数形结合在初中数学函数问题中的妙用

张西欣

摘要：当下许多学生对函数的性质和应用感到困惑，导致其在解决函数问题时遇到困难.通过数形结合的方法，为学生提供函数图象来辅助学习和理解函数概念，是一个有价值的研究方向.数形结合可将抽象的数学概念与函数图象建立联系，帮助学生更好地理解函数的性质，进而解决函数问题.文章分析了数形结合的优势、作用，以及如何在函数教学中应用数形结合的方法.研究发现，数形结合不仅能够提升学生的学习兴趣，还能培养学生的几何直觉和思维能力.因此，教师在函数教学过程中应重视数形结合的应用，通过函数图象引导学生解决数学问题，培养学生的数学素养.

关键词：数形结合；初中数学；函数问题；几何图形

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）32-0014-03

数形结合在初中数学函数问题中發挥着重要作用，特别是在求实数根和取值范围方面，通过运用数形结合的方法，学生可以将抽象的数学问题转化为具体的图形问题，并通过观察图形的特性解决问题[1].数形结合在初中数学函数问题中的妙用不仅能帮助学生解决问题，还能够提高学生对数学的兴趣.数形结合为学生提供了更加直观、形象的思维方式，使学生能够更好地理解和掌握数学知识[2].

1 求实数根类型的函数问题

在求实数根的问题中，数形结合能够帮助学生直观地理解方程与函数图象之间的关系.例如，在解决方程实数根问题时，可将方程实数根问题转化为函数图象的交点问题，通过观察图象与图象相交的点得到方程的实数根.在这类问题中，常常会出现“是否有实数根”“有几个实数根”“实数根的取值”等问题[3].数形结合通过将抽象的方程问题与具体的图形联系起来，不仅能够提高学生的空间思维能力，还能使学生更加深入地理解抽象概念.

例1已知x1、x2、x3为方程x3+3x2-9x-4=0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（）.

A.x1x2x3<0  B.x1+x2-x3>0

C.x1-x2-x3>0 D.x1+x2+x3<0

解析因为x3+3x2-9x-4=0，当x=0时，-4≠0，所以x2+3x-9-4x=0.由此可知，x1、x2、x3可以看作抛物线y=x2+3x-9与反比例函数y=4x 的三个交点的横坐标，如图1所示.由函数图象可知x1x2x3>0，x1+x2+x3<0，根据已知条件无法判定x1+x2-x3>0，x1-x2-x3>0，故选D.

点评本题考点为“实数根的取值”，主要考查反比例函数与二次函数知识.正确理解题意后得到x1、x2、x3可以看作是抛物线y=x2+3x-9与反比例函数y=4x 图象的三个交点的横坐标.由x3+3x2-9x-4=0可得x2+3x-9=4x，由此画出函数图象即可求解.由于题目原式为一元三次函数，初中阶段的知识不具备直接求解的条件，因此通过进行数形结合的转化，可以得到实数根的大致取值以及正负号，从而判断实数根的性质.

例2方程3（x+1）（x-4）+3（x+2）（5-x）=6的实数解的个数为（）.

A.0B.1C.2D.大于2

解析原式3（x+1）（x-4）+3（x+2）（5-x）=6可化为 3x2-3x-4=3x2-3x-10+6.由于等式左边与等式右边含x项的系数与次幂都相同，因此等式右侧函数，可看作是等式左侧函数通过上下平移得到，因此，两函数不存在交点.

点评本题可以转化为两个函数图象求交点的问题，与例1类似.巧妙之处在于化简之后发现，含变量部分的系数和次幂均相等，这意味着整理后的两个函数图象“仅存在上下平移”.需要注意的是，只有“上下平移”的时候，两函数图象才无交点，存在其他形式平移时，该推理不成立.

2 求取值范围类型的函数问题

在求取值范围的问题中，数形结合可以帮助学生直观地理解函数的定义域和值域.通过将函数的定义域和值域与函数图象对应起来，学生可以通过观察图形的特性来确定函数的取值范围[4].这种直观的方法不仅能够提高学生对函数性质的认识，还能够培养学生的几何直觉和图象处理能力.通过利用函数图象表示函数的变化规律，学生可以理解函数的增减性、极值和最值等性质.

例3抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1，若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t=0（t为实数），在-2

A.-12＜t≤3B.-12＜t＜4

C.-12＜t≤4D.-12＜t＜3

解析方法1：因为抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1，所以b=-2，y=-x2-2x+3；此时一元二次方程-x2+bx+3-t=0的实数根可以看作y=-x2-2x+3与函数y=t的图象有交点，如3所示.

因为方程在-2＜x＜3的范围内有实数根，并且当 x=-2 时，y=3；当 x=3时，y=-12；函数y=-x2-2x+3在x=-1时有最大值4；所以-12＜t≤4，故选C.

方法2：因为抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1，所以b=-2，此时一元二次方程-x2+bx+3-t=0的实数根可以分情况讨论，设fx=-x2-2x+3-t，如图4所示.

（1）有两个根：即f（-1）＞0；f（-2）＜0；f（3）＜0，此时有4-t＞0；3-t＜0；-12-t＜0；

（2）和（3）有一个根：f（-2）·f（3）＜0，此时（3-t）（-12-t）＜0.

从而可得-12＜t≤4.

点评 本题根据给出的对称轴求出函数解析式为y=-x2-2x+3，可将一元二次方程-x2+bx+3-t=0的实数根可以看作y=-x2-2 x+3与函数 y=t图象的交点，再由-2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解.主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象及性质；本题中，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合进行解题是关键.本题也是一题多解类题型，方法1思考过程简单，图象也更加直观；方法2作为拓展解法，这是因为大多数涉及实数根问题的题目，都是以x轴为研究对象，在分类讨论中，可以借助函数值在对应x值时的正负号进行清晰判断，如方法2中的（2）和（3），通过与x值对应的y值乘积小于0，即可判定在区间内必定有根.

例4已知抛物线C：y=x2-2bx+c.

（1）若抛物线C的顶点坐标为 （1，-3），求b、c的值；

（2）当c=b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是-4，求b的值；

（3）当c=b2+1，3≤x≤m时，x2-2bx+c≤x-2恒成立，求m的最大值.

解析（1）因为抛物线C的顶点坐标为 （1，-3），所以y=（x-1）2-3=x2-2x-2，所以-2b=-2，b=1，c=-2.

（2）因为c=b+2，所以y=x2-2bx+c=x2-2bx+b+2，对称轴为 x=b，此时分情况讨论：①当 b＜0 时，由题意可知 b+2=-4，解得 b=-6，符合题意；②当0≤b≤2 时，4（b+2）-4b24=-4，解得b1=3，b2=-2，不合题意舍去；③当b＞2 时，根据题意可知 22-4b+b+2=-4，解得 b=103，符合题意；因此所求b的值为-6或103.

（3）当c=b2+1 时，抛物线C的解析式为y=（x-b）2+1，如图5所示，抛物线C的顶点在直线y=1上移动：

当3≤x≤m时，x2-2bx+c≤x-2恒成立，则可知抛物线C的顶点坐标为 （3，1），设抛物线C与直线y=x-2除顶点外的另一个交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值.

由 y=（x-3）2+1

y=x-2 解得x1=3，x2=4，因此m的最大值为 4.

点评本题第（1）问根据已知点的坐标代入解析式确定系数即可；第（2）问先根据已知条件确定抛物线的对称轴，再分段讨论抛物线在各段上取最小值时b的值；第（3）问需运用数形结合的思想，通过抛物线图象的移动范围确定.

总之，数形结合在初中数学函数题中的妙用是不可忽视的.数形结合不仅可以帮助学生直观地理解抽象概念和解决问题，还能够激发学生对数学的兴趣和求知欲[5].因此在今后的教学中，教师应注重数形结合的应用，通过提供具体的图形来引导学生解决数学问题，激发学生对数学的兴趣，培养学生的几何直观.

参考文献：

［1］ 李莉.数形结合思想在初中数学课堂教学中的渗透[J].数理天地（初中版），2023（15）：62-64.

[2] 張武.初中数学教学中数形结合方法的应用刍议[J].智力，2023（21）：45-48.

[3] 赵银凤.初中数学教学中渗透数形结合思想路径探析[J].学苑教育，2023（21）：57-58，61.

[4] 赵春玉.初中数学教学中数形结合思想的应用探析[J].试题与研究，2023（20）：46-48.

[5] 邹传海.数形结合在初中数学解题中的应用[J].数理天地（初中版），2023（13）：39-40.

［责任编辑：李璟］