经历猜想验证 培养推理意识——以五年级下册“长方体和正方体的体积”教学为例

浙江义乌市黎明湖小学（322000） 陈梦娇

推理意识的形成不能单靠一节课或某一个教学环节，教师要始终关注学生推理意识的形成与发展，不管是在数与代数，还是在图形与几何、统计与概率、综合与实践领域，推理意识的培养应贯穿整个小学数学教学中。在教学“分数的基本性质”时，笔者就让学生不断经历猜想验证的过程，用丰富的推理得出结论，培养学生的推理意识。

猜想与验证在推理意识的培养中具有至关重要的作用。教师需要策划多样的数学活动，使学生能够全面经历从猜想到验证的整个过程。这有助于激发学生通过观察、发现、归纳、类比等方式提出猜想，并寻求方法来验证这些猜想。当学生提出各种猜想后，教师应当积极鼓励他们进行验证。验证的方式多种多样，包括使用多元表征、演绎推理、类比推理、归纳推理和反例判断等方法。学生在“猜想—验证”的过程中，不仅发展了推理意识，也明白了猜想和验证是培养推理意识的关键。

在教学“分数的基本性质”时，主要是通过丰富的推理路径来培养学生的推理意识。（如图1）

图1 推理路径

一、借“事”说理，用多元表征验证

在推理过程中，多元表征验证发挥着重要作用。教师的任务是引导学生以事实为依据，从分数的含义出发，为学生提供充分的创造性空间，激发他们使用多种方式来验证猜想，并将抽象的思维以可见的方式展示，从而产生直观的证据来验证猜想。通过这种方式，学生将更好地体验到从已知事实出发推断出结论的过程。这不仅帮助学生理解推理的本质，还培养了他们的分析能力。

【教学片段1】

生2（出示图2）：我把圆片当作饼，折一折、画一画后发现，他们三个人吃的都是整个饼的一半，所以

图2

图3

【思考：学生通过实物操作、画图操作等方法，将“数”与“形”结合，借图示来证明这三个分数是相等的。在这一过程中，学生从分数的实际意义出发，依据数形一一对应的规则，证明了，体会到可以从一些事实出发推断出结论，从而形成推理意识。】

二、借“法”说理，用演绎推理验证

演绎推理是一种基于法则、证明和逻辑计算的推理方式，它依赖明确的规则和已知事实。亚里士多德的三段式理论是演绎推理中最经典和常见的方式。这里所说的“三段”指的是大前提、小前提和结论，它们构成了一个演绎论证的基本框架，有助于学生理解逻辑思维的过程。

【教学片段2】

生4（出示图4）：这三个分数最终都算得0.5，所以这三个分数的大小相等。

图4

生5（出示图5）：先把分数转成除法，再用商不变的规律，把被除数和除数同时乘2，最后又把除法写成分数。

图5

【思考：学生给出的两种方法都属于演绎推理，而且可以用典型的三段式推理来解释。在图4 中，大前提是“1÷2=2÷4=4÷8=0.5”，小前提是“根据分数与除法的关系，如=a÷b（b不等于0），发现=1÷2，在图5中，大前提是“商不变的规律”，小前提是“分数与除法的关系”，结论是“分子或分母同时乘或除以一个不为零的数，商不变”。学生从一般到特殊，一步步推理出最终的结论。这样的推理过程，能够帮助学生养成认真严谨、言必有据的推理习惯，对学生掌握严谨的逻辑思维方式、发展推理意识有重要帮助。】

三、借“知”说理，用类比推理验证

类比推理属于一种合情推理。类比既可以是结论的类比，也可以是方法的类比。在学习本课内容之前，学生已经学习了“商不变的规律”，已经可以利用商不变的规律对分数的性质进行大胆的猜测，推出相似的属性。

【教学片段3】

师：先对比商不变的规律，再联想今天所学的分数知识，仔细观察这三个分数的分子和分母，你发现了什么规律？

生6：从左往右看，分子和分母同时乘2或乘4，分数的大小不变。

生7：从右往左看是同时除以2 或4，分数的大小不变。

板书（如图6）：

图6

师：看到这个图，你有没有似曾相识的感觉？你有什么疑惑吗？请大胆猜想一下。

生8：分子和分母同时乘或除以其他数，分数的大小不变？（猜想2）

生9：所有的分数都有同样的规律吗？（猜想3）

生10：分子和分母同时加或减同一个数，分数的大小也不变？（猜想4）

师：为同学们的大胆猜想点赞！但这只是猜想，如果想知道猜想是否正确，还需要进行验证。

【思考：在这一教学片段中，教师通过引导学生联想商不变的规律与分数基本性质之间的关系，让学生体会同类属性之间的推理过程，经历类比推理的过程和方法，感受类比推理在数学证明中的作用，发展推理意识。】

四、借“例”说理，用归纳推理验证

归纳推理包括完全归纳和不完全归纳，也属于合情推理。完全归纳推理多适用于对象有限的这类推理，它的结论往往不会超出设想范围。完全归纳推理是一种必然性推理。

【教学片段4】

师：请针对生8提出的猜想进行讨论。

图7

师：同学们太棒了！你们用小数和分数都证明成功了。

师：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变。

【思考：在教学过程中，一些学生的推理能力较强，能根据分数的意义，利用数形结合进行推理。教师鼓励学生通过正向和逆向思维，考查所有对象，最终推出结论。在这个过程中，学生运用极限思想，获得了从特殊到一般的结论，经历了完全归纳推理的过程，明白推理的过程要做到言之有理、落笔有据。】

不完全归纳推理往往需要举一些有代表性和可靠性的例子，相比演绎推理不算特别严谨。但在小学数学教学中，更重要的是给学生机会去思考其中的过程是否有理有据，从而培养学生养成有理有据的推理习惯，因此在教学中也要渗透不完全归纳推理。

【教学片段5】

师：请针对生9提出的猜想进行讨论。

学生汇报（如图8）：

图8

师：我看每个人举的例子都不相同，例子举得完吗？通过这些例子，能不能证明生9 的猜想成立？

生14：例子举不完。这种规律对其他分数来说也成立。

生15：真分数和假分数都有这种规律，所以对任何分数来说都成立。

师：这就是分数的基本性质，它适用于所有的分数。

【思考：学生通过举例可以发现这样的例子举不完，也选择了具有代表性的真分数和假分数进行验证，发现这些分数也存在相同规律。像这样的推理过程，就是不完全归纳推理。经过四年级运算律、商不变的规律等内容的学习，学生已经有了不完全归纳推理的基础，所以在这节课中，能自主应用不完全归纳推理的方法进行验证。】

五、借“据”说理，用反例判断验证

反例指的是符合某个命题的条件，但不符合该结论的例子。在数学中经常会通过举反例来证明命题不成立。举反例是一种特殊而又简单的证明方式。

【教学片段6】

师：请针对生10提出的猜想进行讨论。

【思考：在这个教学片段中，学生能够快速寻找反例来验证猜想不正确。这些极具说服力的反例能帮助学生厘清概念，把握概念本质，有助于培养学生严谨的推理习惯。】

著名数学家彭加勒说过：“推理始终应是数学的核心，是数学的根本特性。”推理是通过理解知识的本质，找到知识之间的联系，迁移已有认知或方法，最终归纳推出新的结论或命题。推理是发展学生数学思维的重要手段，是促进学生数学思考的重要方法。推理意识的发展推动着学生数学思维的发展，通过让学生学会运用多元表征、演绎推理、类比推理、归纳推理、反例判断等方法来证明猜想，推动学生深入学习数学。

因此，培养学生的推理意识是数学教学的重要目标。教师要帮助学生养成“讲道理、有条理”的思维习惯，增强学生的数学表达能力，使学生形成独立思考、勇于开拓的科学精神和求真务实、一丝不苟的科学态度。