联合补货模型研究综述

文/廖文文

联合补货问题是指在库存补充过程中，由单一供应商处对同一订单中不同产品进行分组采购，从而通过分摊固定订购费用来优化总补货成本。由于联合补货中有当大量订购多个产品时可以从供应商处获得折扣、每件产品的固定成本可以降低等诸多好处，联合补货得到广泛的研究。本文旨在对2010年之后联合补货的相关文献进行综述，梳理2010年之后的基于经典联合补货模型的扩展模型，对2010年之后的联合补货研究模型进行汇总总结，为之后联合补货研究趋势提供一些参考。

一、引言

在现实生活中，企业或配送中心的实际运作过程中，总是经常需要对多种产品进行补货，这时往往会需要在一张订单中同时采购多种物品，此称之为联合补货（JRP，Jointreplenishment problem），其是对一组可能联合订购的物品进行协调补充的问题。为一组产品共同下订单的优势之一是分摊与订单相关的固定成本，因此总成本相较于单独下订单的每个产品的成本会降低；另一优势是能够降低在库库存，加快资金的运转。JRP策略为经济订货批量策略的扩展，两者的假设条件也类似，是一类无约束模型。经典的JRP数学模型的总成本主要的费用结构以及假设条件如表1所示。

表1 经典JRP费用结构及假设条件

二、扩展的联合补货问题模型

由于经典JRP问题的假设条件过于理想化，不太符合企业的实际情况。因此，很多学者放宽了一些经典JRP假设条件，来建立更加适合现实情况的问题模型，以实现理论研究与现实情况相结合。本部分将对2010年之后扩展的JRP进行分类总结。由于扩展的JRP涉及范围很广且放松条件过多导致模型复杂，为了尽可能多地覆盖这些扩展问题，我们将扩展的JRP分为五大类：放松需求假设的JRP，有资源约束JRP，放松成本参数假设的JRP，JRP与供应链上的其他环节进行集成研究以及考虑产品性质的JRP。

（一）放松需求假设的联合补货模型。在现实生活中，在补货的过程中需求率并不是恒定不变的，很多学者通过放松经典JRP的需求率是恒定常数的假设条件，将经典JRP模型扩展为放松需求假设的JRP模型，比如动态需求型联合补货和随机需求型联合补货。在动态需求的联合补货模型中，每个产品的需求在每个时期都是有差别的且已知的，若各产品需求在各时期是未知的，则可近似看作是随机型需求的问题。这种随机性需求的JRP模型中的需求往往会被设定成服从一种分布，比如概率服从正态分布或泊松分布。AnneliekeC，Baller等[1]研究了一个动态需求联合补货问题模型，并将传统的运输成本估算法扩展为带近似运输成本的运输成本估算法，使用经典方案来近似计算给定一组客户的运输成本。MarcelloBraglia等[2]构建了具有随机需求和缺货损失销售混合情况下的周期性回顾联合补货问题，采用了无极小极大分布方法来反映需求分布信息缺乏的实际情况，假设只有需求的均值和方差可以被评估。此模型允许缺货，提出一种优先优化算法进行求解，为了研究所开发的算法的性能，已经进行了大量的数值实验，结果表明提出的替代启发式实际上是有效的。

（二）有资源约束的联合补货模型。考虑到实际情况，很多研究者对经典联合补货模型中不存在任何资源约束这一假设条件进行扩展研究。杨璐等[3]构建了有资金约束、运输能力约束、以及“部分产品不能同时运输”这一运输条件等各方面的约束的联合补货模型，该模型是有产品缺陷和允许缺货的，设计了基于遗传算法和差分进化算法的混合求解算法。YanruChen[4]通过建立一个混合整数非线性规划模型，研究了考虑短缺、部分需求替代和缺陷品的联合补货模型，模型纳入了资金、运输能力和装运需求的约束，并提出了三种启发式算法，即二维遗传算法I、二维遗传算法II和差分进化，并通过数值例子证明了所提模型在现实环境中的适用性。借助大量的计算实验研究了启发式算法的性能。

（三）放松成本参数假设的联合补货模型。联合补货的整个环节中存在许多不确定的因素，在补货的过程中成本参数并不完全是恒定不变的，有可能是难以确定的，很多研究者对经典联合补货模型中成本参数是恒定常数这一假设条件进行扩展研究，用模糊理论处理诸多不确定变量（如需求量、库存费用、固定订货成本等）的研究越来受到重视，它是解决不确定环境中的库存优化的一个有效的方法。LinWang等[5]提出了一种具有模糊次要补货成本和模糊库存持有成本的JRP模型，该模型是一个模糊依赖机会规划模型，将传统的模糊仿真方法和差分进化算法相结合，设计了一种混合智能算法来解决这个实际的模糊JRP问题。

（四）基于联合补货策略的供应链协同优化研究。由于现实生活中企业逐渐倾向于供应链整体的优化，很多学者将JRP与供应链上的其他环节进行集成研究，对供应链问题进行协同优化，构建供应链视角下的基于联合补货策略的协同优化模型，为企业决策提供更优的联合决策。王林等[6]在联合补货策略的基础上，将配送中心联合补货与选址库存进行协同优化，建立了新模型，该模型有资源约束且考虑数量折扣，允许缺货，并且设计了一种融合模拟退货思想的双种群独立进化的自适应差分算法对该模型进行求解。

（五）考虑产品性质的联合补货模型。在现实生活中，许多产品有其特殊的性质，比如易变质品、生鲜品、药品等，这些有特殊性质的产品的补货不同于普通产品，因此如何在控制有特殊性质的产品损耗的前提下制定合理的补货策略，部分研究者开始研究考虑产品性质的联合补货模型。张金隆等[7]考虑了新产品情境下，产品扩散，重复购买和产品变质特征对企业定价与补货决策的影响，将重复购买率引入包含价格效应的Bass模型构建了需求演化函数，结合需求函数与变质速率，建立了易变质新产品定价与动态批量补货联合决策模型，并设计了求解算法。

二、评述

通过对2010年之后联合补货的相关文献综述发现，2010年之后研究者更加倾向于将联合补货模型覆盖各种现实问题。基本JRP被从放松需求假设、有资源约束、放松成本假设等多个角度扩展为更为贴合现实的模型，并将从放松需求假设、有资源约束、放松成本假设等多个类型的单一类型研究变成了多个类型混合研究。但放松假设条件过多也会导致求解困难，目前求解的方法主要是启发式算法、差分进化算法或基于问题结构性质设计的各种混合算法等。此外，为了更加贴近现实问题，研究者在联合补货的基础上从供应链角度出发对供应链整体进行优化，将JRP于供应链上的其他环节进行集成研究，同时部分研究者开始考虑易变质品、生鲜品等有特殊产品性质的联合补货模型。目前，有关JRP的研究，基本上已经覆盖了大部分的实际运作问题，在模型改进上基本已经达到饱和状态，后续可以继续考虑从供应链角度将JRP与供应链上的其他环节进行协同研究并在此基础上考虑放松条件的协同研究，但是越发复杂的模型对于求解模型的算法也是一种挑战，此外也可以继续考虑生鲜品等联合补货问题。

引用出处

[1]BALLER A C,DABIA S,DULLAERT W E H,et al，The Dynamic-Demand Joint Replenishment Problem with Approximated Transportation Costs[J]，European Journal of Operational Research,2019,276(3):1013-33，

[2]BRAGLIA M,CASTELLANO D,SONG D，Distribution-free approach for stochastic Joint-Replenishment Problem with backorders-lost salesmixtures,and controllable major ordering cost and lead times[J]，Computers＆Operations Research,2017,79:161-73，

[3]杨璐,陈彦如,杨洁，考虑缺货和产品缺陷的联合补货模型[J]，管理工程学报,2018,32(04):195-203，

[4]CHEN Y,YANG L,JIANG Y,et al，Joint replenishment decision considering shortages,partial demand substitution,and defective items[J]，Computers＆Industrial Engineering,2019,127:420-35，

[5]WANG L,FU Q-L,LEE C-G,et al，Model and algorithm of fuzzy joint replenishment problem under credibility measure on fuzzy goal[J]，Knowledge-Based Systems,2013,39:57-66，

[6]王林,郑贵莲,曾宇容，考虑资源约束和数量折扣的联合补货-选址库存协同优化研究[J]，运筹与管理,2019,28(01):17-26，

[7]张金隆,吴翔,徐浩轩，易变质新产品定价与补货联合决策模型[J]，系统工程学报,2018,33(01):79-89，