基于MSLDSMC窗的谐波与间谐波参数估计算法*

陈乾明,张志威,李明皓,汪旭明,雷可君

(吉首大学通信与电子工程学院,湖南 吉首 416000)

随着我国新能源及智能电网技术的不断发展,电力谐波对电力系统的影响日益扩大.为了减小设备损耗、提高电能质量,需要采取有效措施来应对谐波问题[1-3],而准确检测电力谐波的各项参数是解决谐波问题中的重要一环.目前,应用较多的电力谐波检测方法有瞬时无功功率理论[4]、小波变换[5]、人工神经网络[6]及快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)[7-8]等.其中,FFT算法具有估计精度高、计算简单及运算速度快等优点,广泛应用于谐波检测中.然而,在非同步采样过程中,该算法不可避免地会出现栅栏效应和谐波泄露,降低谐波估计的精度.针对FFT算法的不足,通常利用窗函数来抑制频谱泄漏,同时结合多种插值算法以减少栅栏效应造成的误差[9-10].常用的窗函数有Hanning窗、Blackman窗、Nuttall窗、Rife-Vincent窗及Kaiser窗等[11].特性优良的窗函数具有主瓣宽度窄、旁瓣峰值电平低和旁瓣衰减速率快等特点,而旁瓣特性决定了窗函数抑制频谱泄漏的能力.为了进一步提升窗函数的旁瓣性能,学者相继构建了自乘窗[12]及自卷窗[13].这2类窗函数的旁瓣性能大幅提升,抑制频谱泄漏的能力得到进一步改善,但同时也存在一些问题:自乘窗的主瓣宽度会随着自乘计算次数的增加而增加,导致频率分辨率降低[14];自卷窗的序列长度会随着卷积计算次数的增加而增加,导致计算量增大[15].此外,当所采用的母窗旁瓣性能不够理想时,即便经过乘积或卷积计算后,窗函数的旁瓣性能得到了一定的改善,但估计精度的提升仍然是有限的[16-17].应用较多的插值算法有双谱线[18]、三谱线[19]、四谱线[20]和六谱线[21]插值算法.它们都是利用目标谱线附近多根谱线获取信息,不过双谱线插值算法对谱线信息的利用不够充分,而四谱线插值与六谱线插值算法尽管利用了更多的谱线信息,但是计算复杂度也随之提高[22].相较而言,三谱线插值算法能兼顾估计精度和计算复杂度的要求[23].

综上考虑,笔者拟利用具有优越旁瓣性能的6项最大旁瓣衰减(Maximum Side Lobe Decay,MSLD)窗[24]并综合自乘窗与自卷窗的优势,构建MSLD自乘-卷积(MLSD Self-Multiplication-Convolution,MSLDSMC)窗,再在此基础上,与三谱线插值算法相结合,设计一种新的高精度三谱线插值电力谐波检测算法,推导信号幅值、频率及相位的估计公式,以期进一步提高谐波与间谐波各项参数检测的精度.

1 最大旁瓣衰减自乘-卷积窗

1.1 最大旁瓣衰减窗

这里:a0=0.246 093 750,a1=0.410 156 250,a2=0.234 375 000,a3=0.087 890 625,a4=0.019 531 250,a5=0.001 953 125.将MSLD窗与几种经典余弦组合窗函数进行比较,它们的频域特性参数见表1,幅频特性曲线如图1所示.

表1 MSLD窗与几种经典余弦组合窗函数的频域特性对比Table 1 Frequency Domain Characteristics Comparison of MSLD Window Function and Several Classic Cosine Combination Window Functions

图1 MSLD窗与几种经典余弦组合窗函数的幅频特性对比Fig. 1 Amplitude-Requency Characteristics Comparison Between MSLD Window Function and Several Classic Cosine Combination Window Functions

由表1和图1可知:窗函数主瓣宽度会随着窗函数项数的增加而增加,频率分辨率会相应降低;Hanning窗和Blackman窗有较小的主瓣宽度,但旁瓣峰值电平太高,4项1阶Nuttall窗旁瓣峰值电平最小,但旁瓣衰减速率太慢,因此它们的旁瓣特性都不够理想;与4项3阶Nuttall窗、4项5阶Nuttall窗和5项1阶Rife-Vincent窗相比,MSLD窗的旁瓣峰值电平更低,旁瓣衰减速率更快,能更有效地减少频谱泄漏造成的计算误差.因而,本研究采用MSLD窗作为母窗,构建MSLDSMC窗对信号进行加权处理.

1.2 MSLDSMC窗的构建

p个长度为M的MSLD窗,在时域经p-1次乘积计算后得到p阶MSLD自乘窗.考虑到随着乘积运算阶数的增加,窗函数主瓣宽度也会增加,因此为了确保频率分辨率,本研究只进行1次乘积运算.乘积运算不改变窗函数长度,故2阶MSLD自乘(MLSD Self-Multiplication,MSLDSM)窗的时域表达式为

(1)

其中bi为窗函数系数,具体取值见表2.

表2 MSLDSM窗函数系数Table 2 Coefficients of MSLDSM Window Function

为了兼顾算法复杂度和估计精度要求,利用wMSLDSM(m)进行1次卷积计算后得到MSLDSMC窗,其时域表达式为wMSLDSMC(n)=wMSLDSM(m)*wMSLDSM(m),其中n=0,1,…,N-1,N为MSLDSMC窗函数的长度.为了便于FFT实现,经过卷积计算后在序列末尾进行补0操作,使得离散MSLDSMC窗的长度N=2M.

1.3 MSLDSMC窗频域特性

由(1)式可得MSLDSM窗的频域表达式

其中:ω为角频率;WR(ω)为矩形窗的离散频谱函数,

根据卷积定理,函数在时域进行卷积等效于在频域进行乘积.利用离散傅里叶变换性质,MSLDSMC窗的频域表达式为

WMSLDSMC(ω)=(WMSLDSM(ω))2.

(2)

令ω=2πk/N,k为离散频谱线的序号,k=0,1,…,N-1.由于在实际应用中N通常远远大于1,因此(2)式可近似表示为

其中c=0,±1,±2,….当c=±1时可得,MSLDSMC窗的主瓣宽度BMSLDSMC=44π/M=88π/N.

选择长度M=64的MSLD窗构建MSLDSM窗和MSLDSMC窗,幅频特性如图2所示.

图2 MSLD,MSLDSM和MSLDSMC窗幅频特性Fig. 2 Amplitude-Frequency Characteristics of MSLD.MSLDSM and MSLDSMC Windows

由图2可知:MSLDSMC窗与MSLDSM窗的主瓣宽度相等,且相较于MSLD窗的主瓣宽度更大;MSLDSMC窗的旁瓣峰值(-301.83 dB)远低于MSLD窗的旁瓣峰值(-87.94 dB)和MSLDSM窗的旁瓣峰值(-152.26 dB),且MSLDSMC窗具有更快的旁瓣衰减速度.由此可知,MSLDSMC窗相比MSLD窗和MSLDSM窗的旁瓣特性改善很大,能更有效地抑制频谱泄漏.

2 基于最大旁瓣衰减自乘-卷积窗的三谱线插值算法

设离散化的单频信号为

(3)

其中A0,f0,θ0分别为信号的幅值、频率和相位,fs为采样频率.由于复谱序列具有对称性,因此一般忽略负频点峰值的影响.对(3)式叠加MSLDSMC窗后进行傅里叶变换,可得

(4)

其中ω0=2πf0/fs.将(4)式离散化,令ω=2πk/N,ω0=2πk0/N,可得

(5)

(6)

可以看出γ是关于ε的函数,记为γ=g(ε).理论上,通过求解(6)式可得ε=g-1(γ),但这种操作使得计算复杂度高,不利于实时估计,而采用最小二乘法得到ε的多项式估计式的计算复杂度大大降低.ε的表达式为

ε=g-1(γ)=5.505 949 177 228 290 0γ-0.360 510 245 886 963 0γ3+

0.047 234 928 916 999 2γ5-0.007 707 827 943 080 4γ7,

从而可确定信号频率的修正公式为f0=k0Δf=(k1+ε)fs/N,信号相位的修正公式为

θ0=arg(X(k1))-π(ε-0.5).

利用y1,y2,y3作幅值修正,因为k1最靠近真实峰值频谱,对参数估计的影响最大,所以对这根谱线赋予权值2,而对谱线k2,k3分别赋予权值1.结合(5)式,可得信号幅值的修正公式

(7)

考虑到(7)式是关于ε的复杂函数,不利于实时计算,故仍利用最小二乘法求得简化后的多项拟合式A0=N-2(y2+2y1+y3)h(ε),其中

h(ε)=65.954 764 271 573 910+2.995 806 576 073 435ε2+0.069 064 953 701 636 3ε4+

0.001 083 987 688 066 51ε6.

3 仿真分析

3.1 整次谐波信号参数估计实验

为了验证新算法的有效性,对含有14次谐波成分的弱幅值信号进行参数估计.假设该信号表达式为

(8)

其中:f为基波频率,f=50.1 Hz;fs为采样频率,fs=2 500 Hz;N为采样长度,N=2 048;h为谐波次数;Ah,θh分别为谐波信号的幅值和相位.具体参数设置见表3.

表3 谐波信号参数设置Table 3 Harmonic Signal Parameter Setting

将MSLDSMC窗与采样长度相同的MSLD窗和MSLDSM窗分别对(8)式所示的信号进行仿真分析,并采用三谱线插值算法进行谐波参数估计,估计所得的基波各次谐波信号的幅值、频率和相位的相对误差如图3所示.

图3 复杂谐波信号幅值、频率和相位的相对误差Fig. 3 Relative Errors of Amplitude,Frequency and Phase of Complex Harmonic Signals

由图3可知:在相同条件下,采用新算法对谐波进行分析,估计所得的幅值、频率和相位的相对误差绝对值范围分别为10-13～10-11(图3(a)),10-16～10-14(图3(b)),10-15～10-10(图3(c)),与MSLD窗和MSLDSM窗的三谱线插值算法相比具有更高的估计精度;图3(b)中,新算法估计所得第3次谐波的频率相对误差为0;第11,13,14次谐波的幅值都偏小,但是新算法估计所得的幅值相对误差绝对值分别为1.21×10-11,1.18×10-11,3.55×10-12,说明新算法估计整次弱幅值信号时精度较高.

3.2 间谐波信号参数估计实验

电网在实际运行中产生的间谐波不仅会造成电压、电流波动,还会干扰用电设备的正常运行,危及电力系统的安全运行,故进行间谐波参数的高精度估计非常有必要.为了验证新算法估计间谐波参数的有效性,仿真过程选用6次间谐波组成的信号,信号表达式为

(9)

其中:p为谐波次数;Ap为谐波幅值;fp为谐波频率;θp为谐波相位;fs为采样频率,fs=2 500 Hz.间谐波信号幅值、频率和相位的具体参数设置见表4.

表4 间谐波信号参数设置Table 4 Inter Harmonic Signal Parameter Setting

利用新算法和基于MSLD窗三谱线插值算法分别对(9)式描述的信号进行参数估计,仿真结果见表5和表6.

表5 新算法估计间谐波信号各参数的相对误差Table 5 New Algorithm for Estimating the Relative Error of Parameters of Inter-Harmonic Signals

表6 基于MSLD窗三谱线插值算法估计间谐波信号各参数的相对误差Table 6 Three Spectral Line Interpolation Algorithm Based on MSLD Window for Estimating the Relative Error of Parameters of Inter-Harmonic Signals

对比表5和表6可知:与基于MSLD窗三谱线插值算法相比,新算法估计所得的幅值相对误差降低了2个数量级,频率相对误差降低了2～3个数量级,相位相对误差数量级降低了2～4个数量级;频率相对误差结果中,新算法估计所得的第4次间谐波信号频率的相对误差为0.由此可见,新算法估计间谐波信号参数时精度较高.

3.3 基频变动实验

信号基波频率(基频)的变动会导致非同步采样发生,进而影响信号谐波估计精度.因此,验证新算法在基频变动情况下参数估计的稳定性是十分重要的.电力系统基频偏差的最大范围为0.5 Hz,故设频率fi是f在范围49.5～50.5 Hz内以步长为0.1 Hz变动.对(8)式描述的谐波信号进行参数估计,各次谐波信号参数的相对误差如图4所示.

图4 基频变动时幅值、频率和相位的相对误差Fig. 4 Relative Errors of Amplitude,Frequency and Phase with Fundamental Frequency Changes

由图4可知,在基频变动的情况下,各次谐波信号幅值、频率和相位的相对误差绝对值分别不超过1.20×10-11(图4(a))、9.13×10-15(图4(b))和2.89×10-10(图4(c)).可见,新算法在基频变动时同样估计精度较高.

5 结语

鉴于MSLD窗比经典的余弦窗具有更优异的旁瓣性能,笔者利用乘积和卷积运算构建了MSLDSMC窗,并设计了一种基于MSLDSMC窗三谱线插值的谐波与间谐波参数估计算法.与MSLD窗函数相比,MSLDSMC窗具有更低的旁瓣峰值和更快的旁瓣衰减速度.整次谐波信号参数估计实验结果表明,与基于MSLD窗和MSLDSM窗的三谱线插值谐波与间谐波参数估计算法相比,新算法对整次谐波信号参数的估计精度明显提高.间谐波信号参数估计实验结果表明,与基于MSLD的三谱线插值谐波参数估计算法相比,新算法对间谐波信号参数的估计精度更高.基频变动实验结果表明,新算法对间谐波信号参数和在基频变动环境下对整次谐波信号参数的估计精度都较高.