基于强混偏差样本的各向异性回归函数小波估计的相合性分析

陈 佳

(四川文理学院 数学学院,四川 达州 635000)

0 引言

设{(Xi,Yi),i=1,2,…,n}是定义在概率空间(Ω,F,P)上的同分布随机变量,其密度函数为:

(1)

x∈[0,1]d

(2)

1 各向异性小波理论和Besov空间

tτx=(tτ1x1,…,tτdxd);tτc=(tc)τ

定义指标集:

定义:

(3)

(4)

构成L2(Rd)的一组标准各向异性小波正交基,因此对任意的f∈L2(Rd)

(5)

(i)f∈Lp(Rd),

备注1:此定理蕴含着

(6)

假设回归函数r(x)属于H>0的Besov球,即

2 各向异性小波估计量

对模型给出一些假设,构造小波估计器,给出样本强混的定义。

定义2[12]:设{Xi,i∈Z}是严平稳的随机向量序列

对模型给出一些假设:

H1:存在常数c1>0,使得infh(x)≥c1,x∈[0,1]d

H2:ρ满足ρ∈L(Rd)∩L∞(Rd)。

H3:对任意(x,y)∈[0,1]d×R,存在常数0

H4:序列{(Xi,Yi),i=1,…,n}的强混系数满足α(k)≤λe-c4k,其中λ>0,c4>0。

H5:设f(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)为(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)(k≥1)的密度函数,f(X1,Y1)为(X1,Y1)的密度函数,存在常数c5>0,使得∀(x,y,x′,y′)∈[0,1]d×R×[0,1]d×R。

其中,hk(x,y,x′,y′)=f(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)(x,y,x′,y′)-f(X1,Y1)(x,y)f(X1,Y1)(x′,y′)。

给出回归函数r(x)的小波估计量:

(7)

其中:

(8)

(9)

由H1～H3可知定义是明确的,此估计量是r(x)的一个无偏估计,从引理2可得到证实。

=αjτ;k

另一方面:

Φjτ;k(x)f(x,y)dxdy=αjτ;k

为证明主要结论,还需引用以下引理,其详细证明可参考文献[10]。

3 主要结果

主要结果及相应证明如下:

证明:易知

(10)

只需估计式右侧的随机项和偏差项,先估计偏差项,利用Holder不等式和(θ)条:

根据式(6),当n→∞时,j→∞,则:

(11)

根据Φjτ;k的紧支性和(θ)条件可得:

注意到|Λjτ|～2|jτ|,利用引理5可得:

(12)

结合定理得证。

备注2:从定理的结论可以看到,当1≤p≤2空间为各向同性时(即s1=s2=…=sd=s),则s(d)=s与各向同性空间中的结果一致[7]。

4 结束语

小波独特的局部时频分析功能能够描述各向异性的Besov空间。小波方法被广泛应用于回归函数的估计问题,针对强混条件下带噪声各向异性回归估计模型,在各向异性Besov空间中构造了线性小波估计器,讨论估计器在Lp(1≤p<∞)风险意义下的相合性,为各向异性Besov空间研究回归函数的估计提供了理论指导。