基于报童模型的供应链网络均衡决策研究

马 军，张平东，于济源 MA Jun, ZHANG Pingdong, YU Jiyuan

（1.沈阳工业大学 管理学院，辽宁 沈阳 110870；2.伊利诺伊大学 香槟分校吉斯商学院，伊利诺伊州 香槟IL 61801）

随着经济全球化的不断深入，市场竞争日趋激烈，供应链网络管理作为企业参与竞争的一种形式和管理方法，在给企业带来收益与竞争力的同时，也给企业带来了许多挑战，整个供应链的稳定和高效运行是我国经济当前最重要的发展目标之一[1-2]。但如今众多的灾难和人为的风险已经极大地影响了各个国家供应链网络的正常运行[3]，2020 年受疫情影响，导致国内很多电子产品生产暂停，其中索尼公司由于供应链中断等问题，导致索尼公司第四财季净利润从上年同期的878.6 亿日元降至126.4 亿日元；2021 年3 月，一艘重型货轮在苏伊士运河发生堵塞，受此影响，还导致国际部分地区汽油需求不足，国际油价短线跳涨[4-5]；关于此类供应链发生风险的报道比比皆是。在基于需求波动风险管理的供应链网络中各个成员之间的关系相对复杂，供应链网络中需求时刻在变动，怎样有效地将供应链网络中各个成员企业间的相对关系进行有效的协调，实现整个供应链系统的运作最优化，是当前供应链管理发展所关注的重要焦点和主要问题[6-7]。

在对整个供应链网络系统进行决策的过程中，供应链网络中各个厂商都是相互独立的决策单元，能够进行分散性的决策，同时各个单元之间通过参与的供应链进行相互合作和竞争[8]。众多企业在竞争中失利是由于所参与的供应链在竞争中失利，而非自身的竞争能力低下。同样，企业在竞争中占有优势也是由于所参与的供应链在竞争中占优。本文聚焦于供应链与供应链之间的竞争，聚焦于参与供应链的企业能给供应链竞争提供的竞争能力支持。报童模型是经典的应对不确定需求的方法[9]，也是供应链网络中个体厂商在生产和库存决策中常用的方法，但在供应链网络均衡模型中还未见相关结合研究，相关的供应链网络风险管理方法无法为供应链网络宏观调控管理提供决策依据。所以我们用报童模型来描述产品生产商如何在需求不确定的环境下确定最优的生产量和价格，这是首次引入报童模型到供应链网络均衡模型中用于定价决策，可以用于指导参与供应链网络中的个体企业优化生产和定价决策，便于决策者宏观调控供应链网络的运行，减少需求波动带来的风险[10]。

1 文献综述

从2001 年开始Anna Nagurney 等[11]就针对供应链网络均衡进行相应的研究和分析，讨论了一系列通过变分不等式解决均衡问题的相应研究。在基于风险管理的供应链网络方面，由于国外对供应链管理和研究起步较早，对基于风险管理的供应链网络研究较为深入。2005 年开始Nagurney 等[12]就将电子商务与供应链风险相结合，考虑到了产品生产商和产品经销商之间存在的风险管理，并进行了相应的研究。在过去的研究中，马军等[13]引入风险发生概率和损失函数来表达制造业供应链网络中节点厂商中断风险的特征；候玲[14]利用非线性规划和博弈理论研究了具有中断风险竞争供应链的均衡策略；鲍潇潇以博弈论的角度，建立了市场需求不确定情况下的数量价格契约动态博弈模型；但以上研究都是从单独个体优化的角度出发，均未涉及到供应链与供应链之间的竞争问题，且大部分研究都是供应链内部成员企业间的竞争与合作问题。王众托院士[15]提出供应链网络均衡模型要更加准确完善地反应实际网络的需要，并结合具体实际网络的运作方法。因此本文引入了报童模型来表示发生风险后需求的不确定性，聚焦供应链与供应链之间的竞争与合作，可以让不同决策者及时调整整个产品供应的均衡模式状态，让整个产品供应链的收益达到最大化，对政府制定宏观调控政策以及提高国内企业的国际竞争力都具有重要的现实意义。

报童模型最早起源于1888 年经济学家Edgeworth 所研究的银行现金流问题，当时没有引起大家的足够重视，直到20 世纪中期由于战争因素，报童问题才得到广大研究者们的广泛关注。由于报童模型的结构相对简单，思路框架比较清晰，所以该模型被广泛的引入到供应链管理中，本文引入了报童模型来表示需求不确定性的特点，将该模型引入到基于风险管理的供应链网络中，用报童模型来优化需求波动的风险，体现了供应链网络在不确定需求下的决策特性，为基于风险管理的供应链中企业的运营与发展和供应链网络之间协作与竞争奠定了理论基础，提供了相应的理论依据和解决方案。

2 产品供应链网络模型的构建

2.1 参数和假设条件

本节构建的两层供应链网络均衡模型主要包括原材料供应商、产品生产商以及整个产品的需求市场。图1 描述了一个一般化的两层供应链网络，假设整个供应链的产品生产商都生产的是同质化的产品。在图1 表示的供应链网络拓扑结构中，一共有m 个原料供应商，有n 个产品生产商，生产的所有产品服务于o 个需求市场，节点i、j、k 分别表示分布在不同区域的原料供应商、产品生产商以及需求市场。

图1 供应链网络拓扑结构图

为了更清晰的描述所研究的问题及数学模型，本文将研究过程中涉及的相关参数及描述汇总如表1 所示。

表1 参数描述

2.2 模型构建

本文假设产品的需求服从均匀分布，由于供应链与供应链之间的竞争实际上是以核心企业所决定的供应链网络与供应链网络之间的竞争，故本文采用中心化的供应链网络结构，考虑整个供应链网络的利益最大化。一条供应链上的成本函数包括原材料供应商到生产商之间的成本和生产商到需求市场之间的成本，主要包括相关原材料和产成品的生产成本、运输成本、存储成本等。假定用c 代表供应链网络中厂商的单位成本，C 代表整个供应链的总成本。以下给出供应链的总成本函数如下：

其中：式（1） 表示供应链s 的总成本为原料供应商i 到产品生产商j 的成本与产品生产商j 到需求市场k 的成本（包括生产成本和运输成本） 的叠加。

在供应链网络运行中，面临需求波动情况较为复杂，本模型针对需求服从均匀分布的情况进行讨论。在整个供应链网络中假设产品需求量为y，并假设产品需求量y 服从U （a,b ）的均匀分布，剩余产品价值为零。供应链s 产品生产商与需求市场之间的销售价格为ps, 销售价格ps与产品需求的均值相关。供应链s 的总收入为πs，产品的销售价格和产品的需求量的均值服从供需关系。

由于产品的需求是服从均匀分布的随机变量，当产品的需求量小于生产商的产量时，此时的收入为π1=·y·f（y ）dy；当产品的需求量大于生产商的产量时，此时的收入为π2=·xs·f（y ）dy，此时供应链s 的最大收益应该为总收入减去总成本。所有供应链网络之间假定为非合作竞争博弈，为了变分不等式的求解方便，本文将目标函数转为求解最小值，即当需求均匀分布时，整个供应链s 的目标函数最小化条件为：

需求均匀分布下基于报童模型的供应链网络均衡条件：根据变分不等式知识，由于整个供应链网络共有S 条供应链，需求均匀分布下整个供应链网络的均衡条件可转化为如下变分不等式：

其中：式（3） 的经济学含义是原材料提供商和产品制造商在面对需求为均匀分布时的价格和产量的最优策略均衡。即确定和满足整个供应链优化目标的同时达到最优的条件，此时的均衡点为纳什均衡，任何单方面的策略调整无法提升厂商的收益。相关详细证明参见文献[11]和[12]。

证明：因为：

式（4） 为产品的需求量小于生产商的产量时的收入函数；式（5） 为产品的需求量大于生产商的产量时的收入函数。由式（6）、式（7） 和式（9） 联立成供应链网络在需求均匀分布下的均衡条件。证毕。

3 数值算例

为了验证需求不确定条件下对供应链均衡价格和均衡流量的影响，本节通过一个实际的案例来说明本文所构建模型的应用情况。图2 表示某品牌小家电供应链网络模型，原料供应商1 位于中国的吉林省、原料供应商2 位于上海市，原料供应商主要负责小家电零部件的生产过程。产品生产商1 位于吉林省、产品生产商2 位于沈阳市，产品生产商主要负责把零部件组装成整机并运输至华北和华东两个需求市场（大型连锁零售企业）。本节采用修正投影法求解该数值案例。

图2 数值算例网络结构图

本案例研究的是中心化的供应链网络均衡模型，考虑整条链的收益最大化，研究四条供应链之间每两条链相互竞争的情况，如s111与s112竞争、s221与s222竞争等，其中每条链上都包括原料供应链、产品生产商以及需求市场。每条链上的企业单位成本如表2 所示。其中，假定原料供应商和产品生产商的成本为固定值，原料供应商1 的成本为1，原料供应商2 的成本为1.1；而产品生产商的成本包括生产成本和运输成本，其中生产成本是固定的，产品生产商1 的生产成本为0.8，产品生产商2 的生产成本为0.9；而运输成本由于运输距离不同，价格也就不同，产品生产商1 到两个需求市场的运输成本分别为0.2 和0.4，产品生产商2 到两个需求市场的运输成本分别为0.4 和0.5；故每条链的产品生产商成本是不同的。

表2 供应链网络中各厂商成本数据

设产品的需求量分别服从U~ （a,b ）的均匀分布。其中：a1=300-10p1+5p2; b1=400-10p1+5p2; a2=300-10p2+5p1; b2=400-10p2+5p1。

表3 供应链网络均衡结果

情况1：通过改变需求边界bi的值，进而改变方差的大小。此时需求的均值和方差同时变化，研究方差变动对产品价格和原材料供应商的产品流量的影响。保持需求边界ai的值不变，改变需求边界bi的值，采用修正投影法给出了当时每条供应链网络均衡时的均衡价格和原材料供应商的产品流量，其中步长ρ=0.001，收敛精度ε=0.000 1。其中，原料供应商1 的产品流量等于s111的产品流量+s112的产品流量；原料供应商2 的产品流量等于s221的产品流量+s222的产品流量。

如表4 所示需求为均匀分布时，均值和方差同时变动对每条供应链上产品价格和原材料供应商产品流量的影响。可以看出随着方差由变化到逐渐增大时，每条供应链的产品价格和原料供应商的产品流量都在增加。也就是说，每条供应链的产品价格和原料供应商的产品流量都与需求波动成正相关，这是因为方差变大，市场上的需求波动就变大，每个厂商为了在需求波动大的情况下获得更多的收益，实现利润的最大化，就要通过提高产品价格来维护自己的利益。而每个原料供应商为了在需求波动大的情况下获得更多的收益，实现利润的最大化，就要通过增加产品流量来维护自己的利益。

表4 需求服从均匀分布时方差变动均衡结果

情况2：需求的均值保持不变，通过改变需求边界ai和bi的值，进而改变方差的大小。此时需求的均值不变，只有方差发生变化，研究方差变动对产品价格和原材料供应商的产品流量的影响。保持需求的均值350 不变，改变需求边界ai和bi的值，采用修正投影法给出了当边界ai和bi的值为（300,400 ）、 （305,395 ）、 （310,390 ）、 （315,385 ）、 （320,380 ）时，即σ2=,675,时，每条供应链网络均衡时的产品价格和原材料供应商的产品流量。

如表5 所示为需求为均匀分布时，需求的均值不变，只有方差发生变化时对每条供应链产品价格和原材料供应商产品流量的影响。可以看出随着需求波动的减小，也就是说，当方差逐渐变小时，每条供应链产品价格和每个原材料供应商的产品流量都在降低。再一次证明每条供应链的产品价格和原料供应商的产品流量都与需求波动成正相关。将表4 和表5 对比可以看出：当需求的均值不变，只有方差发生变化时，对产品价格的影响不大，对原材料供应商产品流量的影响较大。

表5 需求服从均匀分布时方差变动的均衡结果

4 结束语

本文基于供应链与供应链竞争的大背景下，从供应链网络优化的角度出发，将报童模型引入供应链网络均衡模型中，在不确定性需求下用报童模型来优化供应链网络的收益，从而给出了需求均匀分布条件下基于报童模型的供应链网络均衡条件；其次利用变分不等式将整个问题转化为二次优化问题，并采用修正投影法进行求解；最后数值算例给出了需求均匀分布时不同方差下对供应链网络均衡时的流量和零售价格的影响分析。相关结论可以对不确定需求下供应链网络中企业的定价和生产量决策起到一定的指导作用。