同心圆锥曲线的性质再探

官一宏

摘要：文[1]通过类比同心圆的定义，得到同心圆锥曲线的定义.受此启发，本文先从同心圆的结论出发，类比到同心圆锥曲线，然后利用超级画板进行验证所得结论，最后给出结论的解析证明与几何证明.

关键词：同心圆；同心圆锥曲线；性质；探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）33-0008-03

类比思想在高中数学教学中扮演着重要的角色，数学中的很多发现都是通过类比得到的.类比可以得到新的结论，但未必正确，需要给出严格的证明.同心圆，由于其对称性而具有很多经典的性质.根据类比思想，同心圆锥曲线应该也有很多经典的结论.我们可以通过类比得到结论，然后用超级画板验证，最后给出严格的证明.

1 同心圆锥曲线的定义

定义设两圆锥曲线有着公共的焦点F，且与F相应的准线f也是公共的，则称这两个圆锥曲线为同心圆锥曲线[1].

2 同心圆的性质

性质1如图1，设圆Γ1和圆Γ2为同心圆，公共圆心为O，作一直线交圆Γ1于A、B两点，交圆Γ2于C、D两点，那么∠AOC=∠BOD.

3 同心圆锥曲线的性质

将该性质类比到同心圆锥曲线，则得到：

性质2如图2，设椭圆和抛物线为同心圆锥曲线，F和f分别为它们的公共焦點和相应的公共准线[2]，作一直线交椭圆于A、B，交抛物线于C、D，那么∠AFC=∠BFD.

如图3，利用超级画板验的度量功能，进行动态探究，最后发现当直线AB在椭圆上运动时[3]，∠AFC=∠BFD始终成立.

4 性质的证明

证法1如图4，以F为坐标原点建立直角坐标系，由同心圆锥曲线的定义知p=b2c，抛物线的顶点坐标为-p2，0.椭圆的对称中心坐标为c，0，故易得抛物线的方程为y2=2b2cx+b22c，椭圆的方程为x-c2a2+y2b2=1[3] .

因为直线l分别交椭圆、抛物线于A、B、C、D，故直线l不可能平行于x轴，则设l：x=my+t，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，Dx4，y4，直线FA、FB、FC、FD斜率分别为k1、k2、k3、k4.

由到角公式tan∠AFC=k3-k11+k1·k3，tan∠BFD=k2-k41+k2·k4.

欲证∠AFC=∠BFD，只需证tan∠AFC=tan∠BFD，即证k3-k11+k1·k3=k2-k41+k2·k4，k3-k1·1+k2·k4=k2-k4·1+k1·k3 ，

整理得k1+k2k1·k2-1=k3+k4k3·k4-1.

直线与椭圆联立整理得：

整理得a2t2-b4m2y2+2mb4+2b2cmtxy+b2t2-2b2ct-b4x2=0.

对上式同除以x2得

（a2t2-b4m2）·（yx）2-（2mb4+2b2cmt）·（yx）+（b2t2-2b2ct-b4）=0

易知上述方程的两个根分别为y1x1、y2x2，即为k1、k2.

则由韦达定理可得：k1+k2=-2mb4+2b2cmta2t2-b4m2，

k1·k2=b2t2-2b2ct-b4a2t2-b4m2.

同理，齐次联立抛物线与直线l可得

b4m2-c2t2·yx2-2b2cmt+2mb4·yx+2b2ct+b4=0

由韦达定理可得：k3+k4=2b2cmt+2mb4b4m2-c2t2，

k3·k4=2b2ct+b4b4m2-c2t2.

∴k3+k4k3·k4-1=2b2cmt+2mb42b2ct+b4-b4m2-c2t2=2b2cmt+2mb4b4+2b2ct-m2b4+c2t2.

∴k1+k2k1·k2-1=k3+k4k3·k4-1，即tan∠AFC=

tan∠BFD，亦即∠AFC=∠BFD，证毕.

证法2设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），则公共焦点F（-c，0），公共准线f：x=-a2c，由

抛物线的方程为y2=2b2c（x+a2+c22c）.[3]

∠AFC=∠BFD等价于∠AFB与∠CFD的角平分线重合.

记∠AFB与∠CFD的角平分线的斜率分别为k1，k2，直线lAB：x=my+n.

设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）.

则由到角公式，有

yBxB+c-k1+k·yBxB+c=k-yAxA+c1+k·yAxA+c，

又xA=myA+n，xB=myB+n，得

［2myAyB+（n+c）（yA+yB）］（k2-1）+2［（m2-1）yAyB+m（n+c）（yA+yB）+（n+c）2］k=0将lAB：x=my+n代入x2a2+y2b2=1（a>b>0）消去x得

（a2+b2m2）y2+2b2mny+b2（n2-a2）=0.

从而有yA+yB=-2b2mna2+b2m2，

yAyB=b2（n2-a2）a2+b2m2.

所以2myAyB+（n+c）（yA+yB）

=2b2m（n2-a2）a2+b2m2-（n+c）·2b2mna2+b2m2

=-2b2m（a2+cn）a2+b2m2，

从而有 -2b2m（a2+cn）a2+b2m2（k2-1）+2k·b4m2-（a2+cn）2a2+b2m2=0，

即b2m（a2+cn）k2+［b4m2-（a2+cn）2］k-b2m（a2+cn）=0.（1）

将lAB：x=my+n代入y2=2b2c（x+a2+c22c）消去x得

c2y2-2b2mcy-b2（a2+c2+2nc）=0.

从而有yC+yD=-2b2mc，

yCyD=-b2（a2+c2+2nc）c2.

所以2myAyB+（n+c）（yA+yB）

=-2b2m（a2+c2+2nc）c2+（n+c）·2b2mc

=-2b2m（a2+cn）c2，

从而有-2b2m（a2+cn）c2（k2-1）+2k·b4m2-（a2+cn）2c2=0，

即b2m（a2+cn）k2+［b4m2-（a2+cn）2］k-b2m（a2+cn）=0.（2）

而k1是方程（1）的根，k2是方程（2）的根，但是方程（1）与（2）其实是同一方程，

所以k1=k2. 所以∠AFC=∠BFD.

证法3先证明一个引理：

如图5，设同心圆锥曲线的焦点为F，相应的准线为l，任作直线交椭圆于B，C，交l于E，则EF为∠BFC的角平分线.

证明：设圆锥曲线的离心率为e，过B，C分别作BI，CJ垂直l于I，J，由圆锥曲线的第二定义知，e=CFCJ=BFBI，即CFBF=CJBI=CEBE，由外角平分线的逆定理知，EF为∠BFC的角平分线.

下面证明本题的结论，如图6，延长诸线与l相交，对抛物线由引理有EF平分∠DFH，对椭圆由引理有EF平分∠CFG.

从而∠DFC=∠GFH=∠AFB.证毕.

通过类比同心圆的性质，可以得到同心圆锥曲线的性质[4]，然后利用超级画板进行验证，再用解析法或者几何法给出严格证明，这就是本文的研究思路.我们知道，同心圆有很多漂亮的性质，那么，这些性质类比到同心圆锥曲线是否成立呢？这有待于读者的进一步探索.

参考文献：

［1］ 李鸿昌，凌禹，胡典顺.高中数学核心素养的培养：以“从同心圆到同心圆锥曲线”为例[J].中学教研（数学），2018（02）：24-26.

[2] 李鸿昌，徐章韬.核心素养视角下的圆锥曲线探究：以“从同心圆到同心圆锥曲线”为例[J].中小学数学（高中版），2017（11）：7-9.

[3] 李鴻昌，徐章韬.从同心圆到同心圆锥曲线：基于超级画板的探究[J].数学通讯（下半月），2018（10）：38-41.

[4] 林国红.同心圆锥曲线中两个命题的证明[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（11）：33-35.

［责任编辑：李璟］