指数衰减正弦信号参数的估计与提取

王 震 文新宇 杨黎明

1 北京起重运输机械设计研究院有限公司 北京 100007 2 太原科技大学 太原 030024

3 北京市自动化物流装备工程技术研究中心 北京 100007 4 机械工业物料搬运工程技术研究中心 北京 100007

0 引言

指数衰减正弦信号是一项在众多领域具有广泛关注的研究课题。在通信系统中，指数衰减正弦信号可用于频率调制、信号传输和解调等，在调频广播中使用的信号由指数衰减正弦函数进行频率调制得到。彭冠英等[1]以指数衰减正弦函数作为基础函数对岩石声发射信号进行小波分析，指数衰减正弦信号在语音处理领域可用于语音合成、音频信号分析和音频修复与增强，在控制系统中常作为干扰影响控制系统的稳定和性能，在信号处理领域常用于滤波和频谱分析，其衰减特性可帮助滤除噪声和杂散信号，并提取感兴趣的频谱成分；田仁飞等[2]利用倒谱法检测指数衰减正弦信号的参数，图像处理研究系统中指数衰减正弦信号可生成特定的图像模式、纹理合成和图像增强等；高晓峰等[3]对指数衰减正弦进行线性预测，提高了光谱分辨率，在激光器系统中，常用指数衰减正弦信号帮助实现精确的激光脉冲宽度控制和频率调制，用于激光器驱动、光纤通信和激光加工等应用；在测试和测量领域，指数衰减正弦信号可用于校准仪器以及测试和评估系统的响应特性等性能；通过发送已知特性的信号，并与实际测量结果进行比较，可以实现准确的测试和测量；在电力电子中，指数衰减正弦信号可用于电路模拟、系统辨识和噪声分析等；通过模拟或生成带有指数衰减特性的信号，能更好地理解和研究电子系统的行为和性能。

在机械振动领域，指数衰减正弦信号也是一个重要的研究对象。机械振动是指研究对象在受到外部激励或自身激励下形成的周期性运动；指数衰减正弦信号常用来描述振动信号的衰减特性，具有在振幅、频率和相位上随时间指数衰减的特点。

1 指数衰减正弦信号在机械振动领域研究涉及内容

1）振动信号分析 含阻尼振动的机械系统其振动响应信号往往是指数衰减正弦信号，通过对指数衰减正弦振动信号进行频谱分析、包络分析而获取有关振动信号的频率、振幅、衰减速度等参数信息，以此对分析机械设备故障及结构健康监测等具有重要意义。

2）振动信号检测与识别 借助指数衰减正弦信号的衰减特性进行振动信号的检测与识别。在机械故障诊断中，当机械系统受到损伤或故障时会产生振动信号，这些信号可能带有指数衰减的特征，通过对振动信号进行参数估计以判断故障的类型和程度。

3）振动信号预测与控制 对指数衰减正弦信号的研究还可用于振动信号的预测与控制。振动信号的预测可以帮助工程师预测机械系统的性能、寿命以及可能出现的故障情况，以便采取相应的维修和保养措施。振动信号的控制可通过调节参数降低振动的幅值和频率，提高机械系统的稳定性和运行效果。

4）振动信号降噪与增强 在实际应用中，振动信号受到噪声的干扰，会降低信号的质量和可靠性。指数衰减正弦信号的研究可用于振动信号的降噪和增强，提高信号的清晰度和准确性，对机械故障检测和信号处理具有重要意义。李庆民等[4]介绍了利用指数衰减正弦信号描述高压开关设备振动信息的方式，并给出基于指数衰减正弦的建模方案。

现有的指数衰减正弦信号的估计算法有傅里叶变换获得广泛的应用，但存在频谱泄露[5]。王鸿等[6]对一些基于快速傅里叶变换的指数衰减正弦参数估算方案进行了比较，这些算法又再对快速傅里叶变换算法进行了缺陷弥补；Umesh S 等[7]提出的极大似然法虽然在高斯噪声下效果优异，但运算量较大；苏志刚等[8]介绍了基于线性预测、线性系统辨识、奇异值分解以及迭代估计算法，并提出一种极大似然法结构相似的EXPO 算法，且其参数估计效果比极大似然算法优异；Prony 方法对噪声比较敏感[9]；自适应算法存在的问题是收敛速度慢[10-12]；神经网络算法通常用到相当多的样本对模型结构进行调整[13]；韩鸿哲[14]提出了一种在信噪比较低的环境中效果良好的遗传算法；董拯等[15]将最小二乘法与遗传算法结合，提高了算法运行效率和参数估计的精准度；于晓辉等[16]提出了一种基于状态空间模型用于估计多频输入的参数；一些其他如二阶广义积分器(Second-Order General Integrator，SOGI)算法[17]也被用于指数衰减正弦的参数估计。

堆垛机是一种用于自动存储和检索存储的设备，其在工作过程中需要作提升、水平移动等运动。为了保证运动过程的平滑性和稳定性，可用指数衰减正弦信号作为速度和加速度的参考信号，通过精确控制运动的相关量，从而保证堆垛机的平滑运动，避免冲击和震荡，提高工作效率。堆垛机在堆垛和存储过程中需要准确定位货物，其在高速运动或受到外界干扰时可能会产生振动和抖动，这种不良振动表现为指数衰减正弦信号，通过抑制堆垛机残余振动，可减小振动和抖动的影响，提高工作的稳定性和精确性。对指数衰减正弦信号的分析与提取可用于故障检测和诊断，判断堆垛机是否存在故障或异常情况，有助于及时发现和处理问题，确保设备的平稳运转。因此，对指数衰减正弦信号进行分析、检测、识别、预测和控制机械系统的振动行为，使堆垛机系统的安全性、快速性和可靠性得到保障。

本文首先将堆垛机残余振动描述为多频指数衰减正弦信号的叠加，然后分别介绍了利用辅助滤波器重构单频、多频指数衰减正弦信号的方法，并从多频衰减正弦信号解耦单频衰减正弦信号的方法，最后提出一种扩展观测器用于频率与衰减因子的估计。

2 问题描述

堆垛机是多自由度的含阻尼振动系统，可以简化为欧拉-伯努利梁，其表达式为

式中：q（x）为外部负载，EI为弯曲刚度是一个常数，ϖ为偏转位移。

自由振动响应信号可被描述为多频阻尼正弦振荡信号进行了累加[18，19]，即

由此可知，特征多项式的系数为频率和衰减因子相关的线性函数，通过估计系数便可获得指数衰减正弦信号的频率与衰减因子。由式(2)所述输入信号中提取固有频率分量的指数衰减正弦信号是本文的目的。

1）定理1

假设存在的映射，即

其中，变量ξ（t）∈R2m×1，Hurwitz 矩阵G0∈R2m×2m，L0∈R2m×1，α为标量，可得（G0，L0）可控。

指数衰减正弦d0（t）可重构为

指数衰减矢量δ0（t）∈R2m×1满足

2）证明

根据文献[20]，依据式(7)可将指数衰减正弦信号等价为式(9)，向量θ0T ∈R1×2m。未知向量δ0（t）满足式(10)，结合式(7)、式(8)可得

由此可知，式(10)为一个指数衰减函数，其中变量δ0∈R2m×1为指数衰减矢量。由式(9)可知，利用辅助变量ξ0（t）与常矢量θ0T 可重构指数衰减正弦信号d0（t），故重构后的指数衰减正弦信号将收敛到与d0（t）同频的信号。比对式(11)矩阵W0与式(4)的特征多项式可得

由式（13）得到θ0T，到此证明完成。由定理1 构造一个辅助滤波器，将单频的指数衰减正弦信号d0（t）通过辅助滤波器获得辅助变量ξ0（t）。根据式(9)辅助变量ξ0（t）是与指数衰减正弦信号相关的线性函数，可将指数衰减正弦信号d0（t）重构。

3）推论1

对式(14)所述进行映射，即

多频指数衰减正弦信号d（t）可重构为

指数衰减矢量δ∈R2m×1满足

证明：根据定理1，构造辅助滤波器式(14)，可将多频指数衰减正弦信号重构为式(16)， 向量θ0T∈R1×(2m+2)，未知向量δ（t）满足式(17)，于是有

其中

由于δ（t）是指数衰减向量，利用式(16)，可将多频指数衰减正弦信号d（t）重构为与d（t）同频的辅助函数，故W的特征根满足

通过式（20）可得θT，由此证明完成。

由上述分析可知，通过构造辅助滤波器，能够获得辅助变量，同时可构建出指数衰减正弦信号与辅助变量的函数关系，但并不能从多频衰减正弦信号中提取出某一频率分量的指数衰减正弦信号。

本文所提算法的方框图如图1 所示。为了解耦单频指数衰减正弦d0（t）和多频指数衰减正弦信号d'（t），引入了一个辅助滤波器，重构单频指数衰减正弦d0（t）和多频指数衰减正弦信号d'（t），然后构造扩展观测器估计与频率相关的未知参数θ。最后，利用线性关系获取频率与衰减因子，利用观测器获取待估矢量，实现从失真信号d（t）中提取单频指数衰减正弦d0（t）。

图1 多频指数衰减正弦信号重构策略

3 信号分离

本节主要介绍从输入的多频阻尼正弦振荡d（t）的分离提取其中某一频率分量的阻尼正弦振荡信号d0（t），首先构造辅助滤波器，并将输入信号通过辅助滤波器，获得辅助变量函数与衰减矢量函数，利用辅助变量可重构多频指数衰减正弦信号d'（t）。由于衰减矢量函数将收敛到与单频指数衰减正弦同频的信号，因而可通过衰减矢量函数重构单频指数衰减正弦信号，以实现单频指数衰减正弦与多频指数衰减正弦信号的解耦。

3.1 信号重构

信号重构的目标是利用辅助滤波器重构单频指数衰减正弦d0（t）和多频指数衰减正弦d'（t）。

1）定理2

对于动态式(14)，如果（G，L）满足(15)，则多频指数衰减d'（t）可表示为

未知参数δ1（t）满足

2）证明

与推论1 类似，如果d'（t）满足

可得

根据式(14)、式(21)、式(25)可得

其中

通过比较式(30)两侧的系数可得式1ϑ，由此证明完成。

与前述定理类似，式(22)满足映射式(14)，使d0（t）可描述为

其中， 是与ω0和ρ0相关的常数向量，则有

综上分析，d（t）、d0（t）和d'（t）是与频率相关的向量θ与辅助变量相关的线性函数，该方法通过构造辅助滤波器获取辅助变量。从而可将单频指数衰减正弦重构为辅助变量与频率相关常向量的线性函数，将多频指数衰减正弦信号重构为辅助变量与指数衰减矢量的线性函数，故仅需要获取待估矢量δ1（t）便可实现单频指数衰减正弦与多频指数衰减正弦的分离提取。

3.2 观测器设计

结合上述分析与龙伯格观测器的设计方法，设计观测器用于估计待估矢量δ1（t），观测方程为

多频指数衰减正弦信号d'（t）的估计值为

由式(34)、式(35)可获得输入的多频指数衰减正弦信号d（t）估计值为

综合以上分析，可得单频指数衰减正弦信号d0（t）的估计误差为

多频指数衰减正弦信号d'（t）的估计值为

通过观测方程获得未知参数δ1（t），再利用式(26)和式(27)求得单频指数衰减正弦信号与多频指数衰减正弦信号的估计值。由此可知，指数衰减正弦信号估计值的准确度取决于待估矢量δ1（t）的估计准确度，需要分析待估矢量估计误差的敛散性，以确保待估矢量的估计误差一致最终有界性。现有的研究算法是通过估算阻尼正弦振荡信号的频率、衰减速度、幅值、相角等条件重构各频率分量的指数衰减正弦信号，大大复杂化了多频指数衰减正弦信号的提取过程，并未充分利用已知信息，进而使解耦过程复杂，运算量加大，稳定性亦难以保证。

本文所提算法将多频指数衰减正弦信号通过特定滤波器，重构了信号，只需要利用观测器估计待估矢量，即可简化多频指数衰减正弦信号的解耦过程，减少了运算量。该算法线性定常的结构特点，使得参数的调节和稳定性的分析手段更丰富。

3.3 稳定性分析

在分析待估矢量的估计误差、单频指数衰减正弦信号和多频指数衰减正弦信号的估计误差稳定性时，利用滤波器激励出辅助变量，进而将单频指数衰减正弦信号和多频指数衰减正弦信号解耦，只需估计待估矢量δ1（t）便可解耦，并可实现单频指数衰减正弦信号和多频指数衰减正弦信号的分离提取。

结合式(21)、式(30)可得待估矢量的误差方程为

其中

1）定理3

存在P∈R2m×2m＞ 0，且满足条件

2）证明

构造李雅普诺夫函数为

其中

由分析可知，单频指数衰减正弦信号d0（t）与多频指数衰减正弦信号d'（t）的估计误差取决于待估矢量的估计误差。由于估计误差是一致最终有界的，则由式(37)、式(38)可知，单频指数衰减正弦信号d0（t）与多频指数衰减正弦信号d'（t）的估计误差渐进稳定。

4 参数估计

向量θ与频率和衰减因子相关，其估计方法是首先构造滤波器获得与未知参数相匹配的扩展方程，进而构造观测器估计各分量指数衰减正弦信号的频率以及衰减因子。将式(18)进行扩展，得到

由此，则可作如下定义，即

根据以上分析，给出所设计的估计向量矩阵θ的状态观测器形式为

式中：β为大于0 待求的增益系数。

构造李雅普诺夫函数，即

对上式求导可得

由此，存在P2∈R（2m+2）×（2m+2）＞ 0满足使Λ2＜0，是渐进稳定的。

5 仿真模拟

本文所提算法在Matlab 2023a 环境下进行仿真，赫尔维兹矩阵的参数选取为α＝1，g1＝256，g2＝256，g3＝96，g4＝16。输入信号为

如图2、图3 所示，与文献[11]、文献[12]所述算法相比，本文所述算法频率与衰减因子的估算值拥有快速收敛的特征且结果更精确，待估计参数和待调节参数少；而文献[11]、文献[12]所述自适应算法收敛速度慢，且稳定性分析需要借助复杂的非线性系统理论。如图4、图5 所示，本文观测器方法具有快速收敛、更准确、更稳定的特性，重构后误差更小。

图2 本文所述方法频率估计值

图3 本文所述方法衰减因子估计值

图4 本文所述方法 d0 （t ） 估计值

图5 本文所述方法 d1 （t ） 估计值

6 结束语

本文通过将堆垛机多自由度含阻尼振动系统的振动响应信号描述为多频指数衰减正弦，然后利用观测器估计频率与衰减因子，再利用扩展观测器获得待估矢量，实现指数衰减正弦信号的分离提取。这种将衰减正弦信号线性化的重构方法充分利用了已知信息，大大简化了解耦的难度。