基于教育数学理念解析几何与高等代数课程教学内容的几点思考

宋元凤，丁宝霞，于晓锐，李秀英

张景中院士在二十世纪八十年代提出了教育数学的概念.经过40 多年的发展，教育数学的理念已经得到了广泛推广，学者们编著了很多教育数学方面的书籍和教材，例如张景中［1-3］院士编著的《帮你学数学》《新概念几何》《从数学教育到教育数学》，张景中等［4］编著的《新思路数学》，张奠宙等［5-6］编著的《中学代数研究》《中学几何研究》.一些高校和中小学的数学教师进行了基于教育数学的数学课程教学改革，激发了学生的学习兴趣和内驱力，提高了学生的数学核心素养.

教育数学就是教育的数学，改造数学使之更适宜于教学与学习，教育数学就是要把数学变得容易，要把数学教学变得更容易［3］.如何才能使数学变得更容易，将数学知识融汇串联起来，用更简单、直观的表述方法表述数学概念和结论，用更简单、通用的求解方法解决数学问题，把抽象知识变得具体都能使数学变得更容易.

课题组致力于研究教育数学理念下高校数学类课程的教学改革与实践，并取得了一些成果［7-8］.本文基于教育数学理念研究了平面二次曲线方程的化简，柱面、锥面、旋转曲面的方程求解，向量的共线、共面位置关系的判定，子空间直和的定义和判定.

1 关于平面二次曲线方程化简的知识模块的思考

高校数学与应用数学专业的解析几何课程中平面二次曲线方程化简这部分知识一般先讲解二次曲线的直径、二次曲线的主直径和主方向，通过转轴、移轴的方法化简平面二次曲线的方程，应用不变量化简平面二次曲线的方程［9］.这样讲解平面二次曲线方程的优点是比较全面，缺点是比较抽象，而且用时比较多，学生学起来不感兴趣，觉得难度太大.与此同时，通过转轴与移轴化简二次曲线方程时，针对一个具体的二次曲线方程的化简，如果没有给出新的坐标原点与旋转方向则无法用这个办法进行平面二次曲线方程的化简.应用不变量化简平面二次曲线的方程时理论介绍和逻辑推理过多，学生也会觉得枯燥乏味提不起学习兴趣.

所谓平面二次曲线方程的化简就是把方程（1）通过坐标变换化成一个只含有平方项和常数项的方程.针对平面二次曲线方程的化简给出一种直接的方法即配方法.

设平面二次曲线方程为：

如果a12= 0，对方程（1）直接进行如下配方，有

即

即

通过平面二次曲线方程（2）可以判断出平面二次曲线的大致图形包括圆、椭圆、双曲线等.

如果a12≠0，对方程（1）进行如下配方，有

整理得

令坐标变换为：

方程（3）可化为

这样就把平面二次曲线方程（1）化成了不含交叉项的方程，按照前面介绍的方法就可以把平面二次曲线方程化简成类似于（2）的方程，便于学生理解和接受.

2 关于求解柱面、锥面、旋转曲面方程的知识模块的思考

在求解柱面、锥面、旋转曲面的方程问题时，一些解析几何教材不是按照求解图形方程的三个步骤即建立坐标系、设图形上任意点的坐标、建立关于任意点坐标的方程去求解的.

例1［9］柱面准线方程是

母线方向是-1：0：1，求这个柱面的方程.

解法一 设M1(x1,y1,z1)为准线上的任意一点，则过M1(x1,y1,z1)的母线方程是

并且有

令

于是有

将式（6）代入式（5）消去参数t，得到所求柱面方程为：

这道题开始时是在柱面准线上任取一点，然后把这个点作为已知点，求过这个点的母线方程.这样表述没有错误，但是会给学生造成一点理解上的困难，和中学阶段的求图形方程的叙述略有区别.这道题还可以这样求解.

解法二 设M(x,y,z)为所求柱面上的任意一点，则过点M的母线与准线交于一点，设为M1(x1,y1,z1).过点M的母线方程为：

并且有

令

于是有

将式（8）代入式（7）消去参数t，得到所求柱面方程为：

通过这道例题的求解会发现，这道题的解法二沿用了中学的方法，这种方法学生们更加熟悉，也更容易接受.

3 关于向量位置关系的知识模块的思考

向量位置关系的相关问题是位置关系的一类基本问题，向量的位置关系包括两向量共线、三向量共面等问题.

3.1 两向量共线

两个向量有共线与不共线两种位置关系，判定两个向量是否共线有多种方法，在教授这部分知识时，也需要总结这些方法，从一个高维度上理解这些知识，清楚知识间的脉络关系.

命题1 若向量a≠0，则向量b与向量a共线的充要条件是b=xa，系数x被a与b唯一确定.

命题2 两向量共线的充要条件为这两向量线性相关.

命题3 两非零向量a{X1,Y1,Z1}，b{X2,Y2,Z2}共线的充要条件为

例2［9］设a与b为两个不共线的向量，试证明向量u=a1a+b1b，v=a2a+b2b共线的充要条件为

证明u与v两向量共线的充要条件为向量u与v线性相关，即存在不全为零的数λ与μ，使得λu+μv= 0，于是有

因为a与b为两不共线的向量，所以a与b为两线性无关向量，于是

由于λ与μ不全为零，于是向量u与v共线的充要条件是

3.2 三向量共面

三个向量有共面与不共面的位置关系，判断三个向量是否共面有多种方法.

命题4 若向量a，b不共线，则向量r与a，b共面的充要条件为r=xa+yb，系数被r，a，b唯一确定.

命题5 三向量共面的充要条件为这三向量线性相关.

命题6 三向量a，b，c共面的充要条件为（a，b，c）= 0.

命题7 三个非零向量a{X1,Y1,Z1}，b{X2,Y2,Z2}，c{X3,Y3,Z3}共面的充要条件为

例3 已知直角坐标系内向量a{3,4,5}，b{1,2,2}，c{9,14,16}，判别这些向量是否共面.

解法一 因为

所以a,b,c共面.

解法二 因为2a+ 3b-c= 0，所以向量a，b，c线性相关，于是a，b，c共面.

这类问题一般可以针对一个问题采用多个解法，从而达到知识的横向总结与归纳，加深对相关知识的理解，使数学知识被融汇串联起来，这样数学变得更容易，实现了教育数学理念.

4 关于子空间直和的知识模块的思考

高等代数中子空间直和这部分内容，讲述子空间直和的定义和判定［10］，这部分知识比较抽象，没有直观性，不妨与几何知识相结合进行理解. 三维几何空间可以表示成R3= {(x,y,z)|x,y,z∈R }，xoy坐标面可以表示成P= {(x,y,0)|x,y∈R }，z轴可以表示成Q={(0,0,z)|z∈R }（图1）.显然，P，Q都是R3的子空间，并且R3=P+Q.易知，对于R3中任意向量(x,y,z) 可表示为(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z)，其中(x,y,0) ∈P，(0,0,z) ∈Q，并且向量(x,y,z)的分解式是唯一的.因为几何空间R3的维数是3，子空间P的维数是2，子空间Q的维数是1，可见维数(R3) = 维数(P) + 维数(Q)，并且P∩Q= {0}.R3=P+Q被称为直和.

图1 三维空间中向量的分解

通过三维几何空间引入直和的定义与判定，从而从几何直观上更好地理解这部分知识.

5 结语

本文从教育数学理念出发，利用配方法研究了平面二次曲线方程的化简，利用求解图形方程的常规方法去求解柱面、锥面、旋转曲面的方程，总结了向量的共线、共面位置关系判定的三种方法，从几何直观角度引入了子空间直和的定义和判定，从而使数学学起来更加容易.