关于导数中零点唯一性问题的方法探究

刘海涛

【摘  要】  对于导数中零点唯一性问题，主要有数形结合法、构造辅助函数法、分区间研究法三种解题方法.在具体求解时要关注问题中函数的特征，合理根据求导后的函数形式选择方法研究.本文根据一道典型例题开展探究，剖析此类问题的解题方法和解题思路，以供教学参考.

【关键词】  高中数学；导数；解题技巧

导数零点唯一性问题是高中数学的重要考点，涉及函数、导数、零点讨论等知识点，思维难度大，考查形式灵活.在教学中，可以围绕如下解题思路展开探究：首先证明函数零点的存在性，然后再证明零点的唯一性.本文将在此思路的基础上总结归纳，将思路转化为实际的解题方法和解题策略.

1  例题呈现

已知函数，求证：函数有唯一零点.

2  方法探究

2.1  数形结合法

数形结合思想是重要的数学思想之一，顾名思义就是将代数和几何联系起来，充分利用两者的优点.代数在证明和计算上更具有严谨性，而几何却更直观，便于理解.两者有机结合，互相转化，就可以将复杂问题简单化.再辅以适当的代数解释，就可以使解题过程更加完整有序.

解  證明函数有唯一零点，

即证明方程有唯一解.

设函数，，

利用数形结合思想，即证明函数的图象与函数的图象有唯一交点.

因为，

所以.

因为，

所以.

所以函数在上单调递增.

当趋于时，可以发现也趋于，

同理当趋向于正无穷时，也趋向于正无穷.

因为，

所以.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

所以.

当趋于时，可以发现趋向于正无穷，

当趋向于正无穷时，趋向于.

综合上述计算结果，可以画出两函数的简图，如图1可知，两函数图象有唯一交点，即方程有唯一解，从而证明函数有唯一零点.

评析  数形结合法要求学生有很好的作图能力，有利于学生加深对于函数图象的理解.要画出图象，就需要解得函数的几何特性，如单调性、渐近线、与坐标轴交点等等，在合理的范围内画出函数图象即可直接看出交点个数.

2.2  构造辅助函数法

函数问题需要通过研究函数来解决，但是题干中的函数往往并不会很好研究，这时候就需要根据题意，合理得构造出另一个能达到题目目的的函数.借助对于新函数的研究，既可以简化解题，又可以得到答案.此方法有助于培养学生的创造能力，让学生在面对不同的函数问题时，能根据自己的想法构造出想要的函数去解决问题，提高数学素养.

解  将函数转化为.

因为函数的定义域是，所以函数有唯一零点等价为函数具有唯一零点.

所以.

因为，

所以.

所以函数在上单调递增.

因为，

所以，

所以时，函数有唯一零点，

所以函数有唯一零点.

评析  构造辅助函数法的关键在于构造，需要对原函数的结构进行合理变形，取某一项来进行研究.大致的思路是将乘除变为加减，超越函数变为简单函数等等，总的来说都是为了简化函数.在平时的教学中，要引导学生多去构造函数，锻炼构造函数的能力，能够根据求导后的函数式写出原函数，就可以在面对其他题目时思路更加开阔.

2.3  分区间研究法

分区间研究法是将函数的定义域分为几个区间进行研究，在整体上，对于函数的研究难度较大，无法得到特殊的值.而将定义域分为不同的区间后，在不同的范围内，边界值可以因为人为构造而变得特殊，便与讨论，最后再将所有的区间整合辨析，就可以得到最终零点的个数.

解  因为，

所以.

当时，，

，

所以，所以在上单调递增.

因为，

所以，

则时，函数存在唯一零点.

当时，

，

所以，

故当，函数不存在零点.

综上所述，函数有唯一零点.

评析  分区间研究法要选好区间的边界值，使得某些区间的讨论是不必要的或简单的，这样就可以在定义域的整体上缩小讨论范围，从而达到简化解题的目的.在平时的训练中，要让学生多注意观察函数的特殊点，以特殊点所取得值为边界，往往就可以到达很好的效果.同时也可以增强学生的题意识.

3  结语

总的来说，上述呈现了导数中零点唯一性问题的三种解题思路，建立在“化归转化”，“数形结合”的数学思想基础上，将复杂的零点问题转化为简单，直观化的一般情形.在平时的教学中，需要结合不同的实例，让学生自主选择方法进行探索研究，既可以增加对于方法的理解，又可以提升数学素养，掌握如作图、构造函数、辨别特殊点的基本数学能力.