问题变式在高中数学教学中的应用探究

唐鹏

［摘 要］在高中数学教学过程中，教师如何创设情境，引入问题并通过问题变式来激发学生思维，最终引导学生自主构建知识框架是一个值得探讨的问题。文章以“函数的零点与方程的解”的教学为例，阐述如何通过问题变式引导学生自主整理归纳函数零点存在定理。

［关键词］问题变式；函数零点存在定理；高中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）23-0013-03

一般的数学课堂教学归纳起来大致分两大类：一是教师直接讲授，帮助学生理解，通常的模式是“知识—讲解—理解—应用”；二是教师创设问题情境，导入问题，并通过问题变式，提升学生的思辨能力，引导学生自主探究与建构知識，其模式是“情境—探究—总结—应用”。前者属于接受式学习，不利于学生的思维发展；后者以学生为主体，由教师引导学生发散思维，自主建构知识。但如果教师的引导和问题变式不够恰当，过于勉强，便会使整个课堂教学流于形式，学生被动接受知识。因此，如何创设情境才能自然地引发问题及其变式，同时给学生更大的空间去联想、思考、表达和总结，是值得每一个高中数学教师深入探索的问题。下面，笔者以新人教A版数学教材必修第一册“函数的零点与方程的解”这一节的教学为例进行说明。

一、问题变式在高中数学教学中的应用思路

在“二次函数与一元二次方程、不等式”一节中就有提及函数零点的概念，在教学这节内容时，笔者引导学生在函数与方程之间构建联系，并从特殊到一般，引导学生归纳出零点的概念及其几何意义，培养学生的数学抽象素养和直观想象素养。而在“函数的零点与方程的解”教学中涉及的函数零点存在定理比较抽象，学生虽然掌握了一些基本的初等函数知识，但是想要把握该定理的本质仍然较为吃力。鉴于数形结合思想不仅能帮助学生理解知识与解决问题，还能提升学生的创新思维能力及知识迁移能力，笔者尝试用数形结合的方法从函数零点存在定理的数学内涵出发，化数为形，设计一个真实、开放的数学情境，即给出一个不完整的函数图象，让学生自由、充分、灵活地展开探究，并设置问题变式（何时会有零点？有几个零点？什么时候只有一个零点？等）引导学生思考，从而发现该函数的各种可能（如没有零点、有一个零点、有两个零点……），让学生在问题变式中不断丰富认知，建构知识。待学生通过探究归纳总结出函数零点存在定理后，笔者引导学生进行实际操练，应用函数零点存在定理解决实际问题，做到学以致用、巩固新知，同时为学习“用二分法求方程的近似解”做好铺垫。

二、问题变式在引导高中数学教学中的应用案例

（一）回顾引入，构建联系

师：同学们，请观察本节课的标题“函数的零点与方程的解”，其中包含两个概念，而这两个概念我们在第二章已经学习过了。大家还记得什么是函数的零点吗？

生1：函数的零点是使[f（x）=0]的实数[x]的值。

师：所以函数的零点是一个数并不是一个点。

师：对于二次函数[y=ax2+bx+c]与一元二次方程[ax2+bx+c=0]，其判别式为[Δ=b2-4ac]。这三者间的关系如下表所示。

师：观察表格，你们有什么发现？

生2：二次函数的图象与[x]轴的交点和一元二次方程的解相对应。

师：那函数的零点是不是也一样呢？

生3：函数的零点、方程的解和图象的交点也相对应。

（二）在问题变式中探究函数零点存在定理

1.在问题变式中引入定理（一定会有零点吗？）

师：我们知道图象与[x]轴交点的横坐标就是函数的零点，而零点两侧的函数值是异号（见图1），那么只要函数值异号，就代表这个区间里一定存在零点吗？

师：现在同学们有不同的意见，那请大家在学案上试着画一画，再小组讨论画出来的函数图象与[x]轴有没有交点，如有交点，是多少个。

生4：（展示图2）一定存在。

生5：（展示图3）我不赞同生4的观点。函数图象不连续的时候，就没有零点了。

（学生自由讨论达成共识：当两侧函数值异号且图象连续时，一定有零点。）

师：如果其他函数图象连续不断时，是否一定有零点呢？

生6：不一定。当所有图象都在[x]轴的同一侧时，就有可能设有零点。

师：因此想要有零点，这个函数需要满足什么条件？

生7：函数图象在[x]轴两侧且图象连续。

师：函数有零点就一定说明函数值异号且函数图象连续吗？（错误，这并不是一个充要条件）

2.在问题变式中深入探究（若零点存在，那零点的个数确定吗？）

师：满足了函数值异号和图象连续就会有交点，那有多少个呢？（展示学生的答案，如图4、图5、图6所示，学生回答有多个且数量不定）

师：函数零点存在定理——如果函数[y=f（x）]在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有[f（a）f（b）<0]，那么，函数[y=f（x）]在区间[（a，b）]内至少有一个零点，即存在[c∈（a，b）]，使得[f（c）=0]，这个[c]也就是方程[f（x）=0]的解。

师：对于这个定理，你们觉得我们需要重点把握什么？

生8：函数在区间[a，b]上的图象连续不断，而且在区间端点的函数值异号，则一定有零点；零点的个数并不一定；有零点推不出函数值异号且图象连续。

3.在问题变式中激发学生思辨（什么情况下才能保证有且只有一个零点呢？）

师：我们发现满足函数值异号且图象连续是一定有零点的，但是个数是不确定的，那么什么情况下才能保证有且只有一个零点呢？

（学生观察图象，小组讨论）

生9：再添加函数在[a，b]上单调的条件。

师：图象连续且函数值异号可以保证有零点，再加上其单调性就可以说这个函数在[a，b]上有且只有一个零点。

［例1］判断函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点个数。

解：因为[f（x）=lnx+2x-6]在（0，+∞）上单调递增，所以函数[f（x）]在定义域上至多有一个零点，又因为[f（1）=-4<0]， [f（3）=ln3>0]，所以[f（x）]在区间[（1，3）]上有唯一零点。

另外，还可通过图象进行观察，函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点个数即为函数[f（x）=lnx]与函数[g（x）=6-2x]图象的交点个数，如图7所示.

师（追问）：观察函数图象，借助计算器，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗？

（学生讨论交流，为后续学习“用二分法求方程的近似解”做好铺垫。）

［例2］若函数[f（x）=lnx+x2+a-1]在区间[（1，e）]内有唯一的零点，则实数[a]的取值范围是多少？

解：因为函数[f（x）=lnx+x2+a-1]在区间[（1，e）]内有唯一的零点，且当[x>0]时，函数[f（x）=lnx+x2+a-1]单调递增，所以[f（1）<0]， [f（e）>0]，由此可得[a<0]，[1+e2+a-1>0]，解得[a∈（-e2，0）]。

三、教学反思

数学家康托尔说过：“数学的本质在于它的自由。”本节课的教学，在学生没有“函数零点存在定理”意识的基础上，利用一个真实、开放的数学情境激发学生的学习兴趣，让学生对熟悉的数学情境进行观察和思考，激活学生的思维，自然产生“零点是什么？”“零点是否存在？”“零点存在需要什么条件？”“如果存在零点，有多少种可能性？”等变式问题，激发学生联想，并产生内驱力去自主探索学习。教师鼓励学生小组合作对零点存在的条件进行总结，帮助学生将得到函数零点存在定理的有关要素从自然语言向严谨的数学语言过渡，帮助他们构建知识框架。在此基础上，教师继续进行变式提问，从而提升学生的思维能力。

在理论教学过程中鉴于函数零点知识内容的抽象性和复杂性，教师引导学生通过数形结合将其以更简单的图形方式呈现出来，从而理解并解决问题，利用数与形之间的转变，锻炼学生思维逻辑的严谨性，帮助学生条理清晰地掌握函数知识以及更准确地把握数学内容的本质，提升学生的知识应用能力。在最后具体的应用过程中教师还应全面了解学生，进行合理分层；结合具体内容，分层设计目标；紧扣教学实际，全面助力教学质量的提升和学生的个性化发展。

通过本节课的尝试，不难看出学生有强大的想象能力和论证能力。在变式问题的探索过程中，学生会产生很多奇思妙想，因此如何在高中数学教学中创设情境，帮助学生在变式问题的探究中自主构建知识框架是值得每一个教师去探索的。

［   参   考   文   獻   ］

［1］  陈群峰.用“现象”助“建构”：《函数零点存在性定理》教学尝试［J］.教育研究与评论（课堂观察），2020（3）：54-57.

［2］  王冬晴，张荣延.核心素养理念下的数学教学设计［J］.赢未来，2018（22）：179.

［3］  杨高峰.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用［J］.数学学习与研究，2020（10）：122-123.

［4］  冯夕凯.分层教学法在高中数学教学中的应用探索［J］.中学生作文指导，2019（32）：119-120.

（责任编辑 黄春香）