考虑设施失效的应急物资多阶段分配研究

苏清华，李晓萍 SU Qinghua, LI Xiaoping

（江苏科技大学 经济管理学院，江苏 镇江 212100）

0 引 言

大规模的自然灾害会造成众多人员伤亡，短时间内产生大量救灾物资需求。灾后救援初期，是应急救援的黄金时间。该时期灾区对应急物资的需求较为紧迫，且物资需求的种类繁多，需求量动态变化。因此，如何在救援初期，将应急物资在公平性较大的情况下，以较短的时间和较大的经济效益分配到灾区，对于灾害前期的应急救援尤为重要。

对于应急物资分配问题，已被国内外众多专家学者研究。宋英华等[1]考虑了以系统运行总成本最小和物资满足率最大为目标，建立了多情景、多物资、多周期的动态应急物流配送模型。Zhong 等[2]考虑了在保证公平性满意度的同时，建立洪涝灾害应急救援物资分配模型。Wang 等[3]以时间最短、成本最低、风险最低为目标，建立了不确定条件下应急物资分配的多周期优化模型。Chen 等[4]考虑了多基地、多受灾区，建立了具有效用优先经济分配策略的应急物资分配多目标优化模型。林勇等[5]以损失攀比效应之和最小及时间攀比效应总和最小为目标，构建了应急物资分配-运输优化模型。

以上研究未考虑设施失效这一现象，由于自然灾害或人为因素影响，设施可能会失效。设施一旦失效将会影响整个物流系统的运行效率。Zhalechian 等[6]考虑运营风险和失效风险，建立了最小化期望成本，最大化供应链网络的可靠水平的双层二阶段混合规划模型。Li 等[7]考虑制造商具有中断风险，建立了一个制造商-客户供应链网络，通过列举所有可能中断的场景进行指派决策。在针对应急设施失效风险的研究方面，李志等[8]考虑了中断情景、设施设防等因素，建立应急物资储备库的选址与库存双目标优化模型。Rayat 等[9]提出了考虑中断风险的多产品多周期选址分配与库存集成问题，建立了双目标优化模型。周愉峰等[10]考虑震后救援初期的设施中断情景、多品种模糊需求等因素，建立了震后救援初期的应急设施选址与物资分配模型。李政祥等[11]考虑物流设施中断，构建了大规模震后可靠性应急物流设施选址与分配模型。

综上所述，关于应急物资分配及设施失效等方面的研究已较为丰富，但有以下方面可以深入研究，主要体现在：综合考虑多配送点、多需求点、多种类物资及应急设施失效且修复后可继续提供服务等方面来对应急物资多阶段分配问题的研究相对较少。在考虑设施失效的研究方面，多是针对常规设施，针对应急物流设施失效的应急物资多阶段分配研究较少，且现有的应急物资分配研究，多是将配送点每阶段分配之后的物资库存量作为已知量。基于此，本文综合考虑灾后设施失效且修复后继续提供服务、多需求点、多配送点、多种物资每阶段物资库存量动态变化等特征，对灾后初期应急物资的分配进行研究，建立考虑设施失效，以应急物资分配公平性最大、应急物资配送总时间最短和应急物资分配总成本最小为目标的多阶段应急物资分配模型。运用增广ε 约束法对模型进行求解，并对相应的参数进行敏感性分析，对目标函数进行均衡分析，验证了模型的有效性。

1 模型研究

1.1 问题描述

为快速响应灾后救援初期的紧急需求，需制定合理的应急物资分配计划，快速的将应急物资从配送点分配到需求点，从而达到缓解灾情的目的。灾后初期在物资量相对不足的情况下，要考虑物资分配的公平性，本文以配送点分配到需求点的分配量与需求点的实际需求量的比值，来衡量物资分配的公平性。此外还要快速响应灾区的需求，本文以应急物资分配的及时度较高为优化目标，以预期需求量加权距离最短，用来表示物资分配的及时度。同时也要考虑救灾的经济性，经济性目标通过系统总成本最小来实现，系统总成本包括设施的运营成本、设施发生失效后的修复成本、需求点未满足需求的惩罚成本及应急物资的运输成本。基于此，本文考虑了设施失效、配送点每阶段库存量动态变化，构建了多配送点、多需求点、多种物资、多阶段的多目标数学模型。要解决的问题是：配送点对需求点的指派、每个需求点应该分配多少物资量，所研究的应急物资多阶段分配问题如图1 所示。

图1 设施失效下的灾后初期应急物资多阶段分配问题

1.2 研究假设

（1） 需求点和配送点的位置以及配送点的供应量已知；（2） 配送点到需求点的运输单价相同；（3） 灾害发生的前一天，需求点的物资需求量及配送点的物资供给量为0；（4） 物资配送点一旦失效，则不能给任何需求点提供应急物资；（5） 物资配送点失效后的修复时间为一天，修复后可继续提供服务。

1.3 模型构建

（1） 集合。I 为需求点i 的集合（i=1,2,…,I ）, ∀i∈I；J 为候选配送点j 的集合（j=1,2,…,J ）, ∀j∈J；C 为应急物资种类c 的集合（c=1,2,…,C ）, ∀c∈C；T 为阶段t 的集合，∀t∈T= ｛0,1,2,3 ｝，t=0 时表示灾害发生的前一天，t=1 表示灾害发生的第一天，t=2 表示灾害发生的第二天，t=3 表示灾害发生的第三天。

（2） 参数。uj为单位物资下配送点j 的运营成本；mj为单位物资下配送点j 失效后的修复成本；p 为单位物资量的运输成本；dji为配送点j 与需求点i 之间的距离；kict为需求点i 在t 阶段对应急物资c 的需求量；ξi为需求点i 未满足需求时的惩罚成本；sjct为在t 阶段，配送点j 提供c 类物资的数量；α 为最小物资满足率；φjt=1 为配送点j 在t 阶段没有发生失效，φjt=0 为配送点j 在t 阶段发生失效。决策变量zjict表示在t 阶段配送点j 对需求点i 的c 类物资的分配量。

（3） 应急物资需求估算。文中把应急物资分为两类，第一类是灾民每天必需的日需类物资，如食品、饮用水等。第二类是非日需类物资，如衣物。本文参考了温与同等[12]建立的基于洪涝灾害的应急物资需求预测模型，建立了如下模型对需求点的物资需求量进行估算。

对于日需类应急物资，其需求点的需求量估算如下：

对于非日需类应急物资，其需求点的需求量估算如下：

式中：kict为需求点i 在阶段t 内（单位天），对物资c 的需求量；αc为需求点i 在阶段t 内，每位灾民对于日需类物资c 的单位时间需求量；βc为需求点i 在阶段t 内，每位灾民对非日需类物资c 的单位时间需求量；bit为需求点i 在时间t 内的受灾人数；Dic（t- h ）为时间t-h 内，需求点i 需要的非日需类应急物资c 的数量。

公式中每人单位时间内物资需求数量[13]如表1 所示。

表1 每人单位时间内物资需求数量

（4） 模型构建。灾后初期配送点的物资供不应求，物资的分配结果更要体现出公平，因此本文以配送点给受灾需求点的分配量与受灾需求点的实际需求量的比值，来衡量物资分配的公平性。

灾后初期应急救援要快速响应灾区的需求，以预期需求量加权距离最短，用来表示设施网络中物资分配的及时度这一目标。

经济性目标通过系统总成本最小来实现。系统总成本包括设施的运营成本、设施发生失效后的修复成本、需求点未满足需求的惩罚成本及应急物资的运输成本。

约束条件如下：

约束条件中式（6） 表示在灾害发生的前一阶段，配送点不为需求点提供服务；式（7） 表示每个需求点接收到的每类物资的数量不小于其物资最小满足量；式（8） 表示每个配送点，在总的配送阶段为需求点提供的每类物资量不超过配送点可提供每类物资的最大可用量，且在配送点失效时不能为需求点提供服务，修复后可继续为需求点提供服务；式（9） 表示每个需求点接收到的物资总量不超过其需求量；式（10） 为非负约束。

2 多目标优化

本文建立的是多目标模型，考虑的目标依次是使物资分配公平性最大，物资配送总时间最短，系统总成本最小。因此本文采用增广ε 约束法对建立的多目标混合整数规划模型进行求解。运用增广ε 约束法[14]，在目标函数和约束条件中加入适当的松弛变量λ1和λ2，从而保证了解的有效性。采用此方法将原多目标函数转化为：

新增约束条件为：

δ 是一个足够小的数，一般取值范围在10-6至10-3之间。

（1） 采用字典优化法，得到ε1和ε2的取值范围。字典优化方法要先根据目标函数的优先级对其进行排序，具有最高优先级的目标函数位于顶部。在本文中，应急物资分配公平性的优先级最高，其次是物资分配的及时度和系统的总成本。具体步骤如下：

第一步：以式（3） 为目标函数，式（6） 至式（10） 为约束条件，得到最优解y*,z*,x*和最优值，将最优解分别代入目标函数式（4） 和式（5），求得最优值和。

第二步：以式（4） 为目标函数，式（6） 至式（10） 为约束条件，添加约束条件z1=-∂1，其中∂≥0，得到最优解y**,z**,x**和最优值，将得到的最优解分别代入目标函数式（3） 和式（5），求得最优值和。

第三步：以式（5） 为目标函数, 式（6） 至式（10） 为约束条件, 添加约束条件z1=z21-∂2，其中∂2≥0 和z2=+∂3，其中∂3≥0，得到最优解y***,z***,x***和最优值，将得到的最优解分别代入目标函数式（3） 和式（4），求得最优值和。

（2） 加入适当的松弛变量后的增广ε 约束法。此方法具体步骤如下：

第一步：利用字典优化法，得到ε1和ε2的取值范围。

第三步：当ii=0, jj=0 时，令ε2=，将ε1与ε2代入求解，若求得的解为有效值，则将该值加入到集合A。

第四步：令jj=jj+1, ε2=ε2-Δε2，将ε1与ε2代入求解，若求得的解为有效值，则将该值加入到集合A。

第五步：重复第四步，直到jj>L 时停止，执行第六步。

第六步：令ii=ii+1, jj=0, ε1=ε1-Δε1, ε2=，将ε1与ε2代入求解，若求得的解为有效值，则将该值加入到集合A，重复第四步和第五步，直到ii>L 时停止，结束计算。

3 实例分析

3.1 数据来源

以河南郑州“7·20”暴雨事件为例进行分析，此次事件使郑州二七区及其所下属的巩义市、登封市、新密市、荥阳市成为重灾区，选取这些区域作为需求点，选取竹林镇、金水区、上街区、崔庙镇、大治镇等地为配送点。此次救援的应急物资有食品、饮用水、衣服三类，通过搜集相关新闻消息得到需求点的受灾情况。以7 月20 日作为灾害发生的第一天，配送点到需求点的单位物资单位距离的运输成本为2 元/公里，配送点到需求点的运输距离如表2 所示，需求点对应急物资的需求量如表3 所示。

表2 配送点到需求点的距离 m

表3 需求点物资需求量

3.2 实例求解

3.2.1 求解结果

用IBM CPLEX 12.10 进行问题的求解，各配送点在三个阶段分别向需求点分配的物资量如表4 所示，表4 中每个单元格的数字依次表示食品（kg）、饮用水（kg）、衣服（件）。

表4 每阶段需求点的应急物资分配方案

上述的物资分配方案，考虑了配送点每阶段的物资动态库存量，建立的模型会根据每阶段配送点向需求点分配的物资量，实时更新配送点每阶段的库存量，即将前一天的物资库存量自动转化为下一天的供给量，从而节约人工统计物资库存量的时间，也可以避免人工统计出差错。

3.2.2 参数敏感性分析

对模型中的关键参数进行敏感性分析，观察不同需求点物资分配的最小满足率及配送点每类物资供应量的改变对应急物资分配方案的影响，本文的首要目标是保证在整个过程中应急物资分配的公平性最大，所以在分析需求点物资最小满足率对最优解的影响时，选取各参数变化下的应急物资分配公平性最大的物资分配方案进行分析比较。

（1） 需求点物资最小满足率对最优解的影响

保持配送点每类物资供应量不变，通过改变需求点物资最小满足率，观察需求点在物资最小满足率不同时的目标值变化情况，如表5 所示（“-”表示无解），在物资最小满足率为0.1 时，该模型的总体物资分配公平性最大，主要是因为物资最小满足率越小，在保证各需求点的需求量满足最小物资需求量后，物资会优先分配给需求量较少的需求点，从而保证模型的整体公平性最大。当最小物资满足率大于或等于0.8 时，由于配送点缺少可供应的物资，无法同时满足所有需求点的最小物资需求量，所以模型无解。在实际制定应急物资分配方案时，决策者应该对物资最小满足率进行合理的设置，既要保证有物资可供分配，又要保证物资分配的公平性及配送过程的高效经济性。

表5 不同物资最小满足率下的目标函数值

（2） 配送点每类物资供应量改变对最优解的影响

当需求点最小物资满足率为0.5 时，通过改变配送点每类物资的供应量，即将配送点每类物资的供应量依次减小35%、减小10%、保持不变、增加10%、增加35%，观察配送点每类物资在不同供应量下的目标函数值的变化情况，如表6 所示（“-”表示无解）。当配送点每类物资的供应量减小35%时，物资供应量不能满足需求点最小物资满足率的要求，所以模型无解；当配送点每类物资的供应量减小10%、增加10%和35%时，在满足需求点最小物资满足率的基础上，剩余可供分配给需求点的物资量逐渐增加，灾区物资未满足需求量的数量逐渐减少，所以应急物资分配总体公平性逐渐增大。因此，对于分配方案决策者来说，应时刻注意配送点物资供应量的情况，当配送点物资供应量减小过多时，应及时采取措施，使配送点的物资能顺利被分配到需求点。

表6 供应点每类物资供应量改变下的目标函数值

3.2.3 多目标均衡分析

在需求点物资最小物资满足率为0.5 的情况下，对目标函数进行均衡分析。

（1） 不同物资分配总成本下物资分配总体公平性与物资配送总时间的关系。设置不同的物资分配总成本，观察在同一个给定的物资分配总成本下，物资分配总体公平性与物资配送总时间之间的关系。由图2 可知，在给定物资分配总成本的条件下，物资分配总体公平性与物资配送总时间之间存在正相关关系，即随着物资配送总时间的增大，物资分配总体公平性也随之增大。在给定的物资分配总成本下，随着物资配送总时间的增加，配送点分配到需求点的物资数量逐渐增多，需求点的物资满足率也逐渐增大，所以物资分配总体公平性也随之增加。

图2 不同物资分配总成本下的物资分配总时间与物资分配总体公平性的关系

在给定的物资分配总成本下，当物资配送总时间较长时，大部分应急物资已经被分配到需求点，为了满足增加的物资配送总时间限制，会对部分物资数量较多的物资进行重新分配，此时应急物资分配的总体公平性变化较小，即在图2 中，随着之后物资分配总时间的增加，曲线的变化形状较为平缓。因此，对于物资分配方案的决策者而言，在对物资配送总成本有限制的情况下，应该在考虑可用于分配的物资数量的条件下，适当增加物资分配的总时间，如增加运输物资的车辆，将物资尽可能多的送到灾区，使物资分配公平性较大。

（2） 不同物资配送总时间下物资分配总体公平性与物资分配系统总成本的关系。设定不同的物资配送总时间，观察在同一个给定的物资配送总时间下，物资分配总体公平性与物资分配总成本之间的关系。由图3 可知，在给定物资配送总时间下，物资分配总体公平性与物资分配总成本之间存在正相关关系，即随着物资分配总成本的增大，物资分配总体公平性也随之增大。当物资公平性大于39.6 的时候，帕累托曲线的形状较为平坦，这表明随着物资分配总成本的增大，物资分配总体公平性的变化较为缓慢。

图3 不同物资配送总时间下的物资分配总成本与物资分配总体公平性的关系

在物资配送总成本较小的情况下，随着物资分配总成本的增加，配送点分配到需求点的物资数量逐渐增加，此时物资分配总体公平性随之增大。在物资配送总成本较大时，随着大部分物资在配送过程中已全部被分配到需求点，为满足增加的物资配送总成本限制，会对物资配送成本较高的物资重新进行分配，此时物资分配总体公平性变化较小，即在图3 中随着之后物资分配总成本的增加，曲线的形状变化较为平缓。因此，对于物资分配方案决策者来说，在对物资分配总时间有限制时，应该在考虑可用于分配的物资数量的条件下，适当增加物资分配的成本，来达到较大的物资分配公平性，降低灾民不满的情绪。

4 结 论

本文针对灾后初期物资供不应求下的应急物资分配问题，在分析现有研究的特点和不足的基础上，综合考虑了设施失效且修复后继续提供服务、灾后救援阶段性特点，配送点的库存数量动态变化，以应急物资分配公平性最大、应急物资配送总时间最短和应急物资分配总成本最小为目标，建立了多配送点、多需求点的灾后设施失效下多目标应急物资多阶段分配模型。以“7·20”郑州暴雨为案例，运用增广ε 约束法对模型进行求解，对相应的参数进行敏感性分析、目标函数进行均衡分析，验证了模型的有效性，得到如下的结果：

供应点每类物资供应量的改变对应急物资分配总体公平性影响较大；在给定物资分配总时间下，物资分配总体公平性与物资分配总成本之间存在正相关关系，在给定物资分配总成本的条件下，物资分配总体公平性与物资分配总时间之间也存在正相关关系。

在保证应急物资分配公平性最大的情况下，得到了兼顾效率和经济效益的应急物资分配方案，为灾后救援过程中应急物资的分配提供了一定的参考。