变指标Fofana 空间及其预对偶空间∗

2024-01-03杨凡周疆

新疆大学学报(自然科学版)(中英文) 2023年5期

杨凡，周疆

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830017)

0 引言

变指标Lebesgue 空间Lp(·)最早可以追溯到1931 年Orlicz[1]的文章.近些年相关空间Lp(·)的研究主要是基于Kováčik 和Rákosní[2]在1991 年的工作,学者们讨论了空间Lp(·)的基本性质,例如: Banach 空间、自反性、可分性、一致凸性、Hölder 不等式和高维Euclidean 空间上Lp(·)Lq(·)的嵌入.2001 年,Fan 等[3]进一步研究了文献[2]中的结果.2011 年,Diening 等[4]更全面地总结了空间Lp(·)的性质.

1970 年,Stein[5]证明了分数次积分算子Iγ在空间Lp上的有界性.2007 年,Capone 等[6]将该结果推广到空间Lp(·)上.1982 年,Chanillo[7]首次引入了交换子[b,Iγ],其中b ∈BMO(Rn),并且证明了在空间Lp上的有界性.2010 年,Izuki[8]将该结果推广到了空间Lp(·)上.

1926 年,耦合空间(L1,ℓ2)(R)和(L2,ℓ∞)(R)由Wiener 引入[9].1975 年,Holland[10]给出了Wiener 耦合空间的一般形式(Lp,ℓq)(Rn).2012 年,Aydin 和Gürkanli[11]给出了Wiener 型加权变指标耦合空间(Lp(x),Lqω)(Rn)和(,Lqυ)(Rn),证明了它们是Banach 函数空间并给出了相应的Hölder 不等式和嵌入定理.

1988 年,Fofana[12]引入Fofana 型耦合空间(简称Fofana 空间).2019 年,Fofana 空间的预对偶空间由Feichtinger 和Feuto 引入[13].2022 年,Zhang 和Zhou[14]介绍了混范耦合空间及其预对偶空间,并且刻画了分数次积分算子及其交换子的有界性.

受上述工作启发,本文引入变指标Fofana 空间(Lp(·),Lq)α(Rn)(1

1 预备知识

设1 ≤p,q ≤∞,耦合空间(Lp,ℓq)(Rn)的范数记为‖f‖p,q=‖{‖fχIk‖Lp(Rn)}k∈Zn‖ℓq(Rn).对任意r>0,

依然不存在α>0 使得其范数

为克服以上不足之处,Fofana[12]引入了Fofana 空间(Lp,ℓq)α(Rn),定义如下:

此外还有连续型的Fofana 空间(Lp,Lq)α(Rn),定义如下:

其中

B(x,r)={y ∈Rn:|y-x|

分数次积分算子Iγ的定义为:

对于局部可积函数b,分数次积分算子的交换子[b,Iγ]的定义为:

有界平均震荡函数空间BMO(Rn)是指:

其中上确界取遍Rn中的所有球体,fB是f 在球体B 上的平均.

给定开集E ⊂Rn和可测函数p(·):E →[1,∞),Lp(·)(E)是指E 上的可测函数f 构成的集合,使得对于某个λ>0,

其Luxemburg-Nakano 范数为:

满足以上条件的空间称为变指标Lebesgue 空间.若p(·)=p 是一个常数,则Lp(·)(E)与Lp(E)等距同构.全文用p(·)代替p 来强调指标是一个函数而不是一个常数.

(E):={f:f ∈Lp(·)(F),对所有紧子集F ⊂E}.

P(E)为p(·):E →[1,∞)且满足1

p-=essinf{p(x):x ∈E}>1,p+=esssup{p(x):x ∈E}<∞.

定义p′(x)=p(x)/(p(x)-1).B(E)为p(·)∈P(E)且使得Hardy–Littlewood 极大算子M 在Lp(·)(E)上有界的可测函数p(·)的集合.

在文中,对给定的球体B:=B(x,r)={y ∈Rn:|y-x|0.符号C 表示不依赖于主变量的正常数并且每次出现都不一定是相同的.C′∼C′′表示C′与C′′等价,即C′≾C′′(C′≤CC′′),C′′≾C′(C′′≤CC′).

在空间Lp(·)中一些重要引理如下.

引理1[15]设开集E ⊂Rn和p(·)∈P(E),假设p(·)满足

和

则p(·)∈B(E).

引理2[2]设p(·)∈P(E).若f ∈Lp(·)(E)和g ∈Lp′(·)(E),则fg 在E ⊂Rn上可积且

其中rp=1+1/p--1/p+.

上述不等式称为空间Lp(·)上的广义Hölder 不等式.

引理3[4]设p(·)∈P(Rn)满足引理1 中的式(1) 和式(2),则‖χQ‖Lp(·)(Rn)∼|Q|(1/pQ)对每个方体(或球体)Q ⊂Rn都成立.更确切的,

对每个方体(或球体)Q ⊂Rn成立,其中p(∞)=和pQ是p 在Q 上的平均.

引理4[16]假设p(·)∈B(Rn),则存在常数C>0 使得对所有球体B ∈Rn,有

2 变指标Fofana 空间(Lp(·),Lq)α(Rn)

在本节中,我们介绍变指标Fofana 空间(Lp(·),Lq)α(Rn)的定义及其性质.

设p(·)∈P(Rn),1 ≤q ≤∞,耦合空间(Lp(·),Lq)(Rn)的定义为:

定义1设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞.若f ∈Lp(·)loc(Rn),则

(Lp(·),Lq)α(Rn):={f:‖f‖(Lp(·),Lq)α(Rn)<∞},

其中

命题1(Lp(·),Lq)α(Rn)的一些性质:

(i)当p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞时,若p(·)≤α ≤q,则(Lp(·),Lq)α(Rn)˛→(Lp(·),Lq)(Rn).

(ii)若1 ≤α ≤∞,当p(·)=α,q=∞时,(Lp(·),Lq)α(Rn)就是经典的Lα(Rn)空间.

证明由直接计算可得:

(i)当p(·)≤α ≤q 时,

因此,(Lp(·),Lq)α(Rn)˛→(Lp(·),Lq)(Rn)并且‖f‖(Lp(·),Lq)(Rn)≾‖f‖(Lp(·),Lq)α(Rn).

(ii)当p(·)=α,q=∞时,结果显然可得.

命题2设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,则(Lp(·),Lq)α(Rn)是Banach 空间.

证明首先证明三角不等式.对于f,g ∈(Lp(·),Lq)α(Rn),可得

正则性和齐次性是显然的.因此,证明了(Lp(·),Lq)α(Rn)是具备范数‖·‖(Lp(·),Lq)α(Rn)的空间.

‖fj+1-fj‖(Lp(·),Lq)α(Rn)<2-j.

对于几乎处处x ∈Rn,

和

故证明了(Lp(·),Lq)α(Rn)是Banach 空间.

引理5设f ∈(Rn),p(·)∈P(Rn),则

证明假设1

利用广义Hölder 不等式,

由引理3 可得

因此,

由Lebesgue 微分定理可知

命题3设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,(Lp(·),Lq)α(Rn)是非平凡的当且仅当p(·)≤α ≤q.

证明假设(Lp(·),Lq)α(Rn)是平凡的.利用反证法,由引理5 可得

因此,假设α>q,f/=0,则

故证明了α ≤q.

假设α < p(·),可知α < p-.只需证明对任意的球体B(x0,r0) 有‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)=∞,则说明(Lp(·),Lq)α(Rn)是平凡的,故可得到α ≥p(·).接下来证明以上假设,若x ∈B(x0,r/2)和2r0

即B(x0,r0)⊂B(x,r).因此,

另一方面,若p(·)≤α ≤q,很容易得到χB(0,1)∈(Lp(·),Lq)α(Rn).显然的,

若r>1,由1/α-1/p(·)≤1/α-1/p+≤0,可得

对于r ≤1,由1/α-1/q ≥0 和引理3 可得

命题得证.

3 变指标Fofana 空间的预对偶空间

设Qr,k=r[k+[0,1)n](k ∈Zn) 和‖{ak}k∈Zn‖ℓq(Rn):=

命题4设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.定义“离散”变指标Fofana 空间.

其中r‖f‖p(·),q=‖{‖fχQr,k‖Lp(·)(Rn)}k∈Zn‖ℓq(Rn)和

因此,

其中正等价常数不依赖于函数f.

在证明命题4 之前,以下两个引理是必要的.

引理6设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.对任意的常数ρ ∈(0,∞),有

其中正等价常数不依赖于函数f.

证明首先,当ρ>1 时,有

其次,证明反向不等式.取N ∈N 和{x1,x2,···,xN},使得

其中N 不依赖r 并且N ∼1.因此,对任意的x ∈Rn,有

根据Lebesgue 测度的平移不变性和N ∼1,可知

当ρ ∈(0,1)时,只需要替换r 为r/ρ,即可得证.

引理7设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q,则有

其中正等价常数不依赖于函数f.

证明根据引理6,只需证明

对于任意给定x ∈Rn,令Ax:=则Ax的基数是有限的并且x ∈因此,

两边同时乘以r(n/α-n/p(·)-n/q),再对x 取Lq-范数,有

利用与引理6 相似的估计,存在N ∈N 和{k1,k2,···,kN},使得

其中N 不依赖于r 并且N ∼1.根据Lebesgue 测度的平移不变性,有

上式中最后一个不等式的估计具体如下:

因此,证明了

接下来证明反向不等式.显然可得

引理得证.

命题4 的证明:根据引理7 可知

当r=1 时,可得

下面给出“离散”变指标Fofana 空间(Lp(·),ℓq)α(Rn)的预对偶空间.

定义2设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.空间H(p(·)′,q′,α′)定义为(Rn)中所有满足以下条件元素的集合.存在C×(0,∞)×(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)中的元素序列{(cj,rj,fj)}j≥1使得

称C×(0,∞)×(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)中满足式(3)∼(5)的元素序列{(cj,rj,fj)}j≥1为f 的块分解.对于H(p(·)′,q′,α′)中任意元素f

其中下确界取遍f 的所有块分解.

命题5设f ∈(Rn),0<α<∞和0

(i) St(rα)是(Rn)到(Rn)的自身映射.

(iv) supr>0‖St(α)r(f)‖p(·),q=‖f‖p(·),q,α,其中p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.

根据命题5 和定义2 可以得到以下结果.

命题6设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q,则(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)是H(p(·)′,q′,α′) 的稠密子集.

证明首先证明(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)连续嵌入到H(p(·)′,q′,α′).假设对于任意0/=f ∈(Lp(·)′,ℓq′)(Rn),可得

和

因此,f ∈H(p(·)′,q′,α′)满足

接下来证明(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)在H(p(·)′,q′,α′)中的稠密性.若{(cj,rj,fj)}j≥1是f ∈H(p(·)′,q′,α′)的块分解,则取序列

可得

因此,(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)是H(p(·)′,q′,α′)的稠密子集.

定理1(i) 设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.若 g ∈(Lp(·),ℓq)α(Rn)和f ∈H(p(·)′,q′,α′),则有fg ∈L1(Rn)且

(ii) 设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.算子T :gTg定义为

使得(Lp(·),ℓq)α(Rn)与H(p(·)′,q′,α′)∗是等距同构的.

接下来证明定理1,证明方法参阅文献[9].首先证明以下引理.

引理8(i)设p(·)∈P(Rn),1

(ii)设p(·)∈P(Rn),1

证明(i)对于0

(ii) 根据文献[10] 的定理2 和文献[2] 的定理2.6,可得(Lp(·),ℓq)(Rn) 的对偶空间是(Lp(·)′,ℓq′)(Rn).令q={qn}n∈N,若(Lp(·),)(Rn)的对偶空间是(Lp(·)′,)(Rn),其中=(q1,q2,···,qn-1),则

因此,(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)与(Lp(·),ℓq)(Rn)的对偶空间等距同构.(Lp′(·),ℓq′)(Rn)中有一个特殊的元素φ(T)使得

并且

定理1 的证明: 首先证明(i).令{(cj,rj,fj)}j≥1是f 的块分解.对任意的j ≥1,由命题6 和式(9)可得

因此,

对f 的所有块分解取下确界,可得

其次证明(ii).由(i) 可知Tg∈H(p(·)′,q′,α′)∗.

对任意的a1,a2∈R,g1,g2∈(Lp(·),ℓq)α(Rn),显然可得

T(a1g1+a2g2)=a1Tg1+a2Tg2

和

即T 是线性的并且是从(Lp(·),ℓq)α(Rn) 到H(p(·)′,p(·)′,α′)∗的有界映射,满足‖T‖ ≤1.对任意的g1,g2∈(Lp(·),ℓq)α(Rn)⊂(Lp(·),ℓq)(Rn),若Tg1=Tg2,则对任意f ∈(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)⊂H(p(·)′,q′,α′),有Tg1(f)=Tg2(f).

故g1=g2,也就是说T 是单射.

接下来证明T 是满射.设T 是H(p(·)′,q′,α′)∗中的元素,根据命题6 可知,(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)中元素T 的限制T0∈H(p(·)′,q′,α′)∗,故有1/p(·)′≤1/α′≤1/q′.

(Lp(·),ℓq)(Rn)中有元素g,使得对任意f ∈(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)有

因此,对于f ∈(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)和r>0,有

根据假设T ∈H(p(·)′,q′,α′)∗,有(f)∈H(p(·)′,q′,α′)再利用式(7),可得

则对任意g ∈(Lp(·),ℓq)α(Rn),由命题5 可知

‖g‖p(·),q,α≤‖T‖.

根据式(11)和命题6,可得

故T 是满射且‖g‖p(·),q,α≤‖T‖.

引理9设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,p(·)≤α ≤q 和χB(x0,r0)是在球体B(x0,r0)上的特征函数,则

证明由计算可得

若r>r0,p(·)∈P(Rn).当r>r0≥1 时,则由n/α-n/p(·)≤0,可知

当r>1>r0时,则由n/α-n/p(·)≤0,可知

当1 ≥r>r0时,则由n/α-n/p(·)≤0,可知

若r ≤r0,p(·)∈P(Rn),由1/α-1/q ≥0,有

故‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)≾.

接下来证明‖χB(x0,r0)‖H(p(·),q′,α′)≾.根据与式(6)相似的估计,有

因此,

根据定义2 和命题4,

利用与‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)≾证明相似的估计,取r0/r>1 和r0/r ≤1,有

引理得证.

4 变指标Fofana 空间中分数次积分算子及其交换子有界性的刻画

引理10设b ∈BMO(Rn).对任意的球体B ∈Rn和任意的正整数j ∈Z+,有

|b2j+1B-bB|≾(j+1)‖b‖∗.

证明

引理11[17]设p(·)∈B(Rn),k 是一个正整数,球体B ∈Rn,则对所有的b ∈BMO(Rn)和所有的j,i ∈Z(j>i),

其中Bi={x ∈Rn:|x|≤2i}和Bj={x ∈Rn:|x|≤2j}.

引理12[6]给定开集Ω ∈Rn,0<α

引理13[8]假设p1(·)∈P(Rn)满足引理1 的条件(1) 和(2),0<α

‖[b,Iα]f‖Lp2(·)(Rn)≾‖b‖∗‖f‖Lp1(·)(Rn).

定理2设p1(·),p2(·)∈P(Rn)满足引理1 的条件(1) 和(2),0<γ

注1条件γ=n/α-n/β 对于分数次积分算子Iγ有界是必要的.令δtf(x)=f(tx)(t>0),则

因此利用Iγ是从(Lp1(·),Ls)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子,可知

故γ=n/α-n/β.

定理2 的证明:通过注1,只需证明若γ=n/α-n/β,则Iγ在变指标Fofana 空间上有界.设p1(·),p2(·)∈P(Rn),p1(·) < α < q < ∞,p2(·) < β < q < ∞,0 < γ < n/p+1,n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ 和f ∈(Lp1(·),Lq)α(Rn).固定x ∈Rn,r>0,记B=B(x,r),2B=B(x,2r).分解f=f1+f2,其中f1=fχ2B,f2=f-f1.计算得

首先估计I1.因为分数次积分算子Iγ是从Lp1(·)(Rn) 到Lp2(·)(Rn) 的有界算子并且 n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,因此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.再利用-1<1/α-1/p1--1/q<1/α-1/p1(·)-1/q<0,则有

接下来估计I2,当y ∈B(x,r),z ∈B(x,2r)c时,显然|y-z|≈|x-z|,将Rn分解为几何递增的同心球序列,利用广义Hölder 不等式,可得

因为n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,由此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.根据以上估计,由引理3 和1/β-1/q>0,可知

两边同时取Lq-范数并利用Minkowski 不等式,可得

故两边同时对r>0 取上确界,定理得证.

定理3设p1(·),p2(·)∈P(Rn)满足引理1 的条件(1) 和(2),0<γ

(i) b ∈BMO(Rn);

(ii) 线性交换子[b,Iγ]是从(Lp1(·),Lq)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子.

证明设p1(·),p2(·) ∈P(Rn),p1(·) < α < q < ∞,p2(·) < β < q < ∞,0 < γ < n/p+1,n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,f ∈(Lp1(·),Lq)α(Rn)和b ∈BMO(Rn).固定x ∈Rn,r>0,记B=B(x,r),2B=B(x,2r).分解f=f1+f2,其中f1=fχ2B,f2=f-f1.计算可得

首先估计J1.因为交换子[b,Iγ]是从Lp1(·)(Rn)到Lp2(·)(Rn)的有界算子并且n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,由此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.再利用-1<1/α-1/p1--1/q<1/α-1/p1(·)-1/q<0,可得

接下来估计J2.

当y ∈B(x,r),z ∈B(x,2r)c时,显然|y-z|≈|x-z|,将Rn分解为几何递增的同心球序列,利用广义Hölder不等式,可得

根据以上估计,利用引理10、引理11 和-1<1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q<0,1/β-1/q>0,可得

两边同时取Lq-范数再利用Minkowski 不等式,可知

故两边同时对r>0 取上确界,可得J2的估计.

假设[b,Iγ]是从(Lp1(·),Lq)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子.利用Janson[18]的方法.取0/=z0∈Rn使得0/∈B(z0,2).则有x ∈B(z0,2),|x|n-γ∈C∞(B(z0,2)).因此,|x|n-γ可以记为绝对收敛的Fourier 级数:

对任意的x0∈Rn和t>0,记B=B(x0,t)和Bz0=B(x0+z0t,t),则

若x ∈B,y ∈Bz0,则(y-x)/t ∈B(z0,2).因此,

由式(8)和命题4,可知

由引理9 计算可得

因此,

根据假设和引理9,可得