基于运动学视角的车轮悖论探秘

林远东,宫能平,刘延彬,考四明,张宏学

(安徽理工大学力学与光电物理学院,安徽 淮南 232001)

车轮悖论是由科学家亚里士多德在《论机械》中提出来的[1]65。意大利数学家卡瓦列里于1621年向伽利略请教能否认为线段是由无穷多个长度为无穷小的点所构成的问题,伽利略经反复思考并最终从亚里士多德的车轮悖论中获得灵感,认为线段是由无穷多个点构成的,而这些点之间夹杂着无穷多个长度为无穷小的空白,并在1638年出版的《论两种新科学及其数学演化》中对亚里士多德的车轮悖论进行了解释[2]59。卡瓦列里和伽利略的假说认为无穷小是非常小的实数,无穷多个长度为无穷小的点加起来,或者无穷多个长度为无穷小的空白加起来,其长度是无穷大。而线段的长度不是无穷大,这表明卡瓦列里和伽利略的假说都蕴涵着矛盾。然而,卡瓦列里和伽利略的假说却是微积分思想的萌芽。

亚里士多德提出的车轮悖论引起了学者们的浓厚兴趣,他们从数学、齿轮模型以及运动分解等角度对亚里士多德的车轮悖论进行了分析和解释。文献[1-2]65,59认为轮相对于地面无滑动,并以此为基础从数学和几何学分析入手找出悖论出现的原因;而文献[3]分别考虑了同心齿轮组以大齿轮与水平纸条的接触点为速度瞬心的纯滚动、以小齿轮与水平纸条的接触点为速度瞬心的纯滚动,从速度关系找出小齿齿印长度出现“长度跃伸”和“长度压缩”的原因;文献[4]以大轮与地面的接触点为速度瞬心,将小轮边缘点的运动分解为匀速直线运动和匀速圆周运动,通过分析小轮边缘点的速度,得出大轮以恒定速度滚动而不打滑时小轮作边滚边滑的运动。但是以上研究对圆轮速度瞬心的选取不具有一般性和普适性。

亚里士多德车轮悖论本身是一个运动学问题,是圆轮在水平面上运动过程中,通过观察发现的事实与现象不符的一个典型问题。目前尚未见到纯粹的从运动学角度对亚里士多德车轮悖论进行分析和解释。为此,本文基于速度瞬心选择的一般性和普适性,应用点的运动学[5]141、点的合成运动[5]177-179以及刚体平面运动[5]209-216的相关知识,对亚里士多德车轮悖论进行探秘。为了便于描述,以下将亚里士多德车轮悖论简称为车轮悖论。

1 车轮悖论

圆的周长可以通过圆轮在水平面上无滑动地滚动一圈时轮在地面上所碾压过的长度测定[6]。圆轮相对于地面无滑动的滚动称为轮的纯滚动[5]216。如图1所示,圆轮在水平面上作纯滚动且转过一圈时,轮在水平面上所碾压过的长度OO′即为圆轮的周长。

图1 圆轮在水平面上滚动时同心圆所碾压的水平长度

然而由图1可观察到半径为R的大圆和任一半径为r的同心圆在水平方向所碾过的长度始终相等。而圆轮滚过一圈时,同心圆也随着大圆滚过了一圈,半径为r的同心圆在水平方向所碾过的长度BB′也是半径为r的小圆的周长。从几何学角度来看,线段BB′与线段OO′平行且长度相等。也就是说,圆轮上的同心圆在地面上滚过一圈后,各圆底部所碾过的水平长度均相同且等于相应圆的周长,即

2πR=2πr

(1)

上述现象及式(1)表明,圆的周长取决于圆的半径或直径,而圆的周长与圆的半径或直径又无关,这即为车轮悖论。但车轮悖论显然与日常的认知严重不符。

2 圆轮上点的运动规律

无论圆轮在水平面上作纯滚动还是边滚边滑,其运动类型均属于平面运动。对于圆轮上的点,其运动规律可应用点的运动学知识进行研究。如图2所示,当圆轮在水平面上作顺时针的滚动时,设初始时刻圆轮在图2(a)所示位置,并以此时水平面上与圆轮相接触的点O为坐标原点,建立如图2所示的正交坐标系Oxy。

(a)圆轮初始位置 (b)运动过程中的圆轮 (c)圆轮滚过一圈的位置

2.1 初始时刻圆轮上点的位置描述

设初始时刻,圆轮位于图2(a)所示的位置,此时圆轮轮心C的坐标为(0,R)。将圆轮上距轮心C为r的任一点A在图示正交坐标系中的横坐标和纵坐标分别记为x0和y0,由几何关系可得:

x0=rsinθ0

(2)

y0=R+rcosθ0

(3)

式中,θ0为初始时刻C、A两点的连线与y轴的夹角,rad;R和r分别为圆轮和同心圆的半径,m。

在正交坐标系Oxy中,若圆轮上点的坐标为(x,y),则描述该点位置的矢径r[7]为

r=xi+yj

(4)

式中,i和j分别为正交坐标系Oxy中的Ox轴和Oy轴的单位矢量。

将初始时刻圆轮上任一点A在正交坐标系Oxy中的矢径记为r0,则由式(2)～式(4)得初始时刻圆轮上点A位置的矢量表达式为

r0=rsinθ0i+(R+rcosθ0)j

(5)

2.2 任一时刻圆轮上点的位置描述

经时间t后圆轮运动至图2(b)位置时,将圆轮轮心C的横坐标记为xC2。此时轮心C的坐标为(xC2,R)。因圆轮在水平面上滚动时轮心的速度水平向右,则任意时刻轮的速度瞬心[8]必在轮心C与轮和地面相接触点的连线上。

将圆轮的速度瞬心记为P*,速度瞬心P*到轮心C的距离记为R*,则轮心C速度的大小为

vC=ωR*

(6)

式中,ω为圆轮角速度的大小,rad/s。

圆轮的角速度ω与轮滚过的角度θ、圆轮时间t的关系为[9]

ω=dθ/dt

(7)

式中,θ为圆轮在水平面上滚动时圆轮经时间t后其相对于初始位置所转过的角度,rad。

由点的运动学知识可知,轮心C的横坐标xC2可表示为

(8)

由式(6)～式(8)得t时刻轮心C的横坐标xC2为

(9)

将t时刻A点在图示正交坐标系Oxy中的横、纵坐标分别记为x1和y1。由图2(b)所示几何关系,可得圆轮运动过程中其上任一点A的横坐标和纵坐标分别为:

x1=xC2+rsin(θ0+θ)

(10)

y1=R+rcos(θ0+θ)

(11)

将t时刻A点在正交坐标系Oxy中的位置矢径记为r1,由式(4)、式(9)～式(11)得

[R+rcos(θ+θ0)]j

(12)

2.3 圆轮运动时其上点的位移量

由点的运动学可知,圆轮在时间t内由图2(a)位置运动至图2(b)位置时,圆轮上点A的位移量为

Δr=r1-r0

(13)

由式(5)、式(12)和式(13)得t时刻圆轮上点A的位移量为

r[cos(θ+θ0)-cosθ0]j

(14)

由式(14)可知,圆轮在水平面上滚动的过程中,其上各点的位移矢量与轮滚过的角度θ、速度瞬心P*与轮心C的间距R*、点到轮心的距离r以及点的初始方位角θ0都有关。因此,圆轮在运动过程中其上各点的位移矢量往往是不同的。

当圆轮水平面上滚过一圈至图2(c)位置时,θ=2π。将θ=2π代入式(14)得圆轮上的点A随着圆轮在地面滚过一圈的位移量为

(15)

由式(15)可知,圆轮在水平面上滚过一圈时其上各点只有水平位移,且该位移量仅与圆轮的速度瞬心P*到轮心C的距离R*有关。

将圆轮在水平面上滚过一圈时点A位移量的大小用SA表示,则由式(15)得

(16)

由式(16)可知,圆轮在水平面上滚过一圈时,圆轮上点的位移大小仅与圆轮运动过程中的速度瞬心有关,而与该点在圆轮上的位置无关。因同一时刻圆轮的速度瞬心具有唯一性,则由式(15)和式(16)可知,圆轮在水平地面上滚过一圈时,其上各点都只有水平位移且水平位移量均相等。

2.4 圆轮上各点的位移

根据速度瞬心P*到轮心C的距离R*与大圆半径R之间的量值关系,可将圆轮在水平面上的滚动情况分为纯滚动和边滚边滑。当圆轮滚动一圈后,若圆轮在水平面上的运动形态不同,轮上各点的位移量是有区别的,具体情况如下:

1)当R*=R时,圆轮作纯滚动。此时圆轮的外轮廓与地面的接触点即为圆轮的速度瞬心。将圆轮作纯滚动且转过一圈时其上各点水平位移量的大小记为SA1,则由式(16)得

SA1=2πR

(17)

2)当R*>R时,因圆轮的外轮廓与地面接触的点相对于地面是有速度的,即圆轮在地面上滚动的同时还相对于地面发生了滑动,则将圆轮的这种类型运动简称为圆轮边滚边滑,并将圆轮边滚边滑一圈时其上各点的水平位移量记为SA2。因R*>R,则由式(16)和式(17)易知

SA2>SA1

(18)

综上,轮在水平面上滚动的过程中,其上各点的位移矢量一般是不同的;当圆轮在水平面上滚动一圈时,圆轮上各点都只有水平位移,且该位移量仅与圆轮的运动形态有关。当圆轮在水平面上作纯滚动且滚过一圈时,圆轮上各点的水平位移量均等于圆轮的周长;当圆轮边滚边滑滚过一圈时,轮上各点的水平位移量相同且都大于圆轮的周长。

由此可见,当圆轮在水平面上滚过一圈时,圆轮上各同心圆的下边缘在水平方向碾过的迹线长度均与圆轮在水平方向所碾过的迹线长度相同,且各同心圆的下边缘在水平方向所碾过的迹线长度并不一定等于圆轮或同心圆的周长,其值由圆轮的运动形态来决定。

3 同心圆下边缘碾压点的运动分析

圆轮在水平面上滚动时,轮上各个同心圆下边缘在水平方向的碾压情况,可通过构建一个等效的力学模型并应用点的速度合成定理进行研究。

为了研究半径为r的同心圆在水平方向碾压点的运动规律,在圆轮上距离轮心C为r的位置布置宽度为dr的环形圆槽,如图3(a)所示,套筒M与销钉铰接且销钉在环形圆槽内是可移动的,而套筒M又套在与地面固结为一体的水平杆O1O2上,而点P*为圆轮在图示位置的速度瞬心。

(a) 同心圆上碾压点的等效力学模型

由刚体平面运动知识可知,圆轮的速度瞬心P*在CM的正下方。将轮心C到速度瞬心P*的间距记为R*,则

R*=r+MP*

(19)

3.1 同心圆下边缘碾压点的3种运动

圆轮在水平地面上滚动时,因圆轮的下边缘在水平线O1O2上的碾压点始终与套筒M为同一点,则套筒M的运动情况即为同心圆在O1O2线上碾压点的运动情况。

因套筒M的运动代表着半径为r的同心圆的碾压点在O1O2线上的运动,则以套筒M为动点,静系与地面固结,动系与圆轮固结为一体。据点的合成运动知识[5]177-179,动点M的3种运动分析如下:

1)动点M的绝对运动为动点相对于静系(地面)的运动,即套筒M沿O1O2的直线运动,绝对速度va由左指向右,如图3(b)所示;

2)动点M的牵连运动是牵连点相对于静系(地面)的运动,动系(圆轮)上与动点M重合的点即为牵连点,因圆轮的速度瞬心为P*,则动点的牵连运动是圆轮上的点M以P*为圆心而半径为MP*的圆周运动;因圆轮的角速度为顺时针转向,且大小为ω,则动点M的牵连速度ve垂直于MP*,指向如图3(b)所示,动点M的牵连速度ve的大小为

ve=ω·MP*

(20)

3)动点M的相对运动是动点相对于动系(圆轮)的运动,即套筒M以C为圆心、半径为CM的圆周运动。

因圆轮在地面上顺时针滚动一圈时,动点M也相对地在环形圆槽中逆时针方向转过了一圈,故动点在环形圆槽中作相对运动时,其绕圆心转动的角速度大小与圆轮滚动的角速度大小是相等的,但绕圆心转动的角速度为逆时针转向。动点M的相对速度vr的大小为

vr=ω·r

(21)

3.2 同心圆下边缘碾压点的位移

动点M的3种速度如图3(b)所示,va为动点M的绝对速度,m/s;vr为动点M的相对速度,m/s;ve为动点M的牵连速度,m/s。在任意时刻,动点的3种速度满足点的速度合成定理[5]183,即

va=vr+ve

(22)

由式(20)～式(22)得动点M的绝对速度va的大小为

va=ω·(r+MP*)

(23)

因动点M的绝对运动是沿水平方向的直线运动,将时间t内动点M所移动的绝对位移量记为SMa,则有

(24)

圆轮由初始位置经时间t转过的角度为θ,则由式(7)、式(23)和式(24)得动点M随着圆轮转过θ时动点的绝对位移量为

(25)

由于套筒M的运动情况代表着半径为r的同心圆在O1O2线上碾压点的运动情况,故式(25)即为半径为r的同心圆在水平方向所碾压过的水平长度。

式(25)中rθ反映了动点M相对于动系运动而产生的水平位移量,称之为动点的相对位移量,将其记为SMr,则有

SMr=rθ

(26)

式(26)表明,半径为r的同心圆随圆轮同步滚过角度θ时,动点M在时间t内的相对位移量等于动点M在半径为r的同心圆上所移动过的弧长。

式(25)中后面的积分项反映了圆轮上的M点(牵连点)相对于静系(地面)的运动而产生的水平位移量,称之为动点的牵连位移,由各时刻圆轮上半径为r的同心圆的下边缘点相对于地面的滑动而产生。将动点的牵连位移记为SMe,则

(27)

由式(19)和式(27)得

(28)

由式(25)和式(28)得动点M随着圆轮滚过角度θ时动点的绝对位移量为

(29)

由式(29)可知,圆轮上半径为r的同心圆下边缘点在水平方向上所碾压过的长度与同心圆的半径r无关。即圆轮上各个同心圆的下边缘在水平方向的碾压长度都相同,其值与圆轮转过的角度θ和轮心到圆轮的速度瞬心之距有关。而圆轮的轮心到速度瞬心的距离是由圆轮的运动形态所决定的。因而,圆轮不同的运动形态导致了圆轮在水平方向碾压长度的差异性,具体情况如下:

1)当R*=R时,圆轮作纯滚动。将此时动点M的绝对位移量记为SMa0,则由式(29)得

SMa0=Rθ

(30)

2)当R*>R时,圆轮边滚边滑。将此时动点M的绝对位移量记为SMa1,则由式(29)可知

SMa1>SMa0

(31)

当圆轮滚过一圈(θ=2π)时,式(29)与式(16)完全一致。因此,针对圆轮在水平面上作纯滚动和边滚边滑,同心圆随着圆轮在水平面上滚过一圈时,其下边缘点在水平方向所碾过的长度与前述讨论的结果是相同的,在此不再赘述。

3.3 同心圆碾压长度不同的原因

同心圆下边缘在水平线上碾过的情况显示,当圆轮在水平地面上滚过一圈(θ=2π)时,同心圆下边缘点碾压的长度(动点M的绝对位移),由动点M的相对位移和动点M的牵连位移所组成,各位移的大小情况如下:

1)圆轮滚动一圈时动点的相对位移 将圆轮滚动一圈(θ=2π)时动点M的相对位移量记为SMr2,则由式(26)可得

SMr2=2πr

(32)

由此可见,当圆轮滚动一圈时动点M的相对位移量等于同心圆的周长。

2)圆轮滚动一圈时动点的牵连位移 将圆轮滚动一圈(θ=2π)时动点M的牵连位移量记为SMe2,则由式(28)可得

(33)

式(33)表明,圆轮滚动一圈时动点M的牵连位移量不仅与同心圆的半径r有关,还与轮心到其速度瞬心的距离R*有关。

3)圆轮滚动一圈时动点的绝对位移 将圆轮滚过一圈(θ=2π)时动点M的绝对位移量记为SMa2,由式(29)得

(34)

式(34)表明,圆轮滚动一圈时同心圆下边缘点在水平方向所碾过的长度仅与圆轮运动的速度瞬心到轮心的间距R*有关。

由式(32)～式(34)可见,动点的绝对位移、相对位移和牵连位移的关系为

SMa2=SMr2+SMe2

(35)

因圆轮滚动一圈时动点M的绝对位移即为同心圆在水平方向所碾过的长度,则由式(35)可见,当各同心圆随着圆轮在水平面上同步滚动一圈时,各同心圆下边缘在水平方向上所碾过的长度不等于同心圆周长,这是由于各时刻同心圆的下边缘点相对地面有滑动而产生了牵连位移量。

综上,从运动学视角对车轮悖论进行了探秘,以圆轮上的任一点为研究对象,应用点的运动学知识分析了轮上任一点的运动情况,所获结果对于圆轮上的任一点均适用。研究结果具有普适性或一般性,也表明研究方法和过程的正确性和严密性[10]。通过构建同心圆下边缘碾压点的力学模型,并基于点的合成运动和刚体平面运动的知识对车轮悖论进行了探秘,有利于加强运动学知识的理解和掌握,培养分析问题和解决问题的能力[11]。悖论在“荒诞”中蕴含着哲理[12],直觉和视觉有时会欺骗和误导我们[13],破译悖论的过程是令人机智和聪明地进行思考的过程[14],应用运动学知识对车轮悖论进行探秘是一个逻辑思维能力的培养过程,体现了辩证唯物主义的世界观和方法论,有利于培养和提高力学思维及科学素养[15]。

4 结论与展望

本文基于运动学视角对车轮悖论进行了探秘,研究发现,当圆轮在水平面上滚动的过程中,轮上各点的位移一般是不同的,仅当圆轮滚动一圈时轮上各点的位移才相同;当圆轮滚过一圈时,作纯滚动的圆轮上各点的位移量都等于圆轮周长,而边滚边滑的圆轮上各点的位移量也均相等但都大于圆轮的周长。圆轮在水平面上滚动时,其上各同心圆的下边缘点在水平方向所碾过的长度仅与圆轮转过的角度θ和圆轮的运动形态有关;当半径为R的圆轮作纯滚动且转过角度θ时,各同心圆的下边缘点所碾过的长度均为Rθ;当圆轮边滚边滑时各同心圆的下边缘点所碾过的长度均相等但都不等于Rθ;各同心圆的下边缘点相对地面有滑动是导致同心圆随着圆轮滚过一圈时各同心圆所碾过的长度不等于该同心圆周长的根本原因。

本文应用运动学知识对车轮悖论进行了探秘,在描述圆轮上点的运动规律时,应用矢量描述的方式给出了圆轮上点的位移,并在此基础上讨论当轮滚过一圈时轮上点的位移量,但未在此基础上绘制出圆轮运动过程中其上点的运动轨迹,后续可加以完善和继续研究。