具有季节性的周期性传染病模型及基本再生数研究

张睿桐， 曹连英

（东北林业大学 理学院,黑龙江 哈尔滨 150040）

传染病严重影响人类的健康和生活质量，给身心造成伤害，如新冠肺炎、猴痘、霍乱、登革热等。随着传染病模型的提出，数学模型已经成为研究传染病传播、控制的重要工具。近年来，有大量文献对传染病进行了研究，例如分析传染病的动力学性质、疫情变化趋势、传染病预防、控制等。目前对传染病的防控措施主要是疫苗接种、隔离等[1]，研究表明疫苗接种和隔离可以有效地阻断传染病的传播[2-3]。

在疾病传播的过程中，周期性的波动是十分常见的[4]。例如，预防某些传染病的疫苗接种计划就是周期性的，气候的变化以及周而复始的日常生活（如学校的开学和放假，法定节假日等）也具有典型的周期性特征，从而导致一些传染病也具有周期性。在一个周期内传染病传播特性随时间的变化而变化，有时亦呈现不连续性。

基本再生数是传染病一个非常重要的指标。对于传统的传染病模型如非周期系统，已经有一些成熟方法能计算出基本再生数。例如，Guo等[5]给出了具有不连续治疗策略的SIR传染病模型的基本再生数。对于周期连续系统，Wang等[6]讨论了计算周期连续系统基本再生数的方法。Tang等[7]讨论了一种周期不连续系统及基本再生数的阈值动力学行为。基于上述研究内容，本文研究一种轻、重症状感染者的六仓室周期不连续传染病模型，主要研究该周期不连续系统解的存在性和唯一性以及系统的基本再生数。

1 模型建立

依据一些传染病传播强弱与患病严重程度的特点，本文将人群分为6类人群：易感人群S、未确诊具有感染性且症状较轻人群Ia（包括无症状感染人群）、未确诊具有感染性且症状较重的人群Ib、确诊为轻症状感染者自主居家隔离的人群Qh、确诊为重症状感染者并被医院隔离治疗的人群QH、被治愈的感染人群R，Λ为总人口。考虑到疫苗接种、气候变化、学校的开学和放假等典型的周期性特征以及不连续特征，建立了一种不连续的周期传染病模型。设ω> 0为疾病的传播周期，模型假设如下：

1）感染者分为轻症状感染者和重症状感染者2类，且这2类感染者都能通过接触感染易感人群。假设易感人群接触重症状感染者会被感染为轻症状或重症状感染者，而易感人群接触轻症状感染者会被感染为轻症状感染者。

2）传染病具有周期特征且疾病的传播是不连续的。为便于研究，我们将疾病传播周期划分为2个阶段：疾病传染率低的阶段称为淡季，用J1来表示；疾病传染率高的阶段称为旺季，用J2来表示。假设疾病传播初期传染率低。其中，

记βa(t)为易感者与轻症状感染者接触感染为轻症状感染者的感染率，βb(t)为易感者与重症状感染者接触感染为轻症状感染者的感染率，β(t)为易感者与重症状感染者接触感染为重症状感染者的感染率。并假设每一阶段感染率为常数，如下所示：

基于以上假设，建立如下周期不连续传染病模型：

易得无病平衡点E0为

记系统初值P0=(S0,Ia0,Ib0,Qho,QH0)，记总人数Λ(t)=S(t)+Ia(t)+Ib(t)+Qh(t)+QH(t)+R(t)，模型参数如表1所示，疾病传播如图1所示。

图1 疾病的传播过程示意图Figure 1 Diagram of how a disease spreads

表1 模型的参数定义Table 1 Parameter definition of the model

这里参数A、μ、d、βa、βb、β、ra、rb、δh、δH均为非负。考虑重症状感染者到医院隔离治疗比相较于轻症状感染者自主居家隔离比要大，故假设rb>ra。

考虑如下系统:

记D0={P=(S,Ia,Ib,Qh,QH)|P≥0,0≤S+Ia+Ib+Qh+QH≤Λ( 0 )}，显然D0⊂。

定理1.1 对于任意P0∈D0，在初值下的系统(2)在R+中有唯一全局解，

证明 仿照文献[7]证明，可知定理1.1 成立，并且φ(t,P0)对于t和系统(2)所有参数都连续，且对于任意t∈R+，有φ(t,P0)⊆D0，解φ(t,P0)在P0处是可微的。

2 基本再生数

设x=(Ia,Ib,Qh,QH)T。首先，将系统(2)的感染仓室线性化，

E0处对应的Jacobi矩阵F、V如下：

不连续系统感染仓室线性化系统如下：

在计算基本再生数之前，定义一个线性算子L。

考虑线性系统：

并设Y(t,s)(t≥s)为线性系统(4)的演化算子，满足

其中E4是一个4 × 4单位矩阵，易得Y(t,s) =e-V(t-s)。

该积分的意义为到时间t之前所有新增感染者的分布。

设Cω=C(R,R4)为巴拿赫空间中以ω为周期的连续函数，定义其最大范数的表示为‖ ⋅‖c。故有‖I(s)‖c=

定义L(Cω→Cω)为下一个感染算子，

L的谱半径定义为基本再生数，即

下面给出算子L的一些性质。

定理2.1 算子L是正的、连续的、紧的。

广义质点滤波方法与质点滤波方法的不同仅仅在于重采样阶段。常规质点滤波方法是根据后验密度P（·｜z）（公式6）的离散近似进行采样（Musso et al，2001），而广义质点滤波方法是从连续近似中进行采样，

证明 易得算子L在Cω上是正的。注意到Y(t+ω,t+ω-a) =e-Va和I(t)的周期性，显然L为Cω→Cω上的算子。

用符号‖ ⋅ ‖1来表示向量和矩阵的1范数。∃K> 0、k> 0使得

∃K1> 0，使

故

下证在Cω的任意有界集Φ上{L(I)}等度连续。

注意到V可相似对角化，即存在可逆矩阵T使V=T-1υT，其中，υ= diag(V)，则有eVt=T-1eυtT。

对I(t)∈Φ，∀t1,t2∈[0,ω] (t1

考虑如下周期线性系统：

设Wλ(t,s)(t≥s)为周期线性系统(8)的基解矩阵，其中λ∈(0, + ∞)。

考虑λ方程：

引理2.1 (1)若λ0> 0是方程(9)的一个正解，那么λ0是算子L的特征值且R0> 0。(2)如果R0> 0，则λ=R0是方程(9)唯一的解。

由文献[6]定理2.1类似的证明方法可证引理2.1成立。

下面给出本系统的基本再生数。

定理2.2 系统(1)的基本再生数为

其中，

证明 首先计算系统(8)的标准基解矩阵。

当t∈Ji,i= 1,2时，

其中，

其次，易得矩阵Wλ(ω,0)的特征值为

则有ρ(Wλ(ω,0)) = max{λ1,λ2,λ3,λ4}，由指数函数单调递增的性质可知

最后，利用引理2.1可知，定理2.2成立。

本文也适用于多阶段的不连续周期系统的基本再生数计算。

3 结论

本文利用积分算子和谱半径等方法计算出周期不连续传染病模型的基本再生数。由于该模型是在采取隔离措施的基础上进行研究，故后续将移除隔离仓室对其进行讨论，并结合实际数据对模型进行数值模拟，为预测相关传染病发展趋势提供思路。