线关于椭圆的极点，直线为点关于椭圆的极线；另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点作椭圆的两条割线分别交椭圆于和四点，与交于点，与交于点，所以点和直线也是一对极点极线，同理，点和直线也是一对极点极线，因此在中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．如图2所示，当其中一条割线变成切线时，此时几个点就都与切点重合，从而点和切线是一对极点极线.

图1                                     图2

引理2  （极点极线的代数特征[2]）在平面直角坐标系中，设有圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与的对称中心重合的点，在圆锥曲线的方程中，用替换，替换，替换，替换，得到的方程即为以作为极点的极线的方程.即过二次曲线外一点，作曲线：的两条切线，切点为，则切点弦所在直线方程为.

以椭圆为例：

（1）当点在椭圆上时，极线为椭圆在处的切线，如图3所示；

（2）当点在椭圆外部时，极线为过点对椭圆的切点弦所在直线，如图4所示.

图3                              图4

引理3  （极点极线的调和分割性）（以椭圆为例）如图5所示，设极点的极线是直线，过作椭圆的一条割线交椭圆于两点，交极线于点，则成调和点列，即（或写成）.

图5

试题回顾  从极点极线看，试题的问题（1），如上图4，为极点，由引理2极点极线的代数特征，可快速求解极线方程即为直线方程，即直线为极线，从而得证“直线与椭圆的两相交点，任一点与的连线都是椭圆的切线”. 试题的问题（2），如上图5，为极点，由引理3可知，则成调和点列，即，即.站在极点极线的背景知识下，试题的两个问题均可快速得到解决.同时，我们也可以更好的理解命题者如何命制此试题.

6  链接真题

真题1  （2020年新课标Ⅰ卷题20）已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为.

（1）求的方程；

（2）证明：直线过定点.

分析  问题（2）从极点极线看，如图6，设和交于点，和交于点，则为自极三角形，所以点和直线是一对极点极线，设，则极线的方程为，即，又点在直线上，所以，从而，故，这样就得到了直线过定点.

图6

真题2  （2018年新课标Ⅰ卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

分析  问题（2）从极点极线看，极点极线看问题：如图7，设、分别为关于轴的对称点，

则显然四边形构成等腰梯形，其对角线的交点，以为极点，则对应的极线为，即，而和的交点应该在极线上，从而就是和的交点，由图形的对称性不难发现.

且这一结论还可以推广，若不是焦点，而是椭圓内轴正半轴上的一个一般的点，比如可设为，

那么它的极线为，即，所以点必定也能使

图7

7  结语

从往年高考真题和各地模拟卷可以看到，这种依托极点极线的背景来命制的圆锥曲线综合问题非常多，都是从同一知识背景不断挖掘，且又进行不同变式设置，考查的不是高等数学知识生搬硬套，而更多的是考查高中生的逻辑推理能力和运算求解能力，这既体现了传承经典，又适度创新！在平时的教学上，我们可以站在更高处来看待问题，了解知识的背景和原理有助于更好理解问题；另外在平时教学中，对问题多进行变式及结论推广，能有效地培养学生的思维能力和创新能力.

【参考文献】

[1]信统帅，姜坤崇.有心圆锥曲线中的一组调和点列[J]，中学数学研究，2023（06）：36-37.

[2]林国红.极点与极线在圆锥曲线中的应用[J].数理化学习，2019（11）：41-42.