一道算术平均三角形的解法探究与性质推广*

广东省佛山市顺德区容山中学 (528303) 潘敬贞

广东省汕头市澄海中学 (515800) 林建群

一、平均三角形的定义

上述对应的条件分别称为:算术平均三角形;几何平均三角形;平方平均三角形;调和平均三角形.当a+c=λb(λ>1)时,称ΔABC为一般算术平均三角形.本文以一道检测题为例,对算术平均三角形的解法和性质进行探究.

二、试题呈现

三、解法探究

图1

图2

评注:解法一主要利用正余弦定理和三角恒等变形,所用到的知识也是学生较为熟悉的知识,但三角恒等变形对很多学生来说是个痛点,通过解法一的求解实践亦可以提升学生利用三角公式进行恒等变形能力.解法二主要利用到三角形内心的有关性质,解法三则利用解析法构造轨迹方程,这两种解法的视角较为新颖,对拓宽学生视野,引领学生进行深度思考,培育学生的理性精神和创新意识具有重要意义.

四、一般算术平均三角形的性质与推广

通过分析上述命题,我们还可获得如下相关命题:在椭圆中,焦点三角形的顶点位于短轴的端点时,其顶角取到最大值[1],由此可得命题3和命题4.

再结合三角形中的正切定理对文章所讨论的问题进行推广.首先介绍三角形的正切定理:

在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有

在教学中,可以根据命题1至命题6命制试题供学生学习、训练.